高考复习 专题02平面向量与复数(仿真押题)-(文)命题猜想与仿真押题

1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i
2－i 的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )
A.1
3 B ．－1
3
C ．3
D ．－3
解析：选C.a ＋i 2－i
＝
2a －1＋a ＋
5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.
2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105
D.10
解析：选C.z ＝
1－i 1＋2i
＝－1－3i 5⇒|z |＝10
5.
3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2
z －z 2的共轭复数是( )
A ．－1＋3i
B ．1＋3i
C ．1－3i
D ．－1－3i 解析：选B.2
z －z 2＝2
1＋i －(1＋i)2＝
－
＋
－
－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选
B.
4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 7
1＋a i ＝( )
A ．i
B ．1
C ．－i
D ．－1
解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i
1＋2i ＝
2－－2＋2
－2
＝
－3i
3
＝－i. 5．已知复数z ＝1
1－i
，则z －|z |对应的点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.
2－1
2
B.2－1
C ．1
D.
2＋1
2
解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i
1－i
＝2＋＋－
＋
＝
2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－1
2
，故选A.
7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →
成立，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
解析：选B.由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝
2
3×12(AB →＋AC →)＝13
(AB →＋AC →
)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2
y 的最小值是( )
A ．24
B ．8 C.83
D.53
解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3， ∴3x ＋2y ＝⎝⎛⎭⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝⎛⎭⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥1
3⎝⎛⎭
⎫
12＋29y x ·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y ＝32时，等号成立．
∴3x ＋2
y
的最小值是8.故选B. 9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →
＝( ) A.414 B ．－414
C.94
D ．－94
10．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →
＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2
D ．3
解析：选C.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →
|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4，
∴cos A ＝－
22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22，∴S △ABC ＝12
|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C. 11．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →
＝( ) A.12AB →＋12AD →
B.34AB →＋12AD →
C.34AB →＋14
AD → D.12AB →＋34
AD →
答案：B
12．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则m
n 等于( )
A ．－12
B.12 C ．－2
D ．2
解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧
λn ＝m －λ＝2
，故m
n ＝－2.
答案：C
13.如图，在等腰直角三角形ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过点C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，则OP →·(OB →－OA →
)＝( )
A ．－1
2
B.12 C ．－32
D.32
解析：依题意AB ＝2，∠OAB ＝45°，又CP →⊥AB →，AC →＝14AB →，∴OP →·(OB →－OA →)＝⎝⎛⎭⎫OA →＋14AB →＋CP →·AB →
＝
OA →·AB →＋14AB →2＋CP →·AB →
＝－1＋12＝－12
.
答案：A
14．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π
4＝( ) A ．－1
3
B.13
C ．－1
D ．0
解析：由已知可得，a ·b ＝2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝13，故选B. 答案：B
15.如图，在半径为1，圆心角为90°的直角扇形OAB 中，Q 为AB 上一点，点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )·OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →
的最大值为( )
A.1
2 B.22
C.34
D ．1
答案：D
16．设复数z 满足z －i
z ＋i ＝i(i 为虚数单位)，则z 2 016＝( )
A ．21 008
B ．21 008i
C ．－21 008
D ．－21 008i
解析：由z －i z ＋1＝i 得z －i ＝z i ＋i ，z ＝2i
1－i
＝
2i 1＋i
1－i 1＋i
＝－1＋i ，则z 2＝(－1＋i)2＝－2i ，从而z 2 016
＝(z 2)1 008＝(－2i)1 008＝21 008×i 1 008＝21 008×(i 4)252＝21 008.故选A.
答案：A
17．如图在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是
、，则复数的值是（）
A ．﹣1+2i
B ．﹣2﹣2i
C ．1+2i
D ．1﹣2i 【答案】A
18．设复数（为虚数单位），则的共轭复数为（） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】因为，所以.
19．复数满足，则
（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A.
【解析】由题意得，，∴，故选A ．
20.函数y ＝tan ⎝⎛⎭
⎫π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →
＝( )
A.4
B.6
C.1
D.2
解析 由条件可得B (3，1)，A (2，0)，
∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6. 答案 B
21.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为( )
A.π6
B.π4
C.3π4
D.5π6
解析 因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332，解得a ·b ＝3
2，所以cos
〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π
6
.
答案 A
22.已知两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝3，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ⊥c ，则t ＝________.
答案 2
23. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝________.
解析 法一 如图，建立平面直角坐标系. 由题意知：A (3，0)，B (0，3)， 设M (x ，y )，由BM →＝2MA →，
得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（3－x ），y －3＝－2y ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1， 即M 点坐标为(2，1)， 所以CM →·CB →＝(2，1)·(0，3)＝3.
法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →×⎝⎛⎭⎫23BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB →2＝3. 答案 3
24.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足OP →＝OA →
＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →
|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心).
答案 垂心
25.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b |；
(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－3
2，求λ的值.
解 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x
2
＝cos 2x ， |a ＋b |＝
⎝
⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22
＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22
＝2＋2cos 2x ＝2cos 2x ， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2，所以cos x ≥0， 所以|a ＋b |＝2cos x .
(2)由(1)，可得f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －4λcos x ，
即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2. 因为x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π
2，所以0≤cos x ≤1. ①当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾；
②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝1
2；
③当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝5
8，这与λ
＞1相矛盾；综上所述λ＝1
2
.
26．设复数z=a+i （i 是虚数单位，a ∈R ，a ＞0），且|z|=．
（Ⅰ）求复数z ；
（Ⅱ）在复平面内，若复数+（m ∈R ）对应的点在第四象限，求实数m 取值范围． 【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
27．已知平面上三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若
，且
，求与夹角的余弦值．
【答案】（1）；（2）
【解析】 （1）因为
，所以设
，，，所以或．
（2）因为，所以，，所以．
28．已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点O为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求椭圆C与直线y=kx（k＞0）在第一象限的交点为A．
①设，且，求k的值；
②若A与D关于x的轴对称，求△AOD的面积的最大值．
【答案】（1）（2）①②
②∵，
（当且仅当
时取等号），
∴S △AOD 的最大值为．
29．(1)向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，求|a ＋b |和a ＋b 与c 的夹角； (2)设O 为△ABC 的外心，已知AB ＝3，AC ＝4，非零实数x ，y 满足AO →＝xAB →＋yAC →
，且x ＋2y ＝1，求cos ∠BAC 的值．
A 11。