七年级上册数学 压轴解答题复习练习(Word版 含答案)

七年级上册数学 压轴解答题复习练习(Word 版 含答案)
一、压轴题
1．[ 问题提出 ]
一个边长为 ncm(n ⩾3)的正方体木块，在它的表面涂上颜色，然后切成边长为1cm 的小正方体木块，没有涂上颜色的有多少块？只有一面涂上颜色的有多少块？有两面涂上颜色的有多少块？有三面涂上颜色的多少块？
[ 问题探究 ]
我们先从特殊的情况入手 （1）当n=3时，如图（1）
没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有1×1×1=1个小正方体； 一面涂色的：在面上，每个面上有1个，共有6个； 两面涂色的：在棱上，每个棱上有1个，共有12个； 三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个． （2）当n=4时，如图（2）
没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有2×2×2=8个小正方体： 一面涂色的：在面上，每个面上有4个，正方体共有 个面，因此一面涂色的共有 个； 两面涂色的：在棱上，每个棱上有2个，正方体共有 条棱，因此两面涂色的共有 个； 三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，正方体共有 个顶点，因此三面涂色的共有 个… [ 问题解决 ]
一个边长为ncm(n ⩾3)的正方体木块，没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有______个小正方体；一面涂色的：在面上，共有______个； 两面涂色的：在棱上，共有______个； 三面涂色的：在顶点处，共______个。

[ 问题应用 ]
一个大的正方体，在它的表面涂上颜色，然后把它切成棱长1cm 的小正方体，发现有两面涂色的小正方体有96个，请你求出这个大正方体的体积． 2．概念学习：
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．
如：222÷÷，()()()()3333-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作
32，读作“2的3次商”，()()()()3333-÷-÷-÷-记作()43-，读作“3-的4次
商”．一般地，我们把n 个()0a a ≠相除记作n a ，读作“a 的n 次商”．
（1）直接写出结果：3
12
⎛⎫
=
⎪⎝⎭______，()42-=______． （2）关于除方，下列说法错误的是（ ） A ．任何非零数的2次商都等于1 B ．对于任何正整数n ，()111n --=-
C ．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数
D ．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 深入思考：
除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式
()43-=______ 6
15⎛⎫
= ⎪⎝⎭______
（4）想一想，将一个非零有理数a 的n 次商写成乘方（幂）的形式等于______．
（5）算一算：2019
23420201111162366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
÷-÷---⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3．（阅读理解）如果点M ，N 在数轴上分别表示实数m ，n ，在数轴上M ，N 两点之间的距离表示为MN m n(m n)=->或MN n m(n m)=->或m n -．
利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A 与点B 的距离为12个单位长度，点A 在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B 在点A 的右侧，点C 表示的数与点B 表示的数互为相反数，动点P 从A 出发，以每秒2个单位的速度向终点C 移动，设移动时间为t 秒．
()1点A 表示的数为______，点B 表示的数为______．
()2用含t 的代数式表示P 到点A 和点C 的距离：PA =______，PC =______．
()3当点P 运动到B 点时，点Q 从A 点出发，以每秒4个单位的速度向C 点运动，Q 点到
达C 点后，立即以同样的速度返回，运动到终点A ，在点Q 开始运动后，P 、Q 两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P 表示的数；如果不能，请说明理由．
4．点A 、B 在数轴上分别表示数,a b ，A 、B 两点之间的距离记为AB ．我们可以得到
AB a b =-：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示-2和-5两点之间的距离是 ；数轴上表示1和a 的两点之间的距离是 ．
（2）若点A 、B 在数轴上分别表示数-1和5，有一只电子蚂蚁在数轴上从左向右运动，设电子蚂蚁在数轴上的点C 对应的数为c ．
①求电子蚂蚁在点A 的左侧运动时AC BC +的值，请用含c 的代数式表示； ②求电子蚂蚁在运动的过程中恰好使得1511c c ，c 表示的数是多少？ ③在电子蚂蚁在运动的过程中，探索1
5c c 的最小值是 ．
5．如图一，点C 在线段AB 上，图中有三条线段AB 、AC 和BC ，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C 是线段AB 的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”） （问题解决）
（2）如图二，点A 和B 在数轴上表示的数分别是20-和40，点C 是线段AB 的巧点，求点C 在数轴上表示的数。

（应用拓展）
（3）在（2）的条件下，动点P 从点A 处，以每秒2个单位的速度沿AB 向点B 匀速运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位的速度沿BA 向点A 匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当A 、P 、Q 三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间()t s 的所有可能值．
6．已知A ，B 在数轴上对应的数分别用a ，b 表示，且点B 距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，将点B 先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点
A ，P 是数轴上的一个动点．
(1)在数轴上标出A 、B 的位置，并求出A 、B 之间的距离；
(2)已知线段OB 上有点C 且6BC =，当数轴上有点P 满足2PB PC =时，求P 点对应的
数；
(3)动点P 从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点P 能移动到与A 或B 重合的位置吗?若不能，请说明理由．若能，第几次移动与哪一点重合?
7．如图，数轴上A ，B 两点对应的数分别为4-，-1 （1）求线段AB 长度
（2）若点D 在数轴上，且3DA DB =，求点D 对应的数
（3）若点A 的速度为7个单位长度/秒，点B 的速度为2个单位长度/秒，点O 的速度为1个单位长度/秒，点A ，B ，O 同时向右运动，几秒后，3?OA OB =
8．如图，A 、B 、C 三点在数轴上，点A 表示的数为10-，点B 表示的数为14，点C 为线段AB 的中点.动点P 在数轴上，且点P 表示的数为x .
（1）求点C 表示的数；
（2）点P 从点A 出发，向终点B 运动.设BP 中点为M .请用含x 的整式表示线段MC 的长.
（3）在（2）的条件下，当x 为何值时，2AP CM PC -=？ 9．如图1，点A ，B ，C ，D 为直线l 上从左到右顺次的4个点．
(1) ①直线l 上以A ，B ，C ，D 为端点的线段共有 条；
②若AC =5cm ，BD =6cm ，BC =1cm ，点P 为直线l 上一点，则PA +PD 的最小值为 cm ；(2)若点A 在直线l 上向左运动，线段BD 在直线l 上向右运动，M ，N 分别为AC ，BD 的中点（如图2），请指出在此过程中线段AD ，BC ，MN 有何数量关系并说明理由； (3)若C 是AD 的一个三等分点，DC ＞AC ，且AD=9cm ，E ，F 两点同时从C ，D 出发，分别以2cm/s ，1cm/s 的速度沿直线l 向左运动，Q 为EF 的中点，设运动时间为t ，当AQ+AE+AF=
3
2
AD 时，请直接写出t 的值． 10．已知：∠AOB ＝140°，OC ，OM ，ON 是∠AOB 内的射线．
（1）如图1所示，若OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数： （2）如图2所示，OD 也是∠AOB 内的射线，∠COD ＝15°，ON 平分∠AOD ，OM 平分∠BOC ．当∠COD 绕点O 在∠AOB 内旋转时，∠MON 的位置也会变化但大小保持不变，请求出∠MON 的大小；
（3）在（2）的条件下，以∠AOC ＝20°为起始位置（如图3），当∠COD 在∠AOB 内绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转t 秒，若∠AON ：∠BOM ＝19：12，求t 的值．
11．点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC、OD，使得∠COD=90°
（1）如图1，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD，则∠EOF的度数是__________度；
（2）如图2，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，求出∠BOD与∠COE 的数量关系；
（3）过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，若∠EOC=3∠EOF，直接写出∠AOE的度数
12．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ
AB
的值．
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有
1
CD AB
2
，此时C点停止运动，
D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN
的值不变；②MN
AB
的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并
求值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题
1．[ 问题探究 ] (2)6,24;12,24；8,8；[ 问题解决]（n-2）3，（n-2）2,12（n-2），8； [ 问题解决 ] 1000cm 3. 【解析】 【分析】
[ 问题探究 ] （2）根据（1）即可填写； [ 问题解决 ] 可根据（1）、（2）的规律填写；
[ 问题应用 ] 根据[ 问题解决 ]知两面涂色的为n-12（2），由此得到方程n-12（2）=96， 解得n 的值即可得到边长及面积. 【详解】 [ 问题探究 ]
（2）没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有2×
2×2=8个小正方体： 一面涂色的：在面上，每个面上有4个，正方体共有 6个面，因此一面涂色的共有24个；
两面涂色的：在棱上，每个棱上有2个，正方体共有12 条棱，因此两面涂色的共有24个；
三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，正方体共有8 个顶点，因此三面涂色的共有8 个… [ 问题解决 ]
一个边长为ncm(n ⩾3)的正方体木块，没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方
体，有_32n -（） _____个小正方体；一面涂色的：在面上，共有__2
2n -（）
____个； 两面涂色的：在棱上，共有__122n -（）____个； 三面涂色的：在顶点处，共_8____个。

[ 问题应用 ]
由题意得，n-12（2）
=96，得n=10， ∴这个大正方体的边长为10cm ，
∴这个大正方体的体积为101010=1000⨯⨯（3cm ）. 【点睛】
此题考查数字类规律探究，正确理解（1）是解题的关键，由（1）即可得到涂色的规律，由此解决其它问题. 2．（1）2，14；（2）B ；（3）21()3-，45；（4）21()n a -；（5）29
- 【解析】 【分析】
（1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用题中的新定义计算即可求出值； （3）将原式变形即可得到结果； （4）根据题意确定出所求即可； （5）原式变形后，计算即可求出值． 【详解】
（1）3
1111
11222222⎛⎫=÷÷=÷=
⎪⎝⎭， ()()()()()4111
222221224
-=-÷-÷-÷-=⨯
⨯=， 故答案为：2，
14
； （2）A ．任何非零数的2次商都等于1，说法正确，符合题意；
B ．对于任何正整数n ，当n 为奇数时，()111n --=-；当n 为偶数时，()111n --=，原说法错误，不符合题意；
C ．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数，说法正确，符合题意；
D ．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确，符合题意． 故选：B ；
（3）()()()()()433333-=-÷-÷-÷-
111()()33
=⨯-⨯-
21
()3
=-；
611111115555555
⎛⎫=÷÷÷÷÷ ⎪⎝⎭ 15555=⨯⨯⨯⨯
45=；
故答案为：2
1()3
-，45； （4）由（3）得到规律：2
1()
n n a a
-=，
所以，将一个非零有理数a 的n 次商写成乘方（幂）的形式等于2
1()n a
-，
故答案为：2
1()
n a
-；
（5）2019
23420201111162366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
÷-÷---⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()
()
()
2019
32
42
20202
112366---⎛⎫=÷-÷---⨯ ⎪⎝⎭
2018
20181111162966⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯-⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
2018
11161866⎛⎫⎛⎫=--⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
11186
=-
- 29=-．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，新定义的理解与运用；熟练掌握运算法则是解本题的关键．对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．
3．（1）2412--；
；（2）2t ；362t -；（3）P 、Q 两点之间的距离能为2，此时点P 点Q 表示的数分别是2-，2，2226
,33
． 【解析】 【分析】
()1因为点A 在原点左侧且到原点的距离为24个单位长度，所以点A 表示数24-；点B 在点A 右侧且与点A 的距离为12个单位长度，故点B 表示：241212-+=-；()2因为点P
从点A 出发，以每秒运动2两个单位长度的速度向终点C 运动，则t 秒后点P 表示数
242t(0t 18-+≤≤，令242t 12-+=，则t 18=时点P 运动到点C)，而点A 表示数
24-，点C 表示数12，所以()PA 242t 242t =-+--=，
PC 242t 12362t =-+-=-；()3以点Q 作为参考，则点P 可理解为从点B 出发，设点
Q 运动了m 秒，那么m 秒后点Q 表示的数是244m -+，点P 表示的数是122m -+，再分两种情况讨论：①点Q 运动到点C 之前；②点Q 运动到点C 之后． 【详解】
()1设A 表示的数为x ，设B 表示的数是y ．
x 24=，x 0<
∴x 24=- 又
y x 12-=
y 241212.∴=-+=-
故答案为24-；12-．
()2由题意可知：
t 秒后点P 表示的数是()242t 0t 18-+≤≤，点A 表示数24-，点C
表示数12
()PA 242t 242t ∴=-+--=，PC 242t 12362t =-+-=-．
故答案为2t ；362t -．
()3设点Q 运动了m 秒，则m 秒后点P 表示的数是122m -+．
①当m 9≤，m 秒后点Q 表示的数是244m -+，则
()PQ 24m 4m 122m 2=-+--+=，解得m 5=或7，
当m=5时，-12+2m=-2， 当m=7时，-12+2m=2， ∴此时P 表示的是2-或2；
②当m 9>时，m 秒后点Q 表示的数是()124m 9--，
则()()PQ 124m 9122m 2=----+=， 解得2931m 33
或=， 当m=293时，-12+2m=223， 当m=
313时，-12+2m=263
， 此时点P 表示的数是
2226
33
或． 答：P 、Q 两点之间的距离能为2，此时点P 点Q 表示的数分别是2-，2，2226
,33
． 【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离公式以及实数与数轴的相关概念，解题时同时注意数形结合数学思想的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，用代数式表示出数轴上的动点代表的数，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 4．（1）3，3，1a -；（2）①42c -；②72-或15
2
；③6 【解析】 【分析】
（1）根据两点间的距离公式解答即可；
（2）①根据两点间的距离公式可得AC 与BC 的值，然后根据绝对值的性质化简绝对值，进一步即可求出结果；
②分电子蚂蚁在点A 左侧、在点A 、B 之间和在点B 右侧三种情况，先根据两点间的距离和绝对值的性质化简绝对值，再解方程即可求出答案； ③代数式1
5c c 表示数轴上有理数c 所对应的点到﹣1和5所对应的两点距离之和，
于是可确定当15c -≤≤时，代数式15c c 取得最小值，据此解答即可．
【详解】
解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是523-=； 数轴上表示﹣2和﹣5两点之间的距离是()()253---=； 数轴上表示1和a 的两点之间的距离是1a -；
故答案为：3，3，1a -； （2）①∵电子蚂蚁在点A 的左侧，
∴11AC c c =--=--，55BC c c =-=-， ∴1542AC BC c c c +=--+-=-；
②若电子蚂蚁在点A 左侧，即1c <-，则10c +<，50c -<， ∵1
511c c ，
∴()()1511c c -+--=，解得：72
c =-
； 若电子蚂蚁在点A 、B 之间，即15c -≤≤，则10c +>，50c -<， ∵1
511c c ，
∴15611c c ++-=≠，故此种情况不存在；
若电子蚂蚁在点B 右侧，即5c >，则10c +>，50c ->， ∵1
511c c ，
∴()()1511c c ++-=，解得：152
c =； 综上，c 表示的数是72-或152
； ③∵代数式15c c 表示数轴上有理数c 所对应的点到﹣1和5所对应的两点距离之
和，
∴当15c -≤≤时，代数式15c c 的最小值是()516--=，
即代数式15c c 的最小值是6．
故答案为：6． 【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的化简和应用以及简单的一元一次方程的解法等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 5．（1）是；（2）10或0或20；(3) 152t =；t=6；607t =；t=12；907t =；45
4
t =． 【解析】 【分析】
（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；
（2）由题意设C 点表示的数为x ，再根据新定义列出合适的方程即可；
（3）根据题意先用t 的代数式表示出线段AP ，AQ ，PQ ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t 的值． 【详解】
解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，
故答案为：是；
（2）设C 点表示的数为x ，则AC=x+20，BC=40-x ，AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：
①当AB=2AC 时，有60=2（x+20），
解得，x=10；
②当BC=2AC 时，有40-x=2（x+20），
解得，x=0；
③当AC=2BC 时，有x+20=2（40-x ），
解得，x=20．
综上，C 点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得()()60601026046601015t t AP t AQ t PQ t t -≤≤⎧⎪==-=⎨-≤⎪⎩
，，＜， （i ）、若0≤t ≤10时，点P 为AQ 的“巧点”，有
①当AQ=2AP 时，60-4t=2×2t ， 解得，152
t =， ②当PQ=2AP 时，60-6t=2×2t ，
解得，t=6；
③当AP=2PQ 时，2t=2（60-6t ）， 解得，607
t =； 综上，运动时间()t s 的所有可能值有152t =
；t=6；607
t =； （ii ）、若10＜t ≤15时，点Q 为AP 的“巧点”，有
①当AP=2AQ 时，2t=2×（60-4t ），
解得，t=12；
②当PQ=2AQ 时，6t-60=2×（60-4t ）， 解得，907
t =； ③当AQ=2PQ 时，60-4t=2（6t-60）， 解得，454
t =． 综上，运动时间()t s 的所有可能值有：t=12；907t =；454t =． 故，运动时间()t s 的所有可能值有：152t =
；t=6；607t =；t=12；907t =；454
t =． 【点睛】 本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．
6．（1）A 、B 位置见解析，A 、B 之间距离为30；（2）2或-6；（3）第20次P 与A 重合；点P 与点B 不重合．
【解析】
【分析】
（1）点B 距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，得到点B 表示的数，再根据平移的过程得到点A 表示的数，在数轴上表示出A 、B 的位置，根据数轴上两点间的距离公式，求出A 、B 之间的距离即可；
（2）设P 点对应的数为x ，当P 点满足PB=2PC 时，得到方程，求解即可；
（3）根据第一次点P 表示-1，第二次点P 表示2，点P 表示的数依次为-3，4，-5，6…，找出规律即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵点B 距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，
∴点B 表示的数为-10，
∵将点B 先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A ，
∴点A 表示的数为20，
∴数轴上表示如下：
AB 之间的距离为：20-（-10）=30；
（2）∵线段OB 上有点C 且6BC =，
∴点C 表示的数为-4，
∵2PB PC =，
设点P 表示的数为x ，
则1024x x +=+，
解得：x=2或-6，
∴点P 表示的数为2或-6；
（3）由题意可知：
点P 第一次移动后表示的数为：-1，
点P 第二次移动后表示的数为：-1+3=2，
点P 第三次移动后表示的数为：-1+3-5=-3，
…，
∴点P 第n 次移动后表示的数为（-1）n •n ，
∵点A 表示20，点B 表示-10，
当n=20时，（-1）n •n=20；
当n=10时，（-1）n •n=10≠-10，
∴第20次P 与A 重合；点P 与点B 不重合．
【点睛】
本题考查的是数轴，绝对值，数轴上两点之间的距离的综合应用，正确分类是解题的关键．解题时注意：数轴上各点与实数是一一对应关系．
7．（1）3；（2）
12或74
-；（3）13秒或79秒 【解析】
【分析】 （1）根据数轴上两点间距离即可求解；
（2）设点D 对应的数为x ，可得方程314x x +=+，解之即可；
（3）设t 秒后，OA=3OB ，根据题意可得47312t t t t -+-=-+-，解之即可．
【详解】
解：（1）∵A 、B 两点对应的数分别为-4，-1，
∴线段AB 的长度为：-1-（-4）=3；
（2）设点D 对应的数为x ，∵DA=3DB ， 则314x x +=+，
则()314x x +=+或()314x x +=--，
解得：x=12或x=74
-， ∴点D 对应的数为
12或74-； （3）设t 秒后，OA=3OB ， 则有：47312t t t t -+-=-+-， 则4631t t -+=-+，
则()4631t t -+=-+或()4631t t -+=--+，
解得：t=
13或t=79， ∴13秒或79
秒后，OA=3OB ． 【点睛】
本题考查了一元一次方程的运用，数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法．
8．（1）2；（2）52x MC =+
；（3）当25
x =-或6x =时，有2AP CM PC -=成立. 【解析】
【分析】
（1）根据中点的定义，即可求出点C 的坐标；
（2）先表示出点M 的数，然后利用线段上两点之间的距离，即可表示出MC 的长度； （3）分别求出AP ，MC 和PC 的长度，结合题意，分为三种情况进行讨论，即可求出x 的值.
【详解】
解：（1）点A 表示的数为10-，点B 表示的数为14，
∴线段AB=14(10)24--=，
∴点C 表示的数为：142422-÷=；
（2）根据题意，
点M 表示的数为：142
x +， ∴线段MC 的长度为：
142522x x +-=+； （3）根据题意，
线段AP 的长度为：10x +，
线段MC 的长度为：52
x +， 线段PC 的长度为：2x -，
∵2AP CM PC -=， ∴10(5)222x x x +-+=-， 整理得：15242
x x -=+， ①当点P 在点C 的左边时，2x <，则20x ->， ∴15242
x x -=+， 解得：25
x =-； ②当点P 与点C 重合时，2x =， ∴15042
x +=， 解得：10x =-（不符合题意，舍去）；
③当点P 在点C 的右边时，2x >，则20x -<， ∴15242
x x -=+， 解得：6x =. ∴当25
x =-
或6x =时，有2AP CM PC -=成立. 【点睛】
本题考查了数轴上的动点的问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，以及绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离.
9．(1) ①6条；②10；(2)1122MN AD BC =
-，证明见解析；(3) 1t =. 【解析】
【分析】 （1）①根据线段的定义结合图形即可得出答案；②PA +PD 最小，即P 为AD 的中点，求出AD 的长即可；
(2) 根据M ，N 分别为AC ，BD 的中点，得到12MC AC =，12
BN BD =，利用MN MC BN BC =+-代入化简即可；
(3) 根据C 是AD 的一个三等分点，DC ＞AC ，且AD=9cm ，得到3AC =，6CD =，并可得到2EC t =，FD t =，62t EQ +=
，代入AQ+AE+AF=32
AD ，化简则可求出t . 【详解】
解：(1) ①线段有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6条；
②∵BD =6，BC =1，
∴CD=BD-BC=6-1=5，
当PA +PD 的值最小时，P 为AD 的中点，
∴5510PA PD AD AC CD +==+=+=；
(2)1122MN AD BC =-. 如图2示：
∵M ，N 分别为AC ，BD 的中点，
∴12MC AC =
，12
BN BD = ∴MN MC BN BC =+- 1122AC BD BC =
+- ()12
AC BD BC =+- ()12AB BC BD BC =
++- 1122
AD BC =-； (3)如图示：
∵C 是AD 的一个三等分点，DC ＞AC ，且AD=9cm ，
∴3AC =，6CD =，
根据E ，F 两点同时从C ，D 出发，速度是2cm/s ，1cm/s ，Q 为EF 的中点，运动时间为t ， 则有：2EC t =，FD t =，6222EF AD AE FD t EQ --+=
== 当AQ+AE+AF=32
AD 时， 则有：32AE EQ AE AD FD AD +++-=
即是：()()6932329922
t t t t +-+
+-+-=⨯ 解之得：1t =.
【点睛】 本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是依据线段的和差关系列方程．
10．（1）∠MON 的度数为70°．（2）∠MON 的度数为62.5°．（3）t 的值为20．
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质以及角的和差倍关系转化求出角的度数；
（2）根据角平分线的性质可以求得：∠MON ＝
12（∠AOB +∠COD ）﹣∠COD ，代入数据即可求得；
（3）由题意得∠AON ＝
12（20°+3t +15°），∠BOM ＝12
（140°﹣20°﹣3t ），由此列出方程即可求解.
【详解】
（1）∵ON 平分∠AOC ，OM 平分∠BOC ， ∴∠CON ＝
12∠AOC ，∠COM ＝12
∠BOC ∠MON ＝∠CON +∠COM ＝
12（∠AOC +∠BOC ） ＝12
∠AOB 又∠AOB ＝140°
∴∠MON ＝70°
答：∠MON 的度数为70°．
（2）∵OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOD ，
∴∠COM ＝
12∠BOC ，∠DON ＝12
∠AOD 即∠MON ＝∠COM +∠DON ﹣∠COD
＝1
2
∠BOC+
1
2
∠AOD﹣∠COD
＝1
2
（∠BOC+∠AOD）﹣∠COD．
＝1
2
（∠BOC+∠AOC+∠COD）﹣∠COD
＝1
2
（∠AOB+∠COD）﹣∠COD
＝1
2
（140°+15°）﹣15°
＝62.5°
答：∠MON的度数为62.5°．
（3）∠AON＝1
2
（20°+3t+15°），
∠BOM＝1
2
（140°﹣20°﹣3t）
又∠AON：∠BOM＝19：12，
12（35°+3t）＝19（120°﹣3t）
得t＝20
答：t的值为20．
【点睛】
本题考查了与角平分线有关的计算，根据角平分线的定义得出所求角与已知角的关系转化，然后根据已知条件求解是解决问题的关键.
11．（1）135°；（2）∠BOD=2∠COE；（3）67.5°.
【解析】
【分析】
（1）由∠COD=90°，则∠AOC+∠BOD=90°，由OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，得
∠COE+∠DOF=45°，即可求出∠EOF的度数；
（2）由题意得出∠BOD+∠AOC=90°，∠BOD=180°-∠AOD，再由角平分线的定义进行计算，即可得出结果；
（3）由角平分线定义得出∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，再由∠BOD+∠AOC=90°，设∠EOF=x，则∠EOC=3x，∠COF=4x，根据题意得出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）如图：
∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠COE+∠DOF=11
()9045
22
AOC BOD
∠+∠=⨯︒=︒，
∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF=45°+90°=135°；故答案为：135°；
（2）∠BOD=2∠COE；
理由如下：如图，
∵∠COD=90°．
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠DOE=1
2
∠AOD，
又∵∠BOD=180°-∠AOD，∴∠COE=∠AOE-∠AOC
=1
2
∠AOD-（90°-∠BOD）
=1
2
（180°-∠BOD）-90°+∠BOD
=1
2
∠BOD，
∴∠BOD=2∠COE；（3）如图，
∵OC为∠AOE的角平分线，OF平分∠COD，
∴∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，
∵∠EOC=3∠EOF，
设∠EOF=x，则∠EOC=3x，
∴∠COF=4x，
∴∠AOE=2∠COE=6x，∠DOF=4x，
∵∠COD=90°，
∴4x+4x=90°，
解得：x=11.25°，
∴∠AOE=6×11.25°=67.5°．
【点睛】
本题考查了角平分线定义、角的互余关系、邻补角定义以及角的计算；熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键．
12．（1）点P在线段AB上的1
3
处；（2）
1
3
；（3）②MN
AB
的值不变.
【解析】
【分析】
（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在
线段AB上的1
3
处；
（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ 与AB的关系；
（3）当点C停止运动时，有CD＝1
2
AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB
表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝
1
12
AB．
【详解】
解：（1）由题意：BD=2PC
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.
∴点P在线段AB上的1
3
处；
（2）如图：
∵AQ-BQ=PQ，
∴AQ=PQ+BQ，
∵AQ=AP+PQ，
∴AP=BQ，
∴PQ=
1
3
AB，
∴
1
3
PQ
AB
=
（3）②MN
AB
的值不变.
理由：如图，
当点C停止运动时，有CD=
1
2
AB，
∴CM=
1
4
AB，
∴PM=CM-CP=
1
4
AB-5，
∵PD=
2
3
AB-10，
∴PN=
12
23
（AB-10）=
1
3
AB-5，
∴MN=PN-PM=
1
12
AB，
当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，
所以
1
1
12
12
AB
MN
AB AB
==.
【点睛】
本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．。