高三一轮总复习高效讲义第6章第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用课件

|x1x2＋y1y2|≤ （x21 ＋y21 ）（x22 ＋y22 ）
(一)必背常用结论 1．平面向量数量积运算的常用公式： (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2) (a±b)2＝a2±2a·b＋b2． 2．有关向量夹角的两个结论： (1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b夹角为0时不 成立)． (2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b夹角为π时不 成立)．
的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，向
量A6A7与A7A8的夹角为(
)
A．π3
B．π4
C．23π
D．34π
解析：因为正八边形的内角和为8－2 π＝6π，
所以A6A7与A7A8的夹角为π－∠A6A7A8＝π－68π ＝π4 ． 答案：B
2．(2021·内蒙古呼和浩特一模)向量a＝1，2 ，b＝－2，k ，若a⊥b，则3a＋b ＝( )
＋
→ OP
→ )( BO
＋ O→P
)＝
→ AO
→ ·BO
＋ O→P
→ ·( AO
＋ B→O
)＋
OP2，
因为O→A
→
＝
OB
＝2，且向量O→A
与O→B
的夹角为120°，
所以A→O
→ ·BO
＝O→A
→ ·OB
→
＝
OA
→
·
OB
·cos
120°＝2×2×(－12
)＝－2，又因为P→O
＝1，
所以A→P
3
， AD
＝
6，
则B2，0 ，C0，2
3
，D－
3，
3
，
所以A→B ＝2，0 ，A→C ＝0，2
3
，C→D
＝－
3，－
3
，
→ DB
＝2＋
3，－
3
，
所以A→B ·C→D ＋A→C ·D→B ＝－6－2 3 ．
答案：C
2．已知直角梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠ABC＝90°，P 是边 BC 上一点(不包括 B·C
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识 1．两向量的夹角 (1)定义：已知两个非__零__向量a，b，O是平面上的任意一点，作O→A ＝a，O→B ＝b，则__∠__A_O_B__＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，记作 〈a，b〉． (2)特例：①当θ＝__0__时，向量a与b同向；
π ②当θ＝__2__时，向量a与b垂直，记作a⊥b； ③当θ＝_π___时，向量a与b反向．
解析：因为a＝(2，－4)，b＝(－6，12)，所以b＝－3a．
在A中，由b＝－3a，可得|b|＝3|a|，故A正确；
在B中，由b＝－3a，可得a∥b，故B正确；
在C中，由b＝－3a，可得a与b的夹角为180°，故C错误；
在D中，a在b方向上的投影为
a·b |b|
＝
（2，－4）·（－6，12） （－6）2＋122
→ ·BP
＝O→P
·A→O＋B→O
－1，设O→A
＋O→B
＝O→C
，以O→A
、O→B
为邻边作
平行四边形OACB，如图所示：
因为O→A
→
＝
OB
＝2，所以平行四边形OACB是菱形，而向量O→A
与O→B的夹角为Βιβλιοθήκη 120°，所以O→C
→
＝
OA
→
＝
OB
＝2，
因此A→P ·B→P ＝O→P ·A→O＋B→O －1＝－O→P ·O→A＋O→B －1＝－O→P ·O→C －1，
→ CD
＝b，过
→ AB
的起点A和终点B，分别作
C→D 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量 b投影，___A_1_B_1__叫做向量a在向量b上的投影向量．
(2)如图所示，若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1＝ __|a_|_c_o_s _θ_e___．
两点)．若|A→B |＝2，|B→C |＝4，且|C→D |＝|A→B |＋|B→P |，则P→A ·P→D 的最小值为(
)
A．0
B．2
C．3
D．4
解析：由题意，P→A ＝P→B ＋B→A ，P→D ＝P→C ＋C→D ，若B→P ＝λB→C
(0<λ<1)，则P→C ＝(1－λ)B→C ，
∴P→A ·P→D ＝(B→A －λB→C )·[(1－λ)B→C ＋C→D ]＝λ(λ－1)B→C 2＋
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ．
结论
几何表示
坐标表示
数量积
|a||b|cos θ
a·b＝____x_1_x_2＋__y_1_y_2____
模
夹角 a⊥b的充要条件 a∥b的充要条件
|a|＝ a·a cos θ＝|aa|·|bb| __a_·_b_＝__0___
→ DE
→ ·CB
的
值为________；D→E
→ ·DC
的最大值为________．
解析：法一 以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(如图)，则
A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(t，0)，t∈[0，1]，
则D→E
＝(t，－1)，C→B
＝(0，－1)，所以D→E
形，另一种是有一个锐角是30°的直角三角形，如图两个三角板斜边之比为 3 ∶2．四
边形ABCD就是由三角板拼成的，
AB
＝2，∠ABC＝60°，则A→B
·C→D
＋A→C
·D→ B
的值
为( )
A．2 3
B．－6
C．－6－2 3
D．－2 3
解析：建立如图所示直角坐标系：
因为AB
＝2，∠ABC＝60°，所以AC ＝2
直接法 积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算 根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示
几何法 出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解 若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通
坐标法 过坐标运算求解
[对点练] 1．(2021·吉林长春模拟)一副三角板有两种规格，一种是等腰直角三角
2．向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量__|a_|_|b_|_c_o_s _θ___叫做向量a与b的数
量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_|a_||_b_|c_o_s_θ__．
规定零向量与任一向量的数量积为__0__．
3．投影向量
(1)设a，b是两个非零向量，
→ AB
＝a，
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 平面向量数量积的基本运算[典例引领]
【例1】(1)(一题多法)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2A→B
→ ·AD
，则A→D
→ ·AC
＝________．
解析： 法 一(几何法 ) 因 为 A→B ·A→C ＝2 A→B ·A→D ，所 以
→ ·CB
＝(t，－1)·(0，－1)＝1．
因为D→C
＝(1，0)，所以D→E
→ ·DC
＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，
故D→E
→ ·DC
的最大值为1．
法二
由图知，无论E点在哪个位置，
→ DE
在
→ CB
方向上的投影
都是CB＝1，
∴D→E
→ ·CB
＝|C→B
|·1＝1．
当E运动到B点时，
→ DE
在
故A→D
→ ·AC
＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12．
答案：12
(2)已知
→
OA
→
＝
OB
＝2，且向量
→ OA
与
→ OB
的夹角为120°，又
→
PO
＝1，则
A→P ·B→P 的取值范围为(
)
A．－1，1
B．－1，3
C．－3，1
D．－3，3
解析：由 A→P
→ ·BP
＝(
→ AO
A→B ·A→C －A→B ·A→D ＝A→B ·A→D ， 所以A→B ·D→C ＝A→B ·A→D ．
因为 AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4 ，
所以
→ 2|AB
|＝|A→B
→ |·|AD
|cos
π 4
，化简得|A→D
|＝2
2
．
故A→D
·A→C
＝A→D
·(A→D
＋D→C
)＝|A→D
|2＋A→D
＝－2
5
，故D错
误．
答案：AB
5．已知向量a＝( 3 ，1)，b＝(x，y)(xy≠0)，且|b|＝1，a·b<0，则向量b的坐标可 以是________．(写出一个即可)
解析：由题意
x2＋y2＝1， 3x＋y<0
且xy≠0，例如x＝y＝－
2 2
就能满足此条件．
答案：－
22，－
2 2
(答案不唯一)
·D→C
＝(2
2
)2＋2
2
×2cos
π 4
＝
12．
法二(坐标法)
如图，建立平面直角坐标系xAy．
依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m
＞0，n＞0，则由 A→B
→ ·AC
＝2 A→B
→ ·AD
，得(n，0)·(m＋2，m)＝
2(n，0)·(m，m)，
所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2．
B→A ·C→D ，又 BA∥CD，|C→D |＝|A→B |＋|B→P |，
∴P→A
→ ·PD
＝16λ(λ－1)＋|B→A
→ ||CD
|＝16λ(λ－1)＋4＋8λ＝16λ2－8λ＋4＝16λ－14
2
＋3，
∴当 λ＝14 时，P→A ·P→D 的最小值为 3． 答案：C
3．(一题多法)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则
→ ·DC
＝(
)
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析：由题意知，四边形ABCD为直角梯形，D→C ＝1，D→C ·B→C ＝0，
所以A→D
→ ·DC
＝A→B＋B→C＋C→D
→ ·DC
＝A→B
→ ·DC
＋C→D
→ ·DC
＝1×2－1＝1．
答案：B
4．(多选)如果平面向量 a＝(2，－4)，b＝(－6，12)，那么下列结论中正确的是( ) A．|b|＝3|a| B．a∥b C．a 与 b 的夹角为 30° D．a 在 b 方向上的投影为 2 5
a＝λb
|a|＝ x21 ＋y21
cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21 ＋y12 x22 ＋y22
_______x_1x_2_＋__y_1y_2_＝__0_____
_______x_1 _y_2－__x_2_y_1＝__0_____
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b时等号成立)
→ DC
方向上的投影最大即为DC＝1，
∴(D→E
→ ·DC
)max＝|D→C
|·1＝1．
答案：1 1
考点2 平面向量数量积的应用[多维讲练] 平面向量数量积的应用是本章重点，也是高考热点，题型为选择或填空题，主要 考查向量的垂直、向量的模及夹角，既有正面的求解判断，也有已知夹角、模长、垂 直关系求参数值，难度中低档．
温馨提示：当θ＝0时，OM1＝|a|e；当θ＝π2 时，OM1＝0；当θ∈0，π2 时，OM1与 b方向相同；当θ∈π2，π 时，OM1与b方向相反；当θ＝π时，OM1＝－|a|e．
4．向量数量积的运算律 (1) 交换律：a·b＝b·a． (2) 数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3) 分配律：(a＋b)·c＝____a_·_c_＋__b_·c____．
A． 5 B．2 5 C．5 2 D．5 解析：向量a＝1，2 ，b＝－2，k ，a⊥b， 则a·b＝0，即－2＋2k＝0 ∴k＝1，即3a＋b＝(1，7)， ∴3a＋b ＝ 12＋72 ＝ 50 ＝5 2 ． 答案：C
3．四边形ABCD中，A→B
＝2D→C
，A→B
→ ·BC
＝0，A→B
＝2，则A→D
因为O→P
·O→ C
→
＝
OP
→
·
OC
·cos
〈O→P
，O→C
〉＝2cos
〈O→P
，O→C
〉，
所以－2≤O→P
→ ·OC
≤2，因此－2≤－O→P
→ ·OC
≤2，所以有－3≤A→P
→ ·BP
≤1．
答案：C
[思维升华] 求非零向量a，b 的数量积的3种方法 若两向量共起点，则直接可得两向量的夹角，根据定义即可求得数量
高三一轮总复习
第六章 平面向量、复数
第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用
[课标要求] (1)数量积的运算：①理解平面向量数量积的概念及其物理意义；② 了解平面向量投影的概念及投影向量的意义；
(2)数量积的坐标表示：①能用坐标表示平面内量的数量积，会表示两个平面向量 的夹角．②能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件．
(二)盘点易错易混 1．根据两个非零向量夹角为锐角或钝角与数量积的正、负进行转化时，不要遗漏 向量共线的情况． 2．|a·b|≤|a||b|当且仅当a∥b时等号成立． 3．注意向量夹角和三角形内角的关系．
【小题热身】
1．(2021·安徽皖西南联盟检测)正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中
角度1 求向量的模 【例2】(1)(2022·广东珠海一模)已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，则|a＋2b|＝ ______． (2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上 的动点，则|P→A ＋3P→B |的最小值为________．