浅议一则数学教学探究案例

解 ２因 手＋＿ ， 法 为 （１ １ ｙ）
所设、 ｃ，＝（Ｒ 以 。 １ ） ／ ＝ ， ｓ ｉ ｎ
所斛 寻ｓ（ｉ 以 ｃ １ 。 ＋） ｓ ｎ
＝ 一
生２ （ 动地 ） 一 定是 ２ ， ：激 不 ６ 比如椭 圆
吾 ， 的 个 点 短 的 个 点 距 为 等１轴 一 端 到 轴 一 端 的 离 长
、 １ ４＝ 、 ／ 每卜 ２ ／５＞ ＝ ６ ４２ ．
ｃｉ ２ ｓｎ
生３ 我 和生２ 相似 ： 的
因 为 一１ ｓｎ １ ≤ ｉ ≤ ．
所 以Ｏ≤ ＋ ≤４ ２ ．
ｌ Ａ ｌ ２
，
Ｉｌ ６， Ｂ ２ ＢＩ
Ｉ
点评
范围．
通过 引入 第 三 变量 转化 为一 元 函数 ， 注意 的 取 值
设椭圆 程为Ｃ＋一１ ＞） 方 鲁＝（ ０， ｒ Ｄ
求ｐＯ ６到 椭 圆上 的动 点Ｍ的距 离 的最大 值 （ ，）
解析
设 ｙ 椭 圆上任 一 点 ， ｊ 是
（） １若 ≤ ， 则
则Ｉ Ｉ ２ ） ＋ （
一
矗 ） （ ｙ ） （ ｚ 一 ≤＿ ＋ ６ ≤
４．引 申推广
３ 解 决问题 ．
经 师生 一起讨 论 ． 改并 完善 得到 如下 结论 ． 修
结论 １ 设 椭 圆方程 为 ： ＋ ＝ （ ＞ ＞ ） 则ｐ ０ ） １ ｎ ６ ０ ， （ ， 到椭 圆上 的点 的距 离 最 大 值ｄ 满 足 ．
生４ 走上 讲 台 ， 如下 ：笔 者给 予 了帮 助 ） 板演 （
２
所 只 椭 的 心ｅ足／ ｌ就 定 是 以要 圆 离 率 、 ＜６一 不 最 满 号 ’ ２
大值． ２ ７
教 究 ＞ 反思 学研 教学
数ｊ ＿１ ｃｍ ＠ ｐ６ ｘ
帅 ： ２ 生 ３ 剑 最 大 值 ／ ２ 的 反 例 ， 么 什 么 时 候 就 是 生 、 找 卜是 ６ 那
１ ．问题提 出的 背景
这 时 。 １ 出用 数形 结 合 的思 想方 法 ． 生 提
生 １ ２ ： ＋ 表示 的 曲线 为 椭 圆 ， 图 １ 如
Ｊ
一
ｈ
一
ｌ
图 ２
令 ２ｃ／ 。 ＜ ３、 ，
一 一
、丁 ／
２
Ｄ
图１
、了 ／
Ｃ Ｃ一
师： 同学 们还 有什 么 不 同想法 ？
生５ 可 以引 入第 三变 量将 其化 为一 元 函数 ！ ：
设 （ｃ ，ｓ （ ０ｏ ６ｉ ） ｎ ∈Ｒ） 椭 圆上 任一 点． 是
（） ２若 ＞ ， Ｉ 则ｄ ＝
ｄ旦 、 一 ／
Ｃ
： 匣
（ 一 时取到） 当 ；
ｃ
（ Ｐ＜ 半 ， １ ） ｌ 若 ’ 即
则 ， ｌ譬 当一时 Ｉ ； 如 ａ ｘ ＝
（） ２ 若 ≥６ 即 ≥１ ， ，
Ｃ Ｃ
（） Ｉ ， ２若Ｉ ＞ 则 ＋ Ｉ Ｉ； （）（，） ３ ｏ 到椭圆上的点的距离的最小值ｄ Ｉ ｌ ． ｐ ６ １ ＝一 １
结 论２ 设 椭 圆方程 为 ：
等＋‘１ ＞） Ｍ ０到 上任 （ 岳＝（ ０， （， 椭圆 一点的 最小值 Ｄ 则 ） 距离
满 足
即０ ≤
Ｚ
．
（） １若 ≤ ， 则
则当 Ｉ 出Ｉ Ｉ －时， ６
６ ．
ｄ ＿、 ， ／ （ 唾 时 ） ： 当 取到 ； ６
经 过 同学 们几 分 钟 的尝 试 、 考讨 论 ， 思 形成 如 下 解法 ：
解 法 １ 因为 （ ３ ， ６ ）
枞
出， ０≤ｄ≤２，
所 以Ｏ≤ ≤４
褓翔
这 种解 法 ， 同学 们感 到 直观 、 简捷 ！
笔 者 心里 明 白， 这是 巧合 ， 非 必然 ！这个 问 题不 能放 过 ， 并 必
投稿女耩 ：ｘｋ ｉ．６ ｏ ｓ ｊ＠Ｖｐ｛ ３ｅ ｍ
教学研究 ＞教学反思
霸匮匾匿
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槭
一
张立政
０ ２０ ３３０
、一
则教学探究案例
的取值范围是— 一
可 看 成是 该 椭 圆上 的点 到原 点 距 离 ｄ 的平 方 ，不 难 看
题 目： ， ∈ 设 ｙ Ｒ且 ２ 庐： 则 ＋ ， ３
竺
师 ： １ 出 了一个 值 得 大家 探究 的问题 ， 生 提 即椭 圆上 的 点到 椭 圆短轴 的一 个端 点 的最 远 距离 一 定是 短 轴长 ２ 吗 ？ ６
（ 同学们积极思考起来 ， 课堂上静悄悄 的， 几分钟过去了， 也 不见学生有新的发现 ） ．
师 ：提 醒学 生 ） 可 以 先赋 值 （ 殊 椭 圆 ） 呢 ？ （ 是否 特 检验 （ 阵沉 默 之后 ） 一
于两点 ，这两点的纵坐标为一 ）同时该 圆与两准线也相切 ， （ ， 椭
Ｃ
２ 呢 ？生３ ６ 同学 的结 论具 有 一般 性吗 ？
（ 同学们探究的兴趣被激发得更浓了 ， 同学们设 出动点坐标 （ ｙ演算着、 ，） 思考着、 讨论着……笔者也在行间对同学们进行点
拨 …… ）
圆落在 该 圆的 内部．
师 ： 同学 总结得 太 正确 了 ！ 生６
（ 同学们非常兴奋 ， 笔者看了一下时间， 发现马上就下课 了）
师 ： 后 可 以继续 讨论 该 问题 的更 一般 的情 况． 课
生４ （ ：胸有成竹地 ） ， 老师 这就是把刚才的具体问题进行了一
般化 的讨 论．
（ 第二天 ， 同学们陆续把他们的探究成 果交到笔者办公室 ）
须澄清 ． 否则 对 学生 产 生不 利 影 响 １ ２ 提 出 问题 ．
所 一（） ． 以 ≥ ３詈 ２ ＋
由 ≥０ ０ ， ， 得 ≤）≤２
，
故
点评
范 围．
的取 值 范 围是 ［ ，］ Ｏ４ ．
通 过 相 互 代 换 消 元 ， 化 为 一元 函数 ， 意 ＿的 取值 转 注 ｙ