二维问题有限元

平面应变问 题应力应变 关系
2、二维问题最小势能原理
对于线弹性问题，结构的应变能为 1 V x x y y xy xy dV 2 V 1 t T T dV dA 2 V 2 A 外力势能为：
根据叉积的几何意义，可知：
2 r12 r13 (x 2 x1 )(y3 y1 ) (x 3 x1 )(y 2 y1 ) k 1 x1 (x 2 x1 )(y3 y1 ) (x 3 x1 )(y 2 y1 ) 1 x 2 1 x3 y1 y2 y3
x x y 0 xy
0 y
y u x v
T
1 1 x 0 x E1 1 0 y y 2 1 (1 1 ) 1 1 z xy 0 0 2
xy (1 ) 2 xy xy xy G E yz (1 ) 2 yz yz yz G E zx (1 ) 2 zx zx zx G E
(3)物理关系 (a)平面应力问题
考虑力矩的平衡，可得： 上式整理后，可得：
x yx Fx 0 x y x y xy F 0 0 y x y 0 y
xy yx
y x f x 0 y f x y 0
平面应力问 题应力应变 关系
E1 E ; 1 2 1
D
1
x 1 0 x E 1 0 y y 1 (1 2) 1 2 xy xy 0 0 2
z 0, yz zx 0
x y x E E 1 x 0 x x 0 x 1 1 E y x y 1 0 1 0 y y y 2 y E E E (1 ) 0 0 2(1 ) z 1 z xy xy 2(1 ) 0 0 2 xy E xy
1、二维问题的基本方程
x yx fx 0 x y x y xy f 0 0 y x y 0 y y x f x 0 y f x y 0 xy
u 0 1 x 2 y v 0 1 x 2 y
其中：0、1、2、0、1、2称 为广义坐标，后面将建立广义坐标 和结点位移之间的关系，从而建立 有限元分析格式，以该种方式推导 的有限元格式称为广义坐标有限元。
（1）位移模式选择：
u 0 1 x 2 y v 0 1 x 2 y
2、二维问题最小势能原理
结构的总势能为：V Βιβλιοθήκη t T dA 2 A
T T A
VP t u f dA t u T d
t T T T V Vp dA t u f dA t u T d A 2 A
b1, b2 , b3 为行列式第二列的代数余子式； c1,c2 ,c3 为行列式第三列的代数余子式。
（1）位移模式选择：
1 x1 det 1 x2 1 x3 y1 1 x1 y2 1 x2 y3 1 x3 y1 1 x1 y2 0 x2 x1 y3 0 x3 x1 y1 y2 y1 y3 y1
(3)物理关系 (b)平面应变问题
x ( y z ) x E E y ( z x ) y E E z ( x y ) z E E
z 0,
yz zx 0
x 1 2 (1 ) x ( y z ) x y E E E E 2 y ( ) 1 (1 ) y z x y x E E E E
u1 ü ï a3 ì ï ï ï ï ï 镲 b3 睚 u2 镲 c3 镲 镲 þ ï î u3 ?
u= [ 1 x
u1 ü ï a3 ì ï ï ï ï ï b3 镲 u2 = 睚 镲 c3 镲 镲 þ ï î u3 ?
(1)平衡方程 对于右图所示微元体，因为结构 平衡，微元体也必须保持平衡， 考虑x、y方向力的平衡可得：
yx x dx dy yx dx yx dy dx f x dxdy 0 x dy x x y dx y dy dx dy xy dx dy f dxdy 0 y xy xy y y y x
VP
f u f v dV T u T v dS
V x y 1 x y A T T A
t f x u f y v dA t Tx u Ty v d t u f dA t u T d
最小势能原理表述为：对于线弹性结构，满足连续性要求 和位移边界条件的位移中，满足平衡方程和力边界条件的 位移使势能达到最小值，即
0
最小势能原理的证明涉及二重积分的Gauss散度定理，感 兴趣的同学，可以自己证明。
3、三角形常应变单元
（1）位移模式选择：
下图所示为有三个结点的三角形常 应变单元，三个顶点的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3),其结 点位移分别为(u1，v1)、(u2，v2)、 (u3，v3)。设单元的位移为:
x2 x1 y3 y1 x3 x1 y2 y1
根据矢量叉积(cross vector product)的定义
r12 r13 (x 2 x1 )i (y 2 y1 ) j (x 3 x1 )i (y3 y1 ) j (x 2 x1 )(y3 y1 ) (x 3 x1 )(y 2 y1 ) k
z (x y )
(3)物理关系 (b)平面应变问题
x x 1 (1 ) (1 ) E y y
x 1 2 (1 ) x ( y z ) x y E E E E 2 y ( ) 1 (1 ) y z x y x E E E E
（1）位移模式选择：
将上式代入位移表达式，可得:
禳 a0 镲 镲 镲 y ]睚 a1 = [ 1 x 镲 镲 a2 镲 镲 铪 轾 a1 a 2 犏 1 犏 y] b1 b 2 犏 2D 犏 c1 c2 犏 臌
禳 a0 镲 镲 1 镲 a1 = 睚 镲 2D 镲 a 镲 镲 铪2
轾 a1 a 2 犏 犏 b1 b 2 犏 犏 c1 c 2 犏 臌
1、二维问题的基本方程
(2)几何方程 如右图所示变形前在P点 沿x和y方向分别取微线段 PA=dx，PB=dy，变形后， 微线段分别变为P’A’和 P’B’，如图所示。 则P点沿x、y方向的线应变和P点的且应变为：
u u x dx u dx u x x x x x v v y 0 y dy v dx v y y y xy y v u xy x y 0 u x y v 0 x y u x v
求解上述方程，可得:
禳 a0 镲 镲 1 镲 a1 = 睚 镲 2D 镲 a2 镲 镲 铪 轾 a1 a 2 犏 犏 b1 b 2 犏 犏 c1 c 2 犏 臌 u1 ü ï a3 ì ï ï ï ï ï b3 镲 u2 睚 镲 c3 镲 镲 þ ï î u3 ?
其中： a1 ,a 2 ,a 3 为行列式第一列的代数余子式；
T
0 y
1、二维问题的基本方程
(3)物理关系 如右图所示，材料沿x方向发生 伸长变形时，纵向收缩，存在如 下关系：
x x E x y x E
x x E E ( y z ) x 1 x y 1 ( ) 1 y y z x y E E E 1 z z z z E E ( x y )
第三章 二维问题有限元
1、二维问题的基本方程 (1)平衡方程 (2)几何方程 (3) 应力-应变关系 (4) 边界条件 2、二维问题最小势能原理 3、三角形常应变单元 4、面积坐标和形函数的性质 5、等效结点力的计算 6、结构平衡方程 7、例题 8、有限元程序设计简介 9、三角形线性应变单元介绍
1、二维问题的基本方程
x (1 ) E (1 ) 1 (1 2 ) y y
x 1 0 x E 1 0 y y 1 (1 2) 1 2 xy xy 0 0 x 2