湖南省张家界市慈利县通津铺联校2019-2020学年高三数学文上学期期末试题含解析

湖南省张家界市慈利县通津铺联校2019-2020学年高三数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知全集U=R，集合，则集合等于（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
略
2. 若a∈R，则“a＞8”是“log2a＞2”的( )
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用对数函数的单调性和充要条件的定义即可判断出正确选项．
【解答】解：由对数函数的单调性：y=log2x在（0，+∞）上为单调增函数
∴log2a＞2?log2a＞log24?a＞4．
又“a＞8”?“a＞4”，反之不能．
则“a＞8”是“log2a＞2”的充分但不必要条件．
故选A．
【点评】本题考查了利用定义判断命题充要条件的方法，对数函数的单调性和定义．
3. 已知函数，若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（）
A．B．（0，1] C．[0，1] D．
参考答案：
D
【考点】分段函数的应用．
【分析】画出函数f（x）中两个函数解析式对称的图象，然后求出能使函数值为2的关键点，进而可得实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数，∴函数f（x）的图象如下图所示：
∴函数f（x）在[﹣1，k）上为减函数，在[k，a]先减后增函数，
当﹣1＜k≤，x=时，，
由于当x=1时，﹣x3﹣3x+2=0，
当x=a（a≥1）时，﹣a3﹣3a+2≤2，可得1≤a
故若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，
则a∈[1，]，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值域，数形结合思想，难度中档．
4. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数
，则函数的图象的一个对称中心是( )
A．B． C.
D．
参考答案：
D
f（x）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+（1+cos2x）=sin2x+cos2x+=2sin（2x+）+，
将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数g（x）的图象，
即g（x）=2sin[2（x﹣）+]+=2sin2x+，
由2x=kπ，k∈Z，得x=，此时g（x）=，
即函数的对称中心为（，），
当k=1时，对称中心为.
故答案为：D
5. 在中，点在上，且，点是的中点，若，
，则( )
A．
B．C．D．
参考答案：
D
略
6. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为 ( )
A．y=cos2x， x R B．y=log2|x| ， x R且x≠0
C．， x R D． y=+1， x R
参考答案：
B
略
7. 已知定义域为R的函数g（x），当x∈（﹣1，1]时，g（x）=，且g（x+2）=g（x）对?x∈R恒成立，若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则实数m的取值范围是（）
A．（，）B．（﹣∞，]∪（，+∞）C．[，）D．[，]
参考答案：
C
【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．
【分析】若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，则y=g（x）与y=m（x+1）的图象在区间[﹣1，5]内有6个交点．画出函数的图象，数形结合可得答案．【解答】解：∵g（x+2）=g（x）对?x∈R恒成立，
∴函数g（x）的周期为2．
又∵当x∈（﹣1，1]时，g（x）=，
∴函数g（x）的图象如下图所示：
令函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）=0，
则g（x）=m（x+1），
若函数f（x）=g（x）﹣m（x+1）在区间[﹣1，5]内有6个零点，
则y=g（x）与y=m（x+1）的图象在区间[﹣1，5]内有6个交点．
∵y=m（x+1）恒过点（﹣1，0），
过（﹣1，0），（4，2）点的直线斜率为，
过（﹣1，0），（2，2）点的直线斜率为，
根据图象可得：x∈[，），
故选：C．
，则下列不等式成立的是（
．C
C
略
9. 一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为，二面角的余弦
值为，则下列论断正确的是（）
A.四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为
B.四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为
C.四边形ABC的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为
D.不存在这样的球使得四边形ABCD的四个顶点在此球面上
参考答案：
A
略
10. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，则下列正确的是( ) A．若∥∥，则∥B．若，则∥
C．若∥∥，则∥D．若，则∥
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知流程图如图所示，为使输出的值为16，则判断框内①处可以填数字___________．（填入一个满足要求的数字即可）
参考答案：
3
略
12. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值
为 .
参考答案：
因为是等差数列，所以。

是等比数列，所以，因为，所以，所以。

13. 在二项式的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则的值为 .
参考答案：
14. 若函数对于任意实数满足条件，若，则
____ _.
参考答案：
5
由已知，，，所以
.
15. 观察以下三个不等式：
①（12+22+32）（32+42+52）≥（1×3+2×4+3×5）2；
②（72+92+102）（62+82+112）≥（7×6+9×8+10×11）2；
③（202+302+20172）（992+902+20162）≥（20×99+30×90+2017×2016）2；
若2x+y+z=﹣7，x，y，z∈R时，则（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2的最小值为．
参考答案：
【分析】由题意，[（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2]（22+12+12）≥（2x+2+y+2+z+1）2，
2x+y+z=﹣7，即可得出结论．
【解答】解：由题意，[（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2]（22+12+12）≥（2x+2+y+2+z+1）2，
2x+y+z=﹣7，
∴（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2≥，
∴（x+1）2+（y+2）2+（z+1）2的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查了归纳推理，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
16. 已知，，且，则的最小值为．.
参考答案：
试题分析：因为，所以，因为，所以
，即的最小值为，故答案为．
17. (极坐标与参数方程)已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是
(为参数).设直线与轴的交点是是曲线上一动点，则的最大值为_____________.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 育新中学的高二、一班男同学有名，女同学有名，老师按照分层抽样的方法组建了一个人的课外兴趣小组．
（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为，第二次做试验的同学得到的试验数据为，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.参考答案：
解：（Ⅰ）某同学被抽到的概率为………………2分
设有名男同学，则，男、女同学的人数分别为………………4分（Ⅱ）把名男同学和名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有共种，其中有一名女同学的有种
选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为……………………………8分（Ⅲ），
，
第二同学的实验更稳定………………………12分
略
19. 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？参考答案：
(1)当0＜x≤100时，p＝60；
当100＜x≤600时，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.
∴p＝
(2)设利润为y元，则
当0＜x≤100时，y＝60x－40x＝20x；
当100＜x≤600时，
y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.
∴y＝
当0＜x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2000；
当100＜x≤600时，
y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6050，
∴当x＝550时，y最大，此时y＝6050.
显然6050＞2000.
所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．
20.
（12分）在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=4a，PB=PE=a，
BC=DE=2a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．（1）若为中点，求证：平面.
（2）求二面角A-PD-E的正弦值；（3）求点C到平面PDE的距离.
参考答案：
解析：（1）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。

，为中点，所以AG⊥PE，DE∩PE＝E，∴AG⊥平面PDE……………………………（4分）
（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．
∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．
过A作AG⊥PE于G，过DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．过G作GH⊥PD于H，连AH，由三垂线定理得AH⊥PD．∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．
在直角△PAE中，AG＝2a．在直角△PAD中，AH＝a
∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．
∴二面角A-PD-E的正弦值为
．…………………………………………..( 8分)
（3）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,BC=DE=2a,AB=AE=4a,
取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形．
∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，
∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．
∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．
又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．
∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．∴FG的长即F点到平面PDE的距离．在
△PAE中，PA=AE=4a，F为AE中点，FG⊥PE，
∴FG=a．∴点C到平面PDE的距离为a．（或用等体积法求）…………（12分）
18. （本小题满分14分）
设函数（）的图象在点（，）处与直线相切.（1）求、的值；
（2）求的单调区间.
参考答案：
解：（1），………………………………………3分
∵曲线在点（，）处与直线相切，
∴即，…………………………5分
解得．…………………………………………7分
（2）∵．…………………………………………8分
由，解得或．……………………………………11分
∴函数的单调增区间为（1，），（）；单调减区间为
（，1）.
…………………………14分略
22. 已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.
参考答案：
(1)由已知得
解得，
∴椭圆的方程为.
(2)设，的中点为，点，使得, 则.
由得，
由，得.
∴，
∴.
∵∴，
即，
∴.
当时，（当且仅当，即时，取等号），∴；
当时，（当且仅当，即时，取等号），
∴，
∴点的横坐标的取值范围为.。