(2022上海长宁、嘉定二模)上海市长宁、嘉定区2022年高三下学期二模数学(理)试卷

(2022上海长宁、嘉定二模)上海市长宁、嘉定区2022
年高三下学期二模数学（理）试卷
数学（理）
一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分） 1．函数)3
2sin()(π
+
=x x f 的最小正周期是__________．
2．若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，则实数=m _________． 3．（理）已知集合{}{}
331,,0,1<<=-=x x B a A ，若A B ≠∅，则实数a 的取值范畴
是 ． 4．已知复数z 满足
1
i z -＝3，则复数z 的实部与虚部之和为__________．
5．求值：12
20132013
201320132013124(2)C C C -+-
+-=___________．
6．已知向量||).,5(),2,2(b a k b a +=-=若不超过
7．设1,0≠>a a ，行列式3
4210
2
3
1D -=x
a 中第3第2列的代数余子式记作y ，函数()x f y =数图像通过点()1,2，则a = ．
8．（理）如图是一个算法框图，则输出的k 的值
是 _______． 9．（理）已知135sin ,53)cos(-==
-ββα，且)0,2
(),2,0(π
βπα-∈∈，则 ______sin =α．
10．（理）设函数⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=]
1,0[,1)
0,1[,1)(2x x x x x f ，则将)(x f y =的曲线绕x 轴旋转一周所得
几何体的体积为____________．
11．（理）抛掷一枚质地平均的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A ，向上的点数大于2
且小于或等于5的事件为B ，则事件B A 的概率=)(B A P ____________．
理第
8题，
12．（理）设定义域为R 的函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-=)
1(1)1(|1|1
)(x x x x f ，若关于x 的方程
0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则2
3
2221x x x ++=____________．
13.（理）函数1
sin )1()(2
2+++=x x
x x f 的最大值和最小值分别为m M ,，则=+m M ______． 14．（理）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式2
1222ma n
S a n n ≥+对任意等差数列{}n a 及
任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为._______
二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）
15. 已知),(11b a A ，),(22b a B 是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OA OB ⊥的充要
条件是 （ ） A ．
12211-=⋅a b a b B.02121=+b b a a C.2
121b b a a = D.1221b a b a = 16.（理）关于直线，m 及平面α，β，下列命题中正确的是
（ ）
A ．若,,//m l =⋂βαα则m l //
B ．若,//,βαl l ⊥则βα⊥
C ．若,//,//ααm l 则m l //
D ．若l m l ⊥,//α，则α⊥m
17. 过点(1,1)P 作直线与双曲线2
2
12
y x -=交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，则如此的
直线 （ ） A ．存在一条，且方程为210x y --= B ．存在许多条 C ．存在两条，方程为()210x y ±+= D ．不存在 18. （理）已知0>a 且1≠a ，函数
)
(log )(2b x x x f a ++=在区间),(+∞-∞上既是奇
函数又是增函数，则函数
b
x x g a -=||log )(的图象是 ( )
三．解答题（本大题满分74分，共5小题）
19. （理）（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图：已知⊥AB 平面BCD ，CD BC ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，且2==BC AB ． （1）求AD 与平面ABC 所成角的大小； （2）求点B 到平面ACD 的距离．
20. （本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列． （1）求证：03B π
<≤
；
（2）求1sin 2sin cos B
y B B
+=+的取值范畴．
21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）
设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f x
x
且是定义域为R 的奇函数．
（1）求k 的值； （2）（理）若2
3)1(=
f ，且)(2)(22x f m a a x
g x
x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-，求m 的值．
（文）若0)1(<f ，试说明函数)(x f 的单调性，并求使不等式
0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的的取值范畴．
22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）
如图，已知点)1,0(F ，直线m ：1-=y ，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且
QP QF FP FQ ⋅=⋅．
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
A
B C
D
（2）（理）过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作直线m '与轨迹C 交于不同两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为),0(0y D ，求0y 的取值范畴；
（3）（理）关于（2）中的点A 、B ，在y 轴上是否存在一点D ，使得△ABD 为等边三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）
（理）已知三个互不相等的正数a ，b ，c 成等比数列，公比为q ．在a ，b 之间和b ，
c 之间共插入n 个数，使那个3+n 数构成等差数列．
（1）若1=a ，在b ，c 之间插入一个数，求q 的值；
（2）设c b a <<，4=n ，问在a ，b 之间和b ，c 之间各插入几个数，请说明理由；
（3）若插入的n 个数中，有s 个位于a ，b 之间，个位于b ，c 之间，试比较s 与的大小．
数学理（参考答案）
一、填空题（每小题4分，共56分） 1．π 2。

21 3。

（理）)1,0( 4。

3
4 5。

1- 6.]6,2[- 7。

4 8．（理）6 9。

（理）65
33
10。

（理）π 11．（理）
65 12。

（理）5 13。

（理）2 14．（理）5
1 二、选择题（每小题5分，共20分） 15．B 16。

B 17。

D 18。

（理）A （
三、解答题
19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
（理）解：（1）因为⊥AB 平面BCD ，因此CD AB ⊥，又CD BC ⊥，因此⊥CD 平面ABC ， DAC ∠确实是AD 与平面ABC 所成的角． ………………2分 因为⊥AB 平面BCD ，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，故︒=∠30ADB ， 由2==BC AB ，得4=AD ，22=AC ， ………………4分 因此2
2
cos =
=
∠AD AC DAC ， 因此AD 与平面ABC 所成角的大小为︒45． ………………6分
（2）设点B 到平面ACD 的距离为d ，由（1）可得32=BD ，22=CD ， 则3
2
46131=
⋅⋅⋅=⋅=
∆-AB CD BC AB S V BCD BCD A ，………………8分 d d CD AC d S V ACD ACD B 3
4
6131=⋅⋅⋅=⋅=
∆-．………………10分 由ACD B BCD A V V --=，得2=
d ．
因此点B 到平面ACD 的距离为2．………………12分
（文）解：（1）由题意2122224S AA π=⋅+2π⋅⋅=π表，解得14AA =. ………………
2
分
在△AOP 中，02,120OA OP AOP ==∠=
，因此AP =．
在△BOP 中，0
2,60OB OP BOP ==∠=，因此2BP =． ………………4分 因此
1113A APB
APB V S AA -∆=
⋅112432=⋅⋅⋅= ………………6分 （2）取1AA 中点Q ，连接OQ ，PQ ，则1
//OQ A B ， 得POQ ∠或它的补角为异面直线1
A B 与OP 所成的角. ………………8分
又AP =2AQ AO ==
，得
OQ =，4PQ =，
由余弦定理得
222cos 2PO OQ PQ POQ PO OQ +-∠==⋅ ………………10分
因此异面直线1
A B 与OP
所成角的大小为
． ………………12分
20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 解：（1）由已知，ac b =2，因此由余弦定理，
得ac
ac c a ac b c a B 22cos 22222-+=
-+= ………………2分 由差不多不等式ac c a 222≥+，得2
1
22cos =-≥ac ac ac B ．………………4分
因此⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈1,21cos B ．因此，30π≤<B ．………………6分
（2）⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=+=++=++=
4sin 2cos sin cos sin )cos (sin cos sin 2sin 12πB B B B B B B B B B y ， ………………9分
由（1），30π≤<B ，因此12744ππ
π≤+<B ，因此⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,224sin πB ，
因此，B
B B
y cos sin 2sin 1++=的取值范畴是(]
2,1． ………………12分
21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分） （理）解：（1）由题意，对任意R ∈x ，)()(x f x f -=-， 即x x x x
a k a a k a
---+-=--)1()1(， ………………2分
即0)())(1(=+-+---x x x
x
a a a
a k ，0))(2(=+--x x a a k ，
因为x 为任意实数，因此2=k ． ………………4分
解法二：因为)(x f 是定义域为R 的奇函数，因此0)0(=f ，即0)1(1=--k ，2=k ． 当2=k 时，x
x
a
a x f --=)(，)()(x f a a
x f x x
-=-=--，)(x f 是奇函数．
因此k 的值为2． ………………4分 （2）由（1）x
x
a
a x f --=)(，因为23)1(=
f ，因此2
31=-a a ， 解得2=a ． ………………6分 故x
x
x f --=2
2)(，)22(222
)(22x x x x
m x g ----+=，
令x x t --=22，则222222+=+-t x x ，由),1[∞+∈x ，得⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∞+∈,23t ， 因此2
2
2
2)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==，⎪⎭
⎫⎢
⎣⎡∞+∈,23t ………………9分
当23<
m 时，)(t h 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,23上是增函数，则223-=⎪⎭⎫
⎝⎛h ，22349-=+-m ， 解得1225
=m （舍去）． ………………11分
当2
3
≥m 时，则2)(-=m f ，222-=-m ，解得2=m ，或2-=m （舍去）．
………………13分
综上，m 的值是2． ………………14分
（文）解：（1）由题意，对任意R ∈x ，
)()(x f x f -=-，即
x x x x a k a a k a ---+-=--)1()1(，
………………2分
即0)())(1(=+-+---x x x
x
a a a
a k ，0))(2(=+--x x a a k ，
因为x 为任意实数，因此2=k ． ………………4分
解法二：因为)(x f 是定义域为R 的奇函数，因此0)0(=f ，即0)1(1=--k ，2=k ．
当2=k 时，x x a a x f --=)(，)()(x f a a x f x
x -=-=--，)(x f 是奇函数．
因此k 的值为2． ………………4分 （2）由（1）知x
x
a
a x f --=)(，由0)1(<f ，得01
<-
a
a ，解得10<<a ． ………………6分
当10<<a 时，x a y =是减函数，x a y --=也是减函数，因此x
x a a x f --=)(是减函数．
………………7分
由0)4()(2
<-++x f tx x f ，因此)4()(2
x f tx x f --<+，………………8分 因为)(x f 是奇函数，因此)4()(2
-<+x f tx x f ． ………………9分
因为)(x f 是R 上的减函数，因此42->+x tx x 即04)1(2
>+-+x t x 对任意R ∈x 成立， ………………11分 因此△016)1(2
<--=t ， ………………12分 解得53<<-t ． ………………13分 因此，的取值范畴是)5,3(-． ………………14分 22．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分） （理）解：（1）设),(y x P ，由题意，)1,(-x Q ，)1,0(+=y QP ，)2,(x QF -=，
)1,(-=y x FP ，)2,(-=x FQ ， ………………2分
由FQ FP QF QP ⋅=⋅，得)1(2)1(22
--=+y x y ，
化简得y x 42
=．因此，动点P 的轨迹C 的方程为y x 42
=． ………………4分 （2）轨迹C 为抛物线，准线方程为1-=y ，
即直线m ，因此)1,0(-M ， ………………6分
设直线m '的方程为1-=kx y （0≠k ），由⎩⎨⎧=-=，
y x kx y 4,
12 得0442=+-kx x ，
由△016162>-=k ，得12>k ． ………………8分 设),(11y x A ，),(22y x B ，则k x x 421=+，
因此线段AB 的中点为)12,2(2
-k k ， ………………9分
因此线段AB 垂直平分线的方程为0)]12([)2(2
=--+-k y k k x ，………………10分 令0=x ，得1220+=k y ． ………………11分
因为12>k ，因此),3(0∞+∈y ． ………………12分
（3）由（2），k x x 421=+，421=x x ，因此221221)()(||y y x x AB -+-=
]4))[(1())(1(2122122212x x x x k x x k -++=-+=)1616)(1(22-+=k k )1)(1(422-+=k k ． ………………14分
假设存在点),0(0y D ，使得△ABD 为等边三角形，
则D 到直线AB 的距离||2
3
AB d =
． ………………15分 因为)12,0(2
+k D ，因此121
)1(21|1|22220+=++=++=k k k k y d ，………………16分
因此1132122
22-⋅+=+k k k ，解得3
4
2=k ． ………………17分 因此，存在点⎪⎭
⎫
⎝⎛311,0D ，使得△ABD 为等边三角形． ………………18分
（文）（1）设),(y x P ，由题意，)1,(-x Q ，)1,0(+=y QP ，)2,(x QF -=，
)1,(-=y x FP ，)2,(-=x FQ ， ………………2分
由FQ FP QF QP ⋅=⋅，得)1(2)1(22--=+y x y ，
化简得y x 42=．因此，动点P 的轨迹C 的方程为y x 42=．………………4分
（2）轨迹C 为抛物线，准线方程为1-=y ，即直线m ，因此)1,0(-M ，……………5分 当0=a 时，直线m '的方程为0=x ，与曲线C 只有一个公共点，故0≠a ．…………6分
因此直线m '的方程为1+=y a x ，由⎩⎨⎧=+=，
y x a ay x 4,2 得0)42(2222=+-+a y a y a ，
由△04)2(44
2
2
>--=a a ，得102<<a ． ………………8分 设),(11y x A ，),(22y x B ，则24
221-=+a
y y ，121=y y ， 因此a
x x 4
21=
+，421=x x ， ………………9分 若FB FA ⊥，则0=⋅FB FA ，即0)1,()1,(2211=-⋅-y x y x ，
01)(212121=++-+y y y y x x ，0124142=+⎪⎭
⎫
⎝⎛--+a ， ………………11分
解得2
1
2=
a ．因此22±=a ． ………………12分
（3）由（2），得线段AB 的中点为⎪⎭⎫
⎝⎛-12,22a a ，线段AB 的垂直平分线的一个法向量为)
1,(a n =
，因此线段
AB
的
垂
直
平
分
线
的
方
程
为
01222=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a y a x a ， ………………15分
令0=x ，12
20+=
a
y ， ………………16分
因为102<<a ，因此
312
2
>+a ． 因此0y 的取值范畴是),3(∞+． ………………18分 23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）
（理）解：（1）因为a ，b ，c 是互不相等的正数，因此0>q 且1≠q ． 由已知，a ，b ，c 是首项为，公比为q 的等比数列，则q b =，2q c =，…2分
当插入的一个数位于b ，c 之间， 设由4个数构成的等差数列的公差为d ，则⎩
⎨⎧+=+=d q d
q 3112，
消去d 得02322
=+-q q ，
因为1≠q ，因此2=q ． ………………4分
（2）设所构成的等差数列的公差为d ，由题意，0>d ，共插入4个数．
………………5分 若在a ，b 之间插入个数，在b ，c 之间插入3个数，则⎩⎨⎧+=+=d
b c d
a b 42，
因此
4
2b c a b -=
-，b c a b -=-22，0232
=+-q q ，解得2=q ．………………7分 若在a ，b 之间插入3个数，在b ，c 之间插入个数，则⎩⎨⎧+=+=d
b c d
a b 24，
因此24b c a b -=
-，a b b c -=-22解得2
1=q （不合题意，舍去）． ………………9分 若a ，b 之间和b ，c 之间各插入2个数，则⎩⎨⎧+=+=d
b c d
a b 33，b c a b -=-，
解得1=q （不合题意，舍去） ………………11分 综上，a ，b 之间插入个数，在b ，c 之间插入3个数． ………………12分
（3）设所构成的等差数列的公差为d ，
由题意，d s a b )1(++=，1+-=
s a b d ，又d t b c )1(++=，1
+-=t c
b d ，…………14分 因此11+-=+-t b
c s a b ，即1)1(11+-=+-t q q s q ，因为1≠q ，因此q s t =++1
1．………………16分
因此，当1>q ，即c b a <<时，t s <；当10<<q ，即c b a >>时，t s >．
………………18分
（文）（1）当1=n 时，由已知)1(211-=a a ，得21=a ．
当2≥n 时，由)1(2-=n n a S ，)1(211-=--n n a S ，两式相减得122--=n n n a a a ， 即12-=n n a a ，因此}{n a 是首项为2，公比为2的等比数列．
因此，n n a 2=（*N ∈n ）． ………………4分
（2）由题意，d n a a n n )1(1++=+，故11+-=+n a a d n n ，即1
2+=n d n ，………………6分 因为43<<d ，因此41
23<+<n n
，即44233+<<+n n n ，解得4=n ，…………8分 因此516=
d ．因此所得等差数列首项为16，公差为3
16，共有6项．………………10分 因此那个等差数列所有项的和T 1442
)3216(6=+⋅=． ………………11分 因此，4=n ，144=T ． ………………12分
（3）由（1）知n
n f 2)(=，因此)log (2m n f n c n ⋅⋅=2
22log log 22m n m n n n ⋅⋅⋅=⋅= n n m m n m n n n 22log log 2)2(222⋅=⋅=⋅=⋅．………………14分
由题意，n n c c <+1，即n n m n m
n 222)1(⋅<⋅++对任意*N ∈n 成立， 因此12+<n n m 1
11+-=n 对任意*N ∈n 成立．………………16分 因为111)(+-=n n g 在*N ∈n 上是单调递增的，因此)(n g 的最小值为2
1)1(=g ． 因此212<m ．由0>m 得m 的取值范畴是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛22,0． 因此，当⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈22,0m 时，数列}{n c 是单调递减数列． ………………18分。