渐近线和双曲线爱情1

渐近线和双曲线，不知道从哪一时刻开始了各自的轨迹。

从哪一刻开始，他们的轨迹越来越近……可上天给他们开了个玩笑，定下一条规则，就是：双曲线无限接近渐近线，但永远不得有交点，永远不可以见面，否则，当他们第二次见面以后，会相距越来越远……但他们彼此是唯一的！双曲线拥有唯一的渐近线！
亲人之间是同心圆，面积有大小，可圆心是一样的。

陌生人之间是平行线，永不相交。

朋友之间是相交直线，不远千里有缘来相会，但交点之后，是天各一方。

爱人之间是三角函数图像，一个是正弦，一个是余弦：有无数交点，虽有时近有时远，但永远彼此相随——可同一坐标上，可以有多个三角函数图像，都可以彼此相随又有很多交点。

相对于他们，双曲线和渐近线是幸福的。

他们一个是曲线，一个是直线：既不是同心圆有相同的单调，也不会平行线一样永远都是那个距离。

不会如相交直线一样有过交点以后就越来越远，更不会三角函数一样的混乱。

他们彼此具有唯一性，即便在同一坐标系上有无数直线和双曲线，他们也可以马上找到属于自己的双曲线和渐近线。

这是爱情吗？至少不是这个世界的爱情，他们不该属于这个世界。

但这样挺好的，至少在远方有一个属于自己的唯一，这就够了！别无他求。

问题:
① 0个交点和两个交点的情况都很正常，那么依然可以用判别式判断位置
关系。

② 一个交点却包含了两种不同的位置关系：
相切和相交（特殊的相交），那么是否意味着判别式等于零，即可能相切也可能相交？
请判断下列直线与双曲线之间的位置关系:
① 3:=x l ，116
9:2
2=-y x c ②134:+=x y l ，116
9:2
2=-y x c 一般情况的研究：显然，这条直线与双曲线的渐近线是平行的，也就是相交，把直线方程代入双曲线方程，看看判别式如何？
m x a b y l +=:，1:22
22=-b
y a x c 根本就没有判别式的影子。

总结：当直线与双曲线的渐近线平行时，把直线方程代入双曲线方程，得到的是一次方程，根本得不到一元二次方程，当然也就没有所谓的判别式了。

具体如下：判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与双曲线的渐近线平行
相交（一个相交点）∆
（同侧021>x x 异侧021<x x ） 相交 相切（切点） 相离 归纳：一般不一定相切（可能相交）
相交不一定两解（可能一解）
两解不一定同支（可能一支）
典例：
如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点，求k 的取值范围。

解：直线与渐近线平行，1±=k ；联立方程，消元得一关于x 的一元二次方程，k 不等于±1，然后△《0，解出k 的值。

引申：
① 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 只有一个公共点，求k 的取
值范围。

② 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 有两个公共点，求k 的取值
范围。

③ 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的右支有两个公共点，求k
的取值范围。

④ 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的左右支各有一个公共点，
求k 的取值范围。

⑤ 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的左右支各有一个公共点
A ，B,O 为原点，且5S O A
B =∆，求k 的取值范围。

参考答案：
① 直线与渐近线平行，1±=k ；联立方程，消元得一关于x 的一元二次
方程，k 不等于±1，然后△＝0，解出k 的值
② 联立方程，消元得一关于x 的一元二次方程，k 不等于±1，然后△>0 ③ 联立方程，消元得一关于x 的一元二次方程，k 不等于±1，然后△>0
两根之和大于0，两根之积大于0。

④ 联立方程，消元得一关于x 的一元二次方程，k 不等于±1，然后△>0，
两根之积小于0。

⑤ 联立方程，消元得一关于x 的一元二次方程，k 不等于±1，然后△>0， 两根之积小于0；然后用弦长公式，求出AB 的长度用k 表示，再求出点 O 到直线AB 距离，也用k 表示，用5AB 2
1=⋅d ，得到一个关于k 方 程，解出k 的值，然后再检验k 是否满足前面的条件，满足的即可。