高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1)课时提升作业2 新人教A版必修4

正弦函数、余弦函数的性质(一)
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.(2020·永川高一检测)函数f(x)=sin2x的奇偶性为( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
【解析】选A. f(-x)=sin2(-x)
=-sin2x=-f(x)，故f(x)是奇函数.
【变式训练】函数f(x)=是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
【解析】选D.因为f(x)的定义域为
，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
2.函数y=3cos的最小正周期是( )
A. B. C.2π D.5π
【解析】选D. y=3cos的最小正周期为=5π.
3.(2020·塘沽高一检测)定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f=1，则f的值为( )
A.1
B.-1
C.0
D.2
【解析】选B. f(x)周期为π，且是奇函数，
所以f=f=-f=-1.
【变式训练】若f(x)sinx是周期为π的奇函数，则f(x)可以是( )
A.sinx
B.cosx
C.sin2x
D.cos2x
【解析】选B.若f(x)=cosx，
则令g(x)=f(x)sinx=cosxsinx，
因为g(-x)=cos(-x)sin(-x)=-cosxsinx=-g(x)，故为奇函数，且g(x+π)=cos(x+π)sin(x+π)=cosxsinx，所以周期为π.当f(x)为A，C，D选项时均不符合要求.
4.(2020·新课标全国卷Ⅰ)函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π，π]的图象大致为
( )
【解题指南】首先判断函数的奇偶性进行排除，然后再根据函数的图象特征取最佳值进行验证排除.
【解析】选C.因为f(-x)=-(1-cosx)sinx，
即f(-x)=-f(x)，而定义域x∈[-π，π]关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数，排除B.
又当x=时f=sin=1>0，排除 A.当x=时f=sin=>1，排除D.
5.(2020·唐山高一检测)在函数y=sin，y=，y=sin，y=cos中，最小正周期为π的函数的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C. y=sin不是周期函数，y=，
y=sin，y=cos的周期均为π.
【拓展延伸】求三角函数周期的常用方法
1.定义法：若f(x)满足f(x+T)=f(x)，T≠0，则T为其周期.
2.公式法：对y=sin(ωx+φ)或y=cos(ωx+φ)，最小正周期为T=.
3.图象法：画出图象，观察周期，如y=.
6.已知函数f(x)=cos(x+φ)为奇函数，则φ的一个取值为( )
A. B. C.0 D.
【解析】选D. f(x)=cos(x+φ)为奇函数，则φ=kπ+，k∈Z，当k=0，得φ=.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.(2020·宁波高一检测)函数f(x)=cos2x+1的图象关于对称(填“原点”或“y轴”). 【解析】函数f(x)的定义域R关于原点对称，又因为f(-x)=cos2(-x)+1=cos2x+1=f(x)，
所以f(x)为偶函数，故其图象关于y轴对称.
答案：y轴
8.(2020·阳泉高一检测)函数f(x)=sin(ω>0)的周期为，则
ω= .
【解析】=，所以ω=8.
答案：8
9.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数.
②存在φ，使f(x)是偶函数.
③存在φ，使f(x)是奇函数.
④对任意的φ，f(x)都不是偶函数.
其中错误的是(填序号).
【解析】当φ=+kπ，k∈Z时，f(x)为偶函数；当φ=kπ，k∈Z时，f(x)为奇函数.由此可知①④是错误的.
答案：①④
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.(2020·聊城高一检测)判断函数f(x)=cos(2π-x)-x3sin x的奇偶性.
【解析】因为f(x)=cos(2π-x)-x3sin x
=cosx-x3sin x，其定义域为R，
f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)
=cosx-x3sin x=f(x)，所以f(x)为偶函数.
11.已知函数y=5cos(其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a+3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值.
【解析】由5cos=，
得cos=.
因为函数y=cosx在每个周期内出现函数值为有两次，而区间[a，a+3]的长度为3，所以为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度. 即2×≤3，且4×≥3.
所以≤k≤.又k∈N，故k=2，3.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2020·鞍山高一检测)函数f(x)=-sinx的奇偶性是( )
A.奇函数
B.非奇非偶函数
C.偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
【解析】选A.因为x∈R，f(-x)=-sin(-x)=sinx
=-f(x)，所以此函数为奇函数.
2.已知函数f(x)=sin，则f(1)+f(2)+…+f(2020)= ( )
A.-
B.0
C.
D.
【解析】选B.f(x)的周期T=6，
而f(1)=sin=，
f(2)=，f(3)=0，
f(4)=-，
f(5)=-，f(6)=0，
所以原式=335×(f(1)+f(2)+…+f(6))+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)
=0+++0++=0.
3.(2020·通化高一检测)设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x)，f(x+2)=f(x)，则函数y=f(x)的图象是( )
【解题指南】根据题意，确定函数y=f(x)的性质，再判断哪一个图象具有这些性质.
【解析】选B.由f(-x)=f(x)得y=f(x)是偶函数，所以函数y=f(x)的图象关于
y轴对称，可知B，D符合；由f(x+2)=f(x)得y=f(x)是周期为2的周期函数，选项D的图象的最小正周期是4，不符合，选项B的图象的最小正周期是2，符合，故选B.
4.(2020·宁波高一检测)下列函数中，奇函数的个数为( )
①y=x2sinx；②y=sinx，x∈[0，2π]；③y=sinx，x∈[-π，π]；④y=xcosx.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.因为y=sinx，x∈[0，2π]的定义域不关于原点对称，所以②不是奇函数，①③④符合奇函数概念.
【变式训练】(2020·洋浦高一检测)函数y=cosπ-2020x是( )
A.奇函数
B.非奇非偶函数
C.偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
【解析】选A. y=cos
=cos=sin2020x，所以为奇函数.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2020·江苏高考)函数y=3sin的最小正周期为.
【解题指南】利用三角函数周期公式T=.
【解析】函数y=3sin的最小正周期T==π.
答案：π
6.若函数f(x)=2cos的最小正周期为T，且T∈(1，3)，则正整数ω的最大值是. 【解题指南】首先利用公式求出周期，然后结合T的取值范围来求正整数ω的最大值.
【解析】因为1<<3，所以<ω<2π，
所以正整数ω的最大值是6.
答案：6
【变式训练】方程cos=在区间(0，100π)内解的个数是( )
A.98
B.100
C.102
D.200
【解析】选B.用图象法来解，cos=等价于-sinx=，在同一坐标系中作出y=-sinx 与y=的图象在一个周期内的图象，
有两个交点，利用周期判断(0，100π)内解的个数为100个.
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.(2020·镇江高一检测)已知函数y=sinx+，
(1)画出函数的简图.
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期.
【解析】(1)y=sinx+
=图象如下：
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.
8.函数f(x)满足f(x+2)=-.
求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期.
【解析】因为f(x+4)=f((x+2)+2)
=-=f(x)，
所以f(x)是周期函数，且4是它的一个周期.
【拓展延伸】判断一个函数为周期函数的方法
判断方法有两种，一是定义法，如本题.二是图象法，需要把函数图象画出再判断. 【变式训练】函数f(x)满足f(x+2)=-f(x).
求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期.
【证明】因为f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)
=-(-f(x))=f(x).
所以f(x)是周期函数，且4是它的一个周期.。