西安区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题(1)

西安区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2． 已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（
）
A ．4x+2y=5
B ．4x ﹣2y=5
C ．x+2y=5
D ．x ﹣2y=5
3． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（
）
A ．该几何体体积为
B ．该几何体体积可能为
C ．该几何体表面积应为+
D ．该几何体唯一
4． 已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ）A ．2
B ．6
C ．4
D ．2
5． 若关于的不等式的解集为，则参数的取值范围为（ ）
x 07|2||1|>-+-++m x x R m A ．
B ．
C ．
D ．),4(+∞),4[+∞)4,(-∞]
4,(-∞【命题意图】本题考查含绝对值的不等式含参性问题，强化了函数思想、化归思想、数形结合思想在本题中的应用，属于中等难度.
6． 已知α是△ABC 的一个内角，tan α=，则cos （α+）等于（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 集合，，，则，
{}|42,M x x k k Z ==+∈{}|2,N x x k k Z ==∈{}|42,P x x k k Z ==-∈M ，的关系（ ）
N P A ．
B ．
C ．
D ．M P N =⊆N P M =⊆M N P =⊆M P N
==8． 执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为（
）
3x =x
A．243 B．363 C．729 D．1092
【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．
9．若函数y=a x﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（）
A．a＞1且b＜1B．a＞1且b＞0C．0＜a＜1且b＞0D．0＜a＜1且b＜0
10．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．给出函数，如下表，则的值域为（
）
()f x ()g x (())f g
x
A ．
B ．
C ．
D ．以上情况都有可能{}4,2{}1,3{}1,2,3,412．已知集合，，则（ ）
{2,1,0,1,2,3}A =--{|||3,}B y y x x A ==-∈A B = A ．
B ．
C ．
D ．{2,1,0}--{1,0,1,2}-{2,1,0}--{1,,0,1}
-【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
二、填空题
13．若命题“∀x ∈R ，|x ﹣2|＞kx+1”为真，则k 的取值范围是 ．
14．已知实数，满足，目标函数的最大值为4，则______．
x y 2330220y x y x y ≤⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
3z x y a =++a =【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．15．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22x f x =-，则不等式()16f x -≤的解集 是 ▲ ．
16．若展开式中的系数为，则__________．
6
()mx y +3
3
x y 160-m =【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．
17．自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到C 2
2
(3)(4)4x y -++=(,)P x y Q P 原点的长，则的最小值为（ ）
O PQ A ．
B ．3
C ．4
D ．13102110
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．
三、解答题
18．如图，⊙O 的半径为6，线段AB 与⊙相交于点C 、D ，AC=4，∠BOD=∠A ，OB 与⊙O 相交于点．（1）求BD 长；
（2）当CE ⊥OD 时，求证：AO=AD ．
19．（本小题满分12分）
设椭圆的离心率，圆与直线相切，为坐标原
2222:1(0)x y C a b a b +=>>12e =22
127x y +=1x y a b
+=O 点.
（1）求椭圆的方程；
C （2）过点任作一直线交椭圆于两点，记，若在线段上取一点,使(4,0)Q -C ,M N MQ QN λ=
MN R 得，试判断当直线运动时，点是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方
MR RN λ=-
R 程；若不是，请说明理由.
20．已知函数f （x ）=lnx ﹣kx+1（k ∈R ）．
（Ⅰ）若x 轴是曲线f （x ）=lnx ﹣kx+1一条切线，求k 的值；（Ⅱ）若f （x ）≤0恒成立，试确定实数k 的取值范围．　
21．如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且sinB=，cos ∠ADC=﹣．
（Ⅰ）求sin ∠BAD 的值；（Ⅱ）求AC 边的长．
22．已知函数f （x ）=alnx ﹣x （a ＞0）．（Ⅰ）求函数f （x ）的最大值；
（Ⅱ）若x ∈（0，a ），证明：f （a+x ）＞f （a ﹣x ）；
（Ⅲ）若α，β∈（0，+∞），f （α）=f （β），且α＜β，证明：α+β＞2α　
23．（本小题满分12分）已知且过点的直线与线段有公共点, 求直()()2,1,0,2A B ()1,1P -AB 线的斜率的取值范围.
24．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥
A1B1，D为棱A1B1上的点．
（1）证明：DF⊥AE；
（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．
西安区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】111]
试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B．
考点：几何体的结构特征．
2．【答案】B
【解析】解：线段AB的中点为，k AB==﹣，
∴垂直平分线的斜率k==2，
∴线段AB的垂直平分线的方程是y﹣=2（x﹣2）⇒4x﹣2y﹣5=0，
故选B．
【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．
3．【答案】C
【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到
且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1
该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为的正三角形组成
故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+•（）2=．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．
4．【答案】B
【解析】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC==2，CB=R=2，
∴切线的长|AB|===6．
故选：B ．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．　
5． 【答案】A
6． 【答案】B
【解析】解：由于α是△ABC 的一个内角，tan α=，则
=，又sin 2α+cos 2α=1，
解得sin α=，cos α=（负值舍去）．则cos （α+）=cos cos α﹣sin sin α=×（﹣）=．
故选B ．
【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．　
7． 【答案】A 【解析】
试题分析：通过列举可知，所以.{}{}2,6,0,2,4,6M P N ==±±=±±± M P N =⊆考点：两个集合相等、子集．18． 【答案】D
【解析】当时，是整数；当时，是整数；依次类推可知当时，是整数，则
3x =y 2
3x =y 3(*)n
x n N =∈y 由，得，所以输出的所有的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D ．
31000n
x =≥7n ≥x 9． 【答案】B
【解析】解：∵函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0﹣b ﹣1＜0，即a ＞1，b ＞0，故选：B
10．【答案】C
【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，
故外接球半径为，外接球的体积为，
故选C ．
【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．　
11．【答案】A 【解析】
试题分析：故值域为
()()()()((1))14,((2))14,((3))32,((4))34,f g f f g f f g f f g f ========.
{}4,2考点：复合函数求值．12．【答案】C
【解析】当时，，所以，故选C ．
{2,1,0,1,2,3}x ∈--||3{3,2,1,0}y x =-∈---A B = {2,1,0}--二、填空题
13．【答案】　[﹣1，﹣）　．
【解析】解：作出y=|x ﹣2|，y=kx+1的图象，如图所示，直线y=kx+1恒过定点（0，1），结合图象可知k ∈[﹣1，﹣）．
故答案为：[﹣1，﹣）．
【点评】本题考查全称命题，考查数形结合的数学思想，比较基础．　
14．【答案】3
-【解析】作出可行域如图所示：作直线：，再作一组平行于的直线：，当直线
0l 30x y +=0l l 3x y z a +=-经过点时，取得最大值，∴，所以，故
l 5(,2)3M 3z a x y -=+max 5
()3273
z a -=⨯+=max 74z a =+=
．
3a =-
15．【答案】[]
2,4-考
点：利用函数性质解不等式1111]16．【答案】2
-【解析】由题意，得，即，所以．3
3
6160C m =-3
8m =-2m =-17．【答案】D 【
解
析
】
三、解答题
18．【答案】
【解析】解：（1）∵OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC ，∴∠OAC=∠ODB ．∵∠BOD=∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．∴，
∵OC=OD=6，AC=4，∴
，∴BD=9．…
（2）证明：∵OC=OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD=∠BOD=∠A ．∴∠AOD=180°﹣∠A ﹣∠ODC=180°﹣∠COD ﹣∠OCD=∠ADO ．∴AD=AO …
【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．
19．【答案】（1）；（2）点在定直线上.22
143
x y +=R 1x =-【解析】
试
题解析：
（1）由，∴，∴，12e =2214e a =2234a b ==
解得，所以椭圆的方程为.2,a b ==C 22
143
x y +=设点的坐标为，则由，得，
R 00(,)x y MR RN λ=-⋅ 0120()x x x x λ-=--
解得112122121201
1224424()41()814
x x x x x x x x x x x x x x x λλ++⋅-+++===+-++++又，2212122226412322424()24343434k k x x x x k k k
---++=⨯+⨯=+++，从而，212223224()883434k x x k k
-++=+=++121201224()1()8x x x x x x x ++==-++故点在定直线上.
R 1x =-考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.
20．【答案】
【解析】解：（1）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=﹣k=0，
∴x=，
由ln ﹣1+1=0，可得k=1；
（2）当k ≤0时，f ′（x ）=﹣k ＞0，f （x ）在（0，+∞）上是增函数；
当k ＞0时，若x ∈（0，）时，有f ′（x ）＞0，若x ∈（，+∞）时，有f ′（x ）＜0，
则f （x ）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．
k ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上是增函数，
而f （1）=1﹣k ＞0，f （x ）≤0不成立，故k ＞0，
∵f （x ）的最大值为f （），要使f （x ）≤0恒成立，则f （）≤0即可，即﹣lnk ≤0，得k ≥1．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，渗透了分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意，因为
sinB=
，所以cosB=…
又cos ∠ADC=﹣
，所以sin ∠ADC=
…所以sin ∠BAD=sin （∠ADC ﹣∠B ）=×
﹣（﹣
）×=…
（Ⅱ）在△ABD 中，由正弦定理，得
，解得BD=…
故BC=15，
从而在△ADC 中，由余弦定理，得AC 2=9+225﹣2×3×15×（﹣）=，所以AC=…
【点评】本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）令，所以x=a ．
易知，x ∈（0，a ）时，f ′（x ）＞0，x ∈（a ，+∞）时，f ′（x ）＜0．
故函数f （x ）在（0，a ）上递增，在（a ，+∞）递减．
故f （x ）max =f （a ）=alna ﹣a ．
（Ⅱ）令g （x ）=f （a ﹣x ）﹣f （a+x ），即g （x ）=aln （a ﹣x ）﹣aln （a+x ）+2x ．所以，当x ∈（0，a ）时，g ′（x ）＜0．
所以g （x ）＜g （0）=0，即f （a+x ）＞f （a ﹣x ）．
（Ⅲ）依题意得：a ＜α＜β，从而a ﹣α∈（0，a ）．
由（Ⅱ）知，f （2a ﹣α）=f[a+（a ﹣α）]＞f[a ﹣（a ﹣α）]=f （α）=f （β）．
又2a ﹣α＞a ，β＞a ．所以2a ﹣α＜β，即α+β＞2a ．
【点评】本题考查了利用导数证明不等式的问题，一般是转化为函数的最值问题来解，注意导数的应用．　
23．【答案】或.
3k ≤-2k ≥【解析】
试题分析：根据两点的斜率公式，求得，，结合图形，即可求解直线的斜率的取值范围.
2PA k =3PB k =-试题解析：由已知，，11212PA k --=
=-12310
PB k --==--所以，由图可知，过点的直线与线段有公共点, ()1,1P -AB 所以直线的斜率的取值范围是:或.
3k ≤-2k ≥
考点：直线的斜率公式.
24．【答案】
【解析】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB，
又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1，
又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），设D（x，y，z），且λ∈，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），
则D（λ，0，1），所以=（，，﹣1），
∵=（0，1，），∴•==0，所以DF⊥AE；
（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为．
理由如下：
设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，
∵=（，，），=（，﹣1），
∴，即，
令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））．
由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），
∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，
∴|cos＜，＞|==，即=，
解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．
【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．。