延川县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

延川县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）
A ．
B ． C.
D 2． 已知函数 f （x ）的定义域为R ，其导函数f ′（x ）的图象如图所示，则对于任意x 1，x 2∈R （ x 1≠x 2），下列结论正确的是（ ） ①f （x ）＜0恒成立；
②（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0； ③（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0；
④；
⑤
．
A ．①③
B ．①③④
C ．②④
D ．②⑤
3． 在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．x=1 B ．x= C ．x=﹣1 D ．x=﹣
4． 复数i i -+3)1(2
的值是（ ）
A ．i 4341+-
B ．i 4341-
C ．i 5351+-
D ．i 5
351-
【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．
5． 已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y P
概率P
0.4 0.2 0.1 0.3
A ．0.1
B ．0.3
C ．0.42
D ．0.5
6． 偶函数f （x ）的定义域为R ，若f （x+2）为奇函数，且f （1）=1，则f （89）+f （90）为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．1 7． 若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线﹣
=1的右焦点重合，则p 的值为（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣4
D ．4
8． 某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（ ）
A.83 B ．4 C.163
D ．20
3
9． 定义运算：,,a a b
a b b a b
≤⎧*=⎨>⎩．例如121*=，则函数()sin cos f x x x
=*的值域为
（ ） A ．2222⎡-
⎢⎣⎦ B ．[]1,1- C ．22⎤⎥⎣⎦ D ．21,2⎡-⎢⎣⎦
10．已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，
，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ．()p q ⌝∧ 11．已知函数f （x ）=3cos （2x ﹣），则下列结论正确的是（ ）
A ．导函数为
B ．函数f （x ）的图象关于直线
对称
C．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数
D．函数f（x）的图象可由函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度得到
12．已知函数f（x）=2x，则f′（x）=（）
A．2x B．2x ln2 C．2x+ln2 D．
二、填空题
13．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2a n+1=a n，若对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞S n恒成立，则实数x的取值范围为．
14．函数f（x）=的定义域是．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥，
圆锥的体积V圆锥=π（）2dx=x3|=．
据此类推：将曲线y=x2与直线y=4所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积
V=．
16．在△ABC中，若角A为锐角，且=（2，3），=（3，m），则实数m的取值范围是．17．当下社会热议中国人口政策，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测
的线性回归方程为
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．
18．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）＝lnx－m
x
（m∈R）在区间[1，e]上取得
最小值4，则m＝________．
三、解答题
19．已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1+a+1，a∈R．
（1）当a=1时，解方程f（x）﹣1=0；
（2）当0＜x＜1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切钱EP交CB 的延长线于P，己知∠PAB=25°．（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；
（2）若∠DAE=25°，求证：DA2=DC•BP．
22．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）
件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与
月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．
（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；
（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？
23．已知（+）n展开式中的所有二项式系数和为512，
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中所有项的系数之和．
24．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．求函数f（x）的解析式．
延川县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】
考点：正弦定理的应用.
2．【答案】D
【解析】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示．
f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；
②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确；
③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确，
④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，
右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，
故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤．
故选D．
3．【答案】C
【解析】解：由题意可得抛物线y 2=2px （p ＞0）开口向右， 焦点坐标（，0），准线方程x=﹣，
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5， 即4﹣（﹣）=5，解之可得p=2 故抛物线的准线方程为x=﹣1． 故选：C ．
【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题．
4． 【答案】C
【解析】i i i i i i i i i i 5
3
511062)3)(3()3(2323)1(2+-=+-=+-+=-=-+．
5． 【答案】D
【解析】解：降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率P ， 设：降水量X 至少是100为事件A ，工期延误不超过15天的事件B ， P （A ）=0.6，P （AB ）=0.3，
P=P （B 丨A ）==0.5，
故答案选：D ．
6． 【答案】D
【解析】解：∵f （x+2）为奇函数， ∴f （﹣x+2）=﹣f （x+2），
∵f （x ）是偶函数，
∴f （﹣x+2）=﹣f （x+2）=f （x ﹣2）， 即﹣f （x+4）=f （x ），
则f （x+4）=﹣f （x ），f （x+8）=﹣f （x+4）=f （x ），
即函数f （x ）是周期为8的周期函数， 则f （89）=f （88+1）=f （1）=1， f （90）=f （88+2）=f （2）， 由﹣f （x+4）=f （x ）， 得当x=﹣2时，﹣f （2）=f （﹣2）=f （2），
则f （2）=0，
故f （89）+f （90）=0+1=1，
故选：D ．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．
7． 【答案】D
【解析】解：双曲线
﹣
=1的右焦点为（2，0），
即抛物线y 2=2px 的焦点为（2，0）， ∴=2， ∴p=4． 故选D ．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
8． 【答案】
【解析】选D.根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，上底面
为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图，其体积V ＝23－13×2×2×1＝20
3，故选D.
9． 【答案】D 【解析】
考
点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.
10．【答案】D 【
解
析
】
考
点：命题的真假.
11．【答案】B
【解析】解：对于A，函数f′（x）=﹣3sin（2x﹣）•2=﹣6sin（2x﹣），A错误；对于B，当x=时，f（）=3cos（2×﹣）=﹣3取得最小值，
所以函数f（x）的图象关于直线对称，B正确；
对于C，当x∈（﹣，）时，2x﹣∈（﹣，），
函数f（x）=3cos（2x﹣）不是单调函数，C错误；
对于D，函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度，
得到函数y=3co s2（x﹣）=3co s（2x﹣）的图象，
这不是函数f（x）的图象，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
12．【答案】B
【解析】解：f（x）=2x，则f'（x）=2x ln2，
故选：B．
【点评】本题考查了导数运算法则，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】（﹣∞，]∪[，+∞）．
【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2a n+1=a n，
∴数列{a n}是以1为首项，以为公比的等比数列，
S n==2﹣（）n﹣1，
对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞S n恒成立，
∴x2+tx+1≥2，
x2+tx﹣1≥0，
令f（t）=tx+x2﹣1，
∴，
解得：x≥或x≤，
∴实数x的取值范围（﹣∞，]∪[，+∞）．
14．【答案】{x|x＞2且x≠3}．
【解析】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得
解可得，x＞2且x≠3
故答案为：{x|x＞2且x≠3}
15．【答案】8π．
【解析】解：由题意旋转体的体积V===8π，
故答案为：8π．
【点评】本题给出曲线y=x2与直线y=4所围成的平面图形，求该图形绕xy轴转一周得到旋转体的体积．着重考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题．
16．【答案】．
【解析】解：由于角A为锐角，
∴且不共线，
∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．
17．【答案】y=﹣1.7t+68.7
【解析】解： =， ==63.6．
=（﹣2）×4.4+（﹣1）×1.4+0+1×（﹣1.6）+2×（﹣2.6）=﹣17．
=4+1+0+1+2=10．
∴
=﹣
=﹣1.7.
=63.6+1.7×3=68.7．
∴y 关于t 的线性回归方程为y=﹣1.7t+68.7． 故答案为y=﹣1.7t+68.7．
【点评】本题考查了线性回归方程的解法，属于基础题．
18．【答案】－3e 【解析】f ′（x ）＝1x ＋2m x ＝2
x m x ，令f ′（x ）＝0，则x ＝－m ，且当x<－m 时，f ′（x ）<0，f （x ）单调递减，
当x>－m 时，f ′（x ）>0，f （x ）单调递增．若－m ≤1，即m ≥－1时，f （x ）min ＝f （1）＝－m ≤1，不可能等于4；
若1<－m ≤e ，即－e ≤m<－1时，f （x ）
min ＝f （－m ）＝ln （－m ）＋1，令ln （－m ）＋1＝4，得m ＝－e 3（－e ，－
1）；若－m>e ，即m<－e 时，f （x ）min ＝f （e ）＝1－m e ，令1－m
e
＝4，得m ＝－3e ，符合题意．综上所述，m
＝－3e.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）a=1时，f （x ）=4x ﹣22x +2， f （x ）﹣1=（2x ）2﹣2•（2x ）+1=（2x ﹣1）2=0， ∴2x =1，解得：x=0；
（2）4x ﹣a •（2x+1﹣1）+1＞0在（0，1）恒成立， a •（2•2x ﹣1）＜4x +1， ∵2x+1＞1， ∴a ＞
，
令2x
=t ∈（1，2），g （t ）=
，
则g′（t）===0，
t=t0，∴g（t）在（1，t0）递减，在（t0，2）递增，
而g（1）=2，g（2）=，
∴a≥2；
（3）若函数f（x）有零点，
则a=有交点，
由（2）令g（t）=0，解得：t=，
故a≥．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，是一道中档题．20．【答案】
【解析】解：（1）∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴CC1⊥AC…
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥CB …
又C1C∩CB=C，
∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1⊂平面C1CB1B，
∴AC⊥BC1…
（2）设CB1∩BC1=E，∵C1CBB1为平行四边形，
∴E为C1B的中点…
又D为AB中点，∴AC1∥DE…
DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1…
【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵EP与⊙O相切于点A，∴∠ACB=∠PAB=25°，
又BC是⊙O的直径，∴∠ABC=65°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，
∴∠D=115°．
证明：（2）∵∠DAE=25°，∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，
∴△ADC∽△PBA，∴，
又DA=BA，∴DA2=DC•BP．
22．【答案】
【解析】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37.
当2≤x≤12时，
且x≤12）
验证x=1符合f（x）=﹣3x2+40x，∴f（x）=﹣3x2+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），
令h（x）=6x3﹣185x2+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x2﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得（舍去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0．
∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．
综上，5月份的月利润最大是3125元.
【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．
23．【答案】
【解析】解：（1）对（+）n，所有二项式系数和为2n
=512，
解得n=9；
设T r+1为常数项，则：
T r+1=C9r=C9r2r，
由﹣r=0，得r=3，
∴常数项为：C9323=672；
（2）令x=1，得（1+2）9=39．
【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．
24．【答案】
【解析】解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，
即，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x3﹣3x．
【点评】本题考查了导数和函数极值的问题，属于基础题．。