2013届高三第一次强化训练理科数学(含答案)

衡阳县六中2013届高三第一次强化训练
理科数学
分值:150分 时量:120分钟 考试时间2013年3月17号 命题:高三数学组 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1、已知集合{}
30<<∈=x x A R ，{}42
≥∈=x x B R ，则=B A ( )
A. {}32<<x x
B. {}32<≤x x
C. {}322<≤-≤x x x 或
D. R
2．已知平面向量a ，b 的夹角为60°，=a ，||1=b ，则|2|+=a b ( )
(A) 2 (C) (D)3.若点()4,m 在函数x y 2=的图像上，则函数⎪⎭
⎫
⎝⎛+=32
1
sin πmx y 的对称中心为（ ） （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-
0,3π （B ）()Z k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛+0,62ππ （C ）()Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,3ππ （D ）()Z k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛+1,122ππ
4．等差数列{}n a 中，若20131,a a 是方程016102
=+-x x 的两根，则201210072a a a ++=（ ）
(A) 15 (B)10 (C) 20 (D) 40
5、下列四个命题中，正确的是( )
A ．已知ξ服从正态分布N(0，σ2
)，且P(-2≤ξ≤0)=0.4，则P （ξ>2）=0.2
B ．设回归直线方程为y=2-2.5x ，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位
C ．已知命题p ：∃x∈R，tanx=1；命题q ：∀x∈R，x 2
-x+1>0．则命题“p ∧﹁q ”是假命题 D ．已知直线1l ：ax+3y-1=0,2l ：x+by+1=0，则21l l ⊥的充要条件是
b
a
=-3 6.双曲线22221x y b
-=的渐近线与圆22
(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（ ）
（A （B （C ）2 （D ）3
7．对于四面体ABCD ，有如下命题 ①棱AB 与CD 所在的直线异面；
②过点A 作四面体ABCD 的高，其垂足是BCD ∆的三条高线的交点； ③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面； ④分别作三组相对棱的中点连线，所得的三条线段相交于一点， 其中正确的是（ ）
(A) ① (B) ②③ (C) ①④ (D) ①③
8．已知函数2
()2f x x x =-，()2g x ax =+(a>0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f(x 1)= g(x 2)，则实数a 的取值范围是（ ） (A) 1
(0,]2
(B) 1[,3]2
(C) (0,3] (D) [3,)+∞
2
第二部分（非选择题）
二、填空题： 本大题共7小题，每小题5分 ，共35分.
（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
9．(几何证明选讲)如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于 C,D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC=4， AB=6，则MP ·NP= ． 10. (极坐标与参数方程)在极坐标系中，点(2,)2
A π
关
于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为_________. 11.（不等式选讲）对于实数y x ,，若22,11≤-≤-y x ，
则12+-y x 的最大值为 .
（二）必做题（12～16题）
12．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：
则这种卉的平均花期为 ________
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．
14．如果执行上面的程序框图，那么输出的a =_________．
15． 已知函数221,
0()2,0
x x f x x x x -⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若2(2)()
f a f a ->，则实数a 的取值范围是 _．
16．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1 3 5
7 9 11 13 15 17 19 ……
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．
正视图
侧视图
俯视图
B
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三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题共12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2
=bc ．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值2
3
时，判断△ABC 的形状．
18.（本小题共12分）我校篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回. (1)设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (2)第二次训练时恰好取到一个新球的概率.
19.（本小题共12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC=90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD=2，BC=
1
2
AD=1，
（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA // 平面BMQ ； （Ⅱ）若二面角M-BQ-C 为30°，设PM=tMC ，试确定t 的值 ．
20. （本小题共13分）某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币).该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍)，游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.
(1)设闯过n(n ∈N ，且n ≤12)关后三种奖励方案获得的慧币依次为A n ，B n ，C n ，试求出A n ，B n ，
P
A
B
C
D Q M
4
C n 的表达式；
(2)如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？
21.（本小题共13分）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，动点P
满足||||PA PB +=，记动点P 的
轨迹为W ． （Ⅰ）求W 的方程；
（Ⅱ）直线1y kx =+与曲线W 交于不同的两点C ，D ，若存在点(,0)M m ，使得CM DM
=成立，求实数m 的取值范围．
22．（本小题满分13分）已知函数2
()l n 20)f x a x a x
=+-> (.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的
单调区间； （Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有()
2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围； （Ⅲ）记()()()g xf x x b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 在区间1
[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围.
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衡阳县六中2013届高三第一次强化训练
理科数学答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

二、填空题： 本大题共7小题，每小题5分 ，共35分. 9.
4
25 10.
⎪⎭⎫ ⎝
⎛4,22π 11. 7 12. 16 （15.9 满分）
13. 12 14.
3
2-
15. ()2,1- 16.5
2
+-n n 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b 2
+c 2
-a 2
=bc ，由余弦定理 a 2
= b 2
+c 2
-2bccosA 可得cosA=
1
2
．(余弦定理或公式
必须有一个，否则扣1分) …… 3分
∵ 0<A<π （或写成A 是三角形内角 ……4分 ∴3
A π
= ……5分 （Ⅱ）2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 222x x =++ ………………7分 1
sin()62
x π=++， ……………………9分
∵3A π= ∴2(0,)3B π∈ ∴5666B πππ
<+< （没讨论，扣1分） ………10分
∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23
又∵3A π=， ∴3
C π
= ∴△ABC 为等边三角形． ………………12分
18.【解析】(1)ξ的所有可能取值为0，1，2.
设“第一次训练时取到i 个新球(即ξ=i)”为事件A i (i=0,1,2).因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个
是旧球，所以()2
3026C 1
P A P(0),C 5
=ξ===
()1133
126C C 3P A P(1),C 5=ξ=== ()23226C 1P A P(2).C 5
=ξ===
所以ξ的分布列为
6
C
ξ的数学期望为131E()
0121.555
ξ=⨯+⨯+⨯=
(2)设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ，则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件A 0B+A 1B+A 2B.而事件A 0B ，A 1B ，A 2B 互斥， 所以，P(A 0B+A 1B+A 2B)=P(A 0B)+P(A 1B)+P(A 2B).
由条件概率公式，得()()()11
33
0002
6C C 1133P A B P A P B|A ,5C 5525==⨯=⨯= ()()()11
24
11126C C 3388P A B P A P B|A ,5C 51525==⨯=⨯=
()()()1115
22226C C 1111P A B P A P B|A .5C 5315
==⨯=⨯=
所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为
()01238138P A B A B A B .25251575
++=
++= 19.证明：（Ⅰ）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ． ∵BC ∥AD 且BC=
12
AD ，即BC //AQ ．
∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， 又∵点M 是棱PC 的中点，∴ MN // PA ∵ MN ⊂平面MQB ，PA ⊄平面MQB ，∴ PA // 平面MBQ ．（Ⅲ）∵PA=PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥A D ．
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面
ABCD=AD ， ∴PQ⊥平面ABCD ． （不证明PQ⊥平面ABCD 直接建系扣1分）
如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC
的法向量为(0,0,1)n =；
(0,0,0)Q ，P ，
(0,3,0)B ，(1C
- 设(,
,)M x y z ，
则(,,PM
x y z =，(1,)MC x y z =
---，∵
PM tMC =， ∴ (1))(x t x y t y z t z =-
-⎧⎪=⎨⎪-⎩），
∴
11t x t y t z ⎧=-⎪+⎪
⎪=⎨+⎪
⎪=⎪⎩
在平面MBQ 中，QB =，(1t QM t =-
+ ∴ 平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =．
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∵二面角M-BQ-C 为30°，
cos30
3n m n m
︒
⋅=
=
=
+ 3t =．……13分 20. 【解析】(1)第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，∴A n =40n ， 第二种奖励方案闯过各关
所得慧币构成首项是4，公差也为4的等差数列，()
2n n n 1B 4n 42n 2n 2
-∴=+⨯=+， 第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是0.5，公比为2的等比数列，
()()n n n 1
121
2C 21.122
-∴==--
(2)令A n ＞B n ，即40n ＞2n 2+2n ，解得n ＜19， ∵n ∈N 且n ≤12，∴A n ＞B n 恒成立. 令A n ＞C n ，即()n
140n 212
-＞
，
可得n ＜10， ∴当n ＜10时，An 最大；当10≤n ≤12时，C n ＞A n ， 综上，若你是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大
于等于10时，应选用第三种奖励方案.
21.解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以A ，B
为焦点，长轴长为2分
∴1c =，a =2
2b =．……3分 W 的方程是22
132
x y +=．…………4分
（Ⅱ）设C ，D 两点坐标分别为11(,)C x y 、22(,)D x y ，C ，D 中点为00(,)N x y ．
由22
113
2y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 22(32)630k x kx ++-=． ……6分 所以122632
k
x x k +=-+ …………7分
∴12023232x x k x k +==-+， 从而002
2
132
y kx k =+=+． ∴MN 斜率2002232332
MN y k k k x m m k +==
---+． ………9分 又∵CM DM =， ∴CD MN ⊥
，∴222132332
k k k m k +=---+ 即 232k m k =-+ …10分 当0k =时，0m =； ……11分
8
当0k
≠时，2
12323k m k k k
=-
=-++]126,0()0,126[⋃-∈． 故所求m 的取范围是]12
6
,126[-． ……13分
22．解: (I) 直线
2y x =+的斜率为1.
函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
因为22()a f x x x '=-+，所以22(1)111a
f '=-+=-，所以1a =.
所以2()ln 2f x x x =+-. 2
2
()x f x x -'=.
由()0f x '>解得2x >；由()0f x '<解得02x <<.
所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞,单调减区间是(0,2). ……………………4分
(II) 2222()a ax f x x x x -'=-+=，
由()0f x '>解得2x a >；由()0f x '<解得2
0x a
<<.
所以()f x 在区间2(, )a +∞上单调递增，在区间2
(0, )a 上单调递减.
所以当2x a =时，函数()f x 取得最小值，min 2
()y f a
=.
因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，所以2
()2(1)f a a
>-即可.
则22
ln 22(1)2a a a a
+->-. 由2ln a a a >解得20a e <<. 所以a 的取值范围是2
(0, )e
. ………………………………8分
(III)依题得2()ln 2g x x x b x =++--，则22
2
()x x g x x +-'=.
由()0g x '>解得1x >；由()0g x '<解得01x <<.
所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数.
又因为函数()g x 在区间1
[, ]e e -上有两个零点，所以1()0,()0,
(1)0. g e g e g -⎧⎪⎨⎪<⎩
≥≥
解得2
11b e e
<+-≤
. 所以b 的取值范围是2
(1, 1]e e
+-. ………………………………………13分。