辽宁省沈阳市省示范协作校2017届高三第一次模拟考试数

2016-2017学年度下学期高三第一次模拟考试试题
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设{|4}P x x =<，2{|4}Q x x =<，则（ ）
A ．P Q ⊆
B ．Q P ⊆
C ．R P C Q ⊆
D ．R Q C P ⊆
2.复数
2()12mi
A Bi m A
B R i -=+∈+、、，且0A B +=，则m 的值是（ ）
A ．23-
B ．2
3
C ．2
3.设样本数据1210,,
,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数，
1,2,
,10i =）
，则1210,,,x x x 的均值和方差分别为（ ）
A ．1a +，4
B ．1a +，4a +
C ．1,4
D ．1，4a +
4.公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是3a 与7a 的等比中项，832S =，则
10S 等于（ ）
A ．18
B ．24 C.60 D ．90
5.设1F 和2F 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点，若12(0,2)F F b ，是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A ．y x =
B ．y = C. y x = D ．y x = 6.在AB
C ∆中，O 为其内部一点，且满足30OA OC OB ++=，则AOB ∆和AOC ∆的面积比是（ ）
A ．3：4
B ．3:2 C.1:1 D ．1:3
7.圆22
44100x y x y +---=上的点到直线80x y +-=的最大距离与最小距离的差是
（ ）
A ．18 B
．
．8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
83π B ．3π C.103
π D ．6π 9.若变量,x y 满足2
2390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则222x x y ++的最大值是（ ）
A ．4
B ．9 C.16 D ．18 10.设2log 3a =，4
3
b =
，3log 4c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c a b << C.a b c << D ．c b a << 11.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（ ）
A
．(12
+
米 B ．2米
C.(1米 D
．(2米 12.已知椭圆的左焦点为1F ，有一小球A 从1F 处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到1F 时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ） A ．
13 B
．2
C.35 D ．23 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.等比数列{}n a 的公比0q >，已知21a =，216n n n a a a +++=，则{}n a 的前4项和
4S = ．
14.如图所示，输出的x 的值为 ．
15.方程18|cos()||log |2
x x π
+
=的解的个数为 ．（用数值作答）
16.已知四面体ABCD ，4AB =，6AC AD ==，
60BAC BAD ∠=∠=°，90CAD ∠=°，则该四面体外接球半径为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数2()2cos cos f x x x x a =++，且当[0,]2
x π
∈时，()f x 的最小值为
2.
（1）求a 的值；
（2）先将函数()y f x =的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的1
2
，再将所得的图象向右平移12
π个单位，得到函数()y f x =的图象，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根
之和.
18. 某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表：
（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将
该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为
5
39
，求,x y 的值. 19. 如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，
//FD EA ，且1
12
FD EA =
=.
（1）求多面体EABCDF 的体积；
（2）记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明.
20. 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为12，12,F F 是椭圆的左、右焦点，过2F 作
直线l 交椭圆于A B 、两点，若1F AB ∆的周长为8.
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l 的斜率不为0，且它的中垂线与y 轴交于Q 点，求Q 点的纵坐标的范围； （3）是否在x 轴上存在点(,0)M m ，使得x 轴平分AMB ∠？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
21. 已知方程32
0(,,)x ax bx c a b c R +++=∈.
（1）设4a b ==，方程有三个不同实根，求c 的取值范围； （2）求证：2
30a b ->是方程有三个不同实根的必要不充分条件.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线12cos :3sin x C y φ
φ
=⎧⎨
=⎩（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极
坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A B C D 、、、依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3
π
.
（1）求A B C D 、、、的直角坐标；
（2）设P 为1C 上任意一点，求2
2
2
2
||||||||PA PB PC PD +++的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲
设不等式2|1||2|0x x -<--+<的解集为M ，,a b M ∈. （1）证明：1
|
|364
a b +<； （2）比较|14|ab -与2||a b -的大小，并说明理由.
2016-2017学年度下学期高三第一次模拟考试试题
数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5: BAACB 6-10:DCBCD 11、12：DC
二、填空题
13.
15
2
14.17 15.12 16.三、解答题
17.解：（1）2()2cos cos f x x x x a =++cos221x x a =++， 所以()2sin(2)16f x x a π
=+
++，因为[0,]2x π∈，所以2[,]666
x πππ
7+∈. min ()112f x a =-++=，所以2a =.
（2）依题意得()2sin(4)36g x x π
=-+，由()4g x =得1
sin(4)62
x π-=， 4266x k πππ-=+或54266x k πππ-=+，
所以212k x ππ=
+或24k x ππ=+，所以12x π=或4
x π=. 所以，所有根的和为
3
π
. 18.解：（1）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本， 设抽样学历为本科的人数为m . ∴
30505
m
=，解得3m =. ∴抽取了学历为研究生2人，学历为本科的3人. 分别记作12S S 、；123B B B 、、. 从中任取2人的所有基本条件共10个：
11(,)S B 、12(,)S B 、13(,)S B 、21(,)S B 、22(,)S B 、23(,)S B 、12(,)S S 、12(,)B B 、23(,)B B 、
13(,)B B ，
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：
11(,)S B 、12(,)S B 、13(,)S B 、21(,)S B 、22(,)S B 、23(,)S B 、12(,)S S ，
∴从中任取1人，至少有1人的学历为研究生的概率为710
. （2）依题意得：10539
N =， 解得78N =.
∴35～50岁中被抽取的人数为78481020--=， ∴
482010
805020x y
==++，解得40x =，5y =.
∴40x =，5y =.
19.解：（1）如图，连接ED ， ∵EA ⊥底面ABCD 且//FD EA ， ∴FD ⊥底面ABCD ，∴FD AD ⊥， ∵DC AD ⊥，FD CD D =∩， ∴AD ⊥平面FDC . ∴13E FCD FDC V AD S -∆=
=•112
212323⨯⨯⨯⨯=， 13E ABCD
ABCD V EA S -==•1822233
=⨯⨯⨯=， ∴多面体EABCDF 的体积2810
333
E FCD E ABCD V V V --=+=
+=多面体.
（2）如图，取线段CD 的中点Q ，连接KQ ，直线KQ 即为所求的直线.
20.解：（1）依题意得48a =，1
2
e =
，解得2a =，1c =
，b = 所以椭圆方程为22
143
x y +=. （2）当k 不存在时，Q 为坐标原点，0Q y =，
当k 存在时，由22(1)143
y k x x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩可得2222
(34)84120k x k x k +-+-=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则2122
834k x x k +=+，2122412
34k x x k -=+，（*）
设弦AB 有中点为(,)P P P x y ，则2
2
434P k x k
=+，23(1)34P p k y k x k -=-=+， 则2
22
314:()()3434PQ k k l y x k k k +
=--++， 令0x =，有231
3344Q k y k k
k
=
=
+
+[(0,1212∈-∪， 综上所述，Q
的纵坐标的范围为[1212
-. （3）存在4m =满足条件，
假设存在m 使得x 轴平分AMB ∠，则0MA MB k k +=， 即
121200
0y y x m x m
--+=⇒--1221(1)()(1)()0k x x m k x x m --+--=，
有12122(1)()20x x m x x m -+++=，
将（2）中（*）式代入有2
2
2
8248680k k m m mk --++=， 解得4m =.
21.解：设32()f x x ax bx c =+++.
（1）当4a b ==时，方程3
2
440x x x c +++=有三个不同实根， 等价于函数32()440f x x x x c =+++=有三个不同零点，
3'()384f x x x =++，令'()0f x =得12x =-或22
3
x =-，
()f x 与'()f x 的区间(,)-∞+∞上情况如下：
所以，当0c >时且32027c -
<时，存在1(4,2)x ∈--，22(2,)3x ∈--，32
(,0)3
x ∈-， 使得123()()()0f x f x f x ===. 由()f x 的单调性知，当且仅当32
(0,)27
c ∈时，函数32()44f x x x x c =+++有三个不同零点.
即方程3
2
440x x x c +++=有三个不同实根.
（2）当2
4120a b ∆=-<时，2
'()320f x x ax b =++>，(,)x ∈-∞+∞，
此时函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增， 所以()f x 不可能有三个不同零点.
当2
4120a b ∆=-<时，2
'()32f x x ax b =++只有一个零点，记作0x ，
当0(,)x x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 在区间0(,)x -∞上单调递增； 当0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在区间0(,)x +∞上单调递增. 所以()f x 不可能有三个不同零点.
综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有2
4120a b ∆=->. 故2
30a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件.
当4a b ==，0c =时，2
30a b ->，322()44(2)f x x x x x x =++=+只有两个不同零点， 所以2
30a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件. 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.
即2
30a b ->是方程3
2
0x ax bx c +++=有三个不同实根的必要而不充分条件. 22.解：（1）依题意得A B C D 、、、的极坐标为(2,
)3
π
，5(2,
)6π，4(2,)3π，11(2,)6
π
， 所以A B C D 、、、
的直角坐标为
，(
，(1,-
，1)-.
（2）设00(,)P x y ，其中00
2cos 3sin x y φ
φ=⎧⎨=⎩.
则2
2
2
2
||||||||t PA PB PC PD =+++=22004416x y ++， 所以23220sin [32,52]t φ=+∈，故取值范围是[32,52]. 23.解：（1）证明：记()|1||2|f x x x =--+，
则3,2
()21,213,1
x f x x x x ≤-⎧⎪
=---<<⎨⎪-≥⎩，所以解得1122x -<<，故11(,)22M =-.
所以11|
|||||3336a b a b +≤+1111132624
<⨯+⨯=. （2）由（1）得214a <，2
14
b <.
22|14|4||ab a b ---=2222(1816)4(2)ab a b a ab b -+--+
224(1)(1)0a b =-->.
所以|14|2||ab a b ->-.。