2018年四川省南充市中考数学真题及参考答案

南充市2018年·初中学业水平考试暨高中招生考试
数学试卷
注意事项：
1．全卷满分100分,考试时间120分钟. 2．在作答前,考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束,监考人员将试卷和答题卡一并收回.
3．选择题部分必须用2B 铅笔填涂；非选择题部分必须使用0．5毫米黑色墨水签字笔书写,字体工整,笔迹清楚.
4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题均无效.
5．保持答题卡清洁,不得折叠、污染、破损等.
一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分）
1.下列实数中,最小的数是（）
A ．
B ．0
C ．1
D 2.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A ．扇形
B ．正五边形
C ．菱形
D ．平行四边形 3.下列说法正确的是（）
A ．调查某班学生的身高情况,适宜采用全面调查
B ．篮球队员在罚球线上投篮两次都未投中,这是不可能事件
C ．天气预报说明天的降水概率为95%,意味着明天一定下雨
D ．小南抛掷两次硬币都是正面向上,说明抛掷硬币正面向上的概率是1 4.下列计算正确的是（）
A ．422a b a b a b -÷=-
B ．222
()a b a b -=-
C ．236a a a ⋅=
D ．222
32a a a -+=-
5.如图,BC 是O 的直径,A 是O 上的一点,32OAC ∠=,则B ∠的度数是（）
A ．58
B ．60
C ．64
D ．68
6.不等式121x x +≥-的解集在数轴上表示为（）
A ．
B ．
C ．
D ． 7.直线2y x =向下平移2个单位长度得到的直线是（）
A ．2(2)y x =+
B ．2(2)y x =-
C ．22y x =-
D ．22y x =+ 8.如图,在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=,30A ∠=,D ,
E ,
F 分别为AB ,AC ,AD 的中点,若2BC =,则EF 的长度为（）
A ．
12 B ．1 C ．3
2
D 9.已知
113x y -=,则代数式232x xy y
x xy y
+---的值是（） A ．72-
B ．112-
C ．92
D ．34
10.如图,正方形ABCD 的边长为2,P 为CD 的中点,连结AP ,过点B 作BE AP ⊥于点E ,延长CE 交AD 于点F ,过点C 作CH BE ⊥于点G ,交AB 于点H ,连接HF .下列结论正确的是（）
A ．CE =．2
EF =
C ．cos CEP ∠=
D ．2HF EF CF =⋅ 二、填空题（本大题共6个小题,每小题3分,共18分）
11.某地某天的最高气温是6C ,最低气温是4C -,则该地当天的温差为C ． 12.甲、乙两名同学的5次射击训练成绩（单位：环）如下表.
比较甲、乙这5次射击成绩的方差2s 甲,2s 乙,结果为：2
s 甲2s 乙
（选填“>”、“=”或“<”）． 13.如图,在ABC ∆中,AF 平分BAC ∠,AC 的垂直平分线交BC 于点E ,70B ∠=,
19FAE ∠=,则C ∠=度．
14.若2(0)n n ≠是关于x 的方程2
220x mx n -+=的根,则m n -的值为．
15.如图,在ABC ∆中,//DE BC ,BF 平分ABC ∠,交DE 的延长线于点F ,若1AD =,
2BD =,4BC =,则EF =．
16.如图,抛物线2
y ax bx c =++（a ,b ,c 是常数,0a ≠）与x 轴交于A ,B 两点,顶点
(,)P m n .给出下列结论：①20a c +<；②若13,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,21,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2y ⎛⎫
⎪⎝⎭
在抛物线上,
则123y y y >>；③关于x 的方程20ax bx k ++=有实数解,则k c n >-；④当1
n a
=-
时,ABP ∆为等腰直角三角形,其中正确结论是（填写序号）．
三、解答题（本大题共9个小题,共72分）
17.0
1
11sin 452-⎛⎛⎫++ ⎪ ⎝⎭⎝
⎭. 18.如图,已知AB AD =,AC AE =,BAE DAC ∠=∠. 求证：C E ∠=∠.
19.“每天锻炼一小时,健康生活一辈子”.为了选拔“阳光大课间”领操员,学校组织初中三个年级推选出来的15名领操员进行比赛,成绩如下表：
（1）这组数据的众数是,中位数是.
（2）已知获得10分的选手中,七、八、九年级分别有1人、2人、1人,学校准备从中随机抽取两人领操,求恰好抽到八年级两名领操员的概率.
20.已知关于x 的一元二次方程2
2
(22)(2)0x m x m m --+-=.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根.
（2）如果方程的两实数根为1x ,2x ,且221210x x +=,求m 的值. 21.如图,直线(0)y kx b k =+≠与双曲线(0)m y m x =
≠交于点1
(,2)2
A -,(,1)
B n -.
（1）求直线与双曲线的解析式；
（2）点P 在x 轴上,如果3ABP S ∆=,求点P 的坐标.
22.如图,C 是O 上一点,点P 在直径AB 的延长线上,O 的半径为3,2PB =,
4PC =.
（1）求证：PC 是O 的切线. （2）求tan CAB ∠的值.
23.某销售商准备在南充采购一批丝绸,经调查,用10000元采购A 型丝绸的件数与用8000元采购B 型丝绸的件数相等,一件A 型丝绸进价比一件B 型丝绸进价多100元. （1）求一件A 型、B 型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A 型、B 型丝绸共50件,其中A 型的件数不大于B 型的件数,且不少于16件,设购进A 型丝绸m 件. ①求m 的取值范围.
②已知A 型的售价是800元/件,销售成本为2n 元/件；B 型的售价为600元/件,销售成本为n 元/件.如果50150n ≤≤,求销售这批丝绸的最大利润w （元）与n （元）的函数关系式（每件销售利润=售价-进价-销售成本）.
24.如图,矩形ABCD 中,2AC AB =,将矩形ABCD 绕点A 旋转得到矩形'''AB C D ,使点
B 的对应点'B 落在A
C 上,''B C 交A
D 于点
E ,在''B C 上取点
F ,使'B F AB =.
（1）求证：'AE C E =. （2）求'FBB ∠的度数. （3）已知2AB =,求BF 的长.
25.如图,抛物线顶点(1,4)P ,与y 轴交于点(0,3)C ,与x 轴交于点A ,B .
（1）求抛物线的解析式.
（2）Q 是物线上除点P 外一点,BCQ ∆与BCP ∆的面积相等,求点Q 的坐标.
（3）若M ,N 为抛物线上两个动点,分别过点M ,N 作直线BC 的垂线段,垂足分别为D ,
E .是否存在点M ,N 使四边形MNED 为正方形？如果存在,求正方形MNED 的边长；如
果不存在,请说明理由.
南充市二〇一八年初中学业水平考试
数学参考答案
一、选择题
1-5: ACADA 6-10: BCBDD
二、填空题
11. 10 12. < 13. 24 14.
12 15. 2
3
16. ②④ 三、解答题
17.
解：原式112=
-+
+=18.证明：∵BAE DAC ∠=∠,∴BAE CAE DAC CAE ∠-∠=∠-∠. ∴BAC DAE ∠=∠. 在ABC ∆与ADE ∆中,
AB AD
BAC DAE AC AE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
,∴()ABC ADE SAS ∆≅∆. ∴C E ∠=∠. 19.解：（1）8；9.
（2）设获得10分的四名选手分别为七、八1、八2、九,列举抽取两名领操员所能产生的全部结果,它们是：
七八1,七八2,七九,八1八2,八1九,八2九.
所有可能出现的结果有6种,它们出现的可能性相等,其中恰好抽到八年级两名领操员的结果有1种.
所以,恰好抽到八年级两名领操员的概率为1
6
P =
. 20.解：（1）根据题意,得2
2
[(22)]4(2)40m m m ∆=----=>, ∴方程有两个不相等的实数根.
（2）由一元二次方程根与系数的关系,得
1222x x m +=-,2122x x m m ⋅=-.
∵221210x x +=,∴21212()210x x x x +-=. ∴22(22)2(2)10m m m ---=.
化简,得2230m m --=,解得13m =,21m =-. ∴m 的值为3或-1.
21.解：（1）∵1
(,2)2
A -在m
y x =上, ∴212
m
=-,∴1m =-.∴1y x =-.
∴(1,1)B -.
又∵y kx b =+过两点A ,B ,
∴1
221
k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=-⎩, 解得2
1
k b =-⎧⎨
=⎩.∴21y x =-+.
（2）21y x =-+与x 轴交点1(,0)2
C ,
ABP ACP BCP S S S ∆∆∆=+11
21322
CP CP =⋅⋅+⋅⋅=,
解得2CP =.
∴5(,0)2P 或3(,0)2
-. 22.解：（1）证明：连接OC . ∵O 的半径为3,∴3OC OB ==. 又∵2BP =,∴5OP =.
在OCP ∆中,222222
345OC PC OP +=+==,
∴OCP ∆为直角三角形,90OCP ∠=. ∴OC PC ⊥,故PC 为O 的切线.
（2）过C 作CD OP ⊥于点D ,90ODC OCP ∠=∠=.
∵COD POC ∠=∠,∴OCD OPC ∆=∆.
∴OC OP PC OD OC CD ==,∴2
OC OD OP =⋅,∴295OC OD OP ==,453
DC =,∴125CD =. 又∵24
5
AD OA OD =+=
, ∴在Rt CAD ∆中,1
tan 2
CD CAB AD ∠=
=.
23.解：（1）设A 型进价为x 元,则B 型进价为(100)x -元,根据题意得：
100008000
100
x x =-. 解得500x =.
经检验,500x =是原方程的解. ∴B 型进价为400元.
答：A 、B 两型的进价分别为500元、400元.
（2）①∵1650m m m
≥⎧⎨≤-⎩,解得1625m ≤≤.
②(8005002)w n m =--(600400)(50)n m +---
(100)(1000050)n m n =-+-.
当50100n ≤<时,1000n ->,w 随m 的增大而增大. 故25m =时,1250075w n =-最大. 当100n =时,5000w =最大.
当100150n <≤时,1000n -<,w 随m 的增大而减小. 故16m =时,1160066w n =-最大.
综上所述：1250075,501005000,1001160066,100150n n w n n n -≤<⎧⎪
==⎨⎪-<≤⎩
最大
. 24.解：（1）∵四边形ABCD 为矩形,∴ABC ∆为Rt ∆. 又∵2AC AB =,1
cos 2
AB BAC AC ∠==, ∴60CAB ∠=.
∴30ACB DAC ∠=∠=,∴''60B AC ∠=. ∴'30''C AD AC B ∠==∠. ∴'AE C E =.
（2）∵60BAC ∠=,又'AB AB =, ∴'ABB ∆为等边三角形.
∴'BB AB =,'60AB B ∠=,又∵'90AB F ∠=,∴'150BB F ∠=. ∵''B F AB BB ==,∴''15B BF BFB ∠=∠=. （3）连接AF ,过A 作AM BF ⊥于M .
由（2）可知'AB F ∆是等腰直角三角形,'ABB ∆是等边三角形. ∴'45AFB ∠=,∴30AFM ∠=,45ABF ∠=.
在Rt ABM ∆中,cos AM BM AB ABM ==⋅
∠2==在Rt AMF ∆中
,tan AM
MF AFM
=
=
=∠
∴BF =.
25.解：（1）设抛物线解析式为：2(1)4(0)y a x a =-+≠.
∵过(0,3),∴43a +=,∴1a =-.
∴22(1)423y x x x =--+=-++.
（2）(3,0)B ,(0,3)C .直线BC 为3y x =-+.
∵PBC QBC S S ∆∆=,∴//PQ BC .
①过P 作//PQ BC 交抛物线于Q ,
又∵(1,4)P ,∴直线PQ 为5y x =-+.
2523
y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩. 解得1114x y =⎧⎨=⎩；2223
x y =⎧⎨=⎩.∴1(2,3)Q . ②设抛物线的对称轴交BC 于点G ,交x 轴于点H .(1,2)G ,∴2PG GH ==.
过点H 作23//Q Q BC 交抛物线于2Q ,3Q .
直线23Q Q 为1y x =-+.
∴2123
y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩.
解得1132x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
；2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴2Q ⎝⎭,3Q ⎝⎭
.
满足条件的点为1(2,3)Q ,23122Q ⎛-- ⎝⎭,331,22Q ⎛- ⎝⎭
. （3）存在满足条件的点M ,N .
如图,过M 作//MF y 轴,过N 作//NF x 轴交MF 于F ,过N 作//NH y 轴交BC 于H . 则MNF ∆与NEH ∆都是等腰直角三角形.
设11(,)M x y ,22(,)N x y ,直线MN 为y x b =-+.
∵223
y x b y x x =-+⎧⎨=-++⎩,∴23(3)0x x b -+-=. ∴2221212()NF x x x x =-=+124214x x b -=-.
MNF ∆等腰Rt ∆,∴222428MN NF b ==-.
又∵22(3)NH b =-,∴221(3)2
NE b =-. 如果四边形MNED 为正方形,
∴22NE MN =,∴21428(69)2
b b b -=-+. ∴210750b b +-=,∴115b =-,25b =.
正方形边长为MN ∴MN =。