江西师范大学附属中学高三数学上学期期末考试试题文

江西师大附中高三上学期期末考试数学（文）试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意）
1.若纯虚数z 满足()11i z ai -=+，则实数a 等于（ ）
A ．0 B.1-或1 C ．1- D ．1 2.已知函数sin 3y x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
向右平移
3
π
个单位后，所得的图像与原函数图像关于x 轴对称，则ω的最小正值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．
5
2
D ．3 3.
“”是“曲线为双曲线”的（
） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
4.设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2
()y x g x =的部分图象可以为（ ）
5.如右图，当输入5x =-，15y =时，图中程序运行后输出的结果为（ ） A ．3； 33 B ．33；3 C.-17；7 D ．7；-17
6.定义
12n
n p p p ++
+为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数
列
{}
n a 的前n 项的“均倒数”为
1
5n
，又5n n a b =，则
12
23
1011
1
11b b b b b b +++
=（ ） A ．
817 B ．919 C ．1021 D ．1123
22(2)1mx m y --=3m >
7.若关于,x y 的不等式组0010x x y kx y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-+≥⎩
，表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区
域面积为（ ） A.1或
14 B.12或18 C.1或12 D.12或14
8．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．20
9.不等式2
2
20x axy y -+≥对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤22 B ．a ≥22 C ．a ≤
311 D ．a ≤
29
10.过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线
左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A
． B
． C
． D
．
11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →
→
=，则AB AC →→
⋅的最小值为（ ）
A ．14-
B ．12-
C ．3
4
- D ．1- 12.已知函数()22
x
x a
f x =-
，其在区间[]0,1上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．[]1,1- D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数()y f x =的图象在点()()
2,2M f 处的切线方程是4y x =+，则
()()22f f '+= ．
14.已知11sin(),sin()23
αβαβ+=-=,那么tan tan 5log α
β的值是 ．
15.为促进抚州市精神文明建设，评选省级文明城市，现省检查组决定在未来连续5天中随机选取2
天对抚州的各项文明建设进行暗访，则这两天恰好为连续两天的概率 ．
16.已知ABC ∆中，7,8,9AB AC BC ===，P 点在平面ABC 内，且70PA PC →→⋅+=，则PB →
的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）在公比为2的等比数列{}n a 中，2a 与5a 的等差中项是（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）若函数1sin
4y a x πφ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，φπ<的一部分图像如图所示，()
11,M a -，()
13,N a -为图像上的两点，设
MPN β∠=，其中P 与坐标原点O 重合，πβ<<0，求()
t a n φβ-的值.
18.（本小题满分12分）2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目。

纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这三个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如下表所示：
（Ⅰ）若，则从这60名抗战老兵中按照参加纪念活动的环节数分层抽取6人进行座谈，求参加纪念活动环节数为2的抗战老兵中抽取的人数；
（Ⅱ）某医疗部门决定从(1)中抽取的6名抗战老兵中随机抽取2名进行体检，求这2名抗战老兵中至少有1人参加纪念活动的环节数为3的概率.
19.（本小题满分12分）如图,四棱柱1111D C B A ABCD -的底面
ABCD 是平行四边形,且
1=AB ,2=BC ,060=∠ABC ,E 为BC 的中点, ⊥1AA 平面ABCD ．
（Ⅰ）证明:平面⊥AE A 1平面DE A 1；
（Ⅱ）若E A DE 1=,试求异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值.
20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>，其右焦
点()1,0F ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知直线0x y m -+=与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点不在圆2
2
59
x y +=内，求m 的取值范围．
21.（本小题满分12分）已知函数()ln x
x k
f x e
+=
（其中R k ∈，e 是自然对数的底数），()f x '为()f x 导函数．
（Ⅰ）当2k =时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；
（Ⅱ）若()10f '=，试证明：对任意0x >，()221
e f x x x
-+'<+恒成立．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号上方的方框涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，BAC ∠的平分线AD 交圆O 于点D ，DE AC ⊥，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F 。

（Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）若
2
5
AC AB =，求AF DF 的值. 23.（本小题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x 轴的正
半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为
1,2(22
t x t y ⎧=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩为参数）．
（Ⅰ）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨
⎧='='y
y x x ,
2得到曲线C '，设曲线C '上任一点为),(y x M ，求y x 32+的最小值．
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()3 2.f x x x =--+
（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最小值M ； （Ⅱ）在（1）的条件下，若正数,a b 满足3a b M +=-，证明：
31
3b a
+≥. A
B
O
C
D
F
E
2015~2016学年度高三上学期期末考试
数学（文）试卷答案
1—6DDACAC 7—12DCACBC 13.7 14.1 15.
2
5
16.10 17.试题解析：（Ⅰ）
解：由题可知25a a +=528a a =， ----------3分
故2a =
分
分
如图，连接MN ，在中，由余弦定理得
又∵
πβ<<0 ∴-------------9分
∴∴分 18.试题解析：（Ⅰ）由题意可知：11163m n ++
+=，又2m n =，解得11
,36
m n == -3分 故这60名抗战老兵中参加纪念活动的环节数为0,1,2,3的抗战老兵的人数分别为10,20,10,20,其
中参加纪念活动的环节数为2的抗战老兵中应抽取的人数为6
10160
⨯
=.-------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知抽取的这6名抗战老兵中1名参加了0个环节，记为A ，2名参加了1个环节，
记为,B C ，1名参加了2个环节，分别记为D ，2名参加了3个环节，分别记为E ，F ，从这6名抗战老兵中随机抽取2人，有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，
(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共
15个基本事件，
-------9分
记“这2名抗战老兵中至少有1人参加纪念活动的环节数为3”为事件M ，则事件M 包含的基本事件为(),A E ，(),A F ，(),B E ，(),B F ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F ，共9个基本事件.
MPN ∆
所以()93
P M =
= -------12分 ∴ABE ∆是正三角形，AEB 60∠=︒，
CED ∠=分
AED ∴∠
∵1AA ⊥平面ABCD ，DE ⊆平面ABCD ，1DE AA ∴⊥，
1
AA AE A DE =∴⊥，平面1A AE ，
-------------5分 DE ⊆平面1A DE ，∴平面1A AE ⊥平面1A DE ． -------------6分
（Ⅱ）取1BB 的中点F ，连接EF 、AF ，连接1B C ，
1BB C ∆中，EF 是中位线，1EF B C ∴,
1111A B AB CD A B AB CD ==，，
∴四边形ABCD 是平行四边形，可得111B C A D EF A D ∴， -------------8分
可得AEF ∠（或其补角）是异面直线AE 与1A D 所成的角．
DE 3CD =分
BF 22∴=
即异面直线AE 与1A D 所成角的余弦值为
-------------12分
20.试题解析：（Ⅰ）由题可知2
c e a a =
=⇒=，又1c =，故1a b ==------3分 所以椭圆的标准方程为2
212
x y += ----------4分 （Ⅱ）联立方程2
2120x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩
消去y 整理得：22
3422
0x mx m ++
-=
则()()
222
161222830m m m ∆=--=-+>，解得m <----------6分
设()()1122,,,A x y B x y ，则1243m x x +=-，1212422233
m m
y y x x m m +=++=-+=
即AB 的中点为2,33m m ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
----------9分
又AB 的中点不在圆2
2
59x y +=内，所以
222455
9999
m m m +=≥，解得1m ≤-或1m ≥
综上可知，1m <≤-或1m ≤<分 21.试题解析：（Ⅰ）由()ln 2x x f x e +=
得()12ln x
x x x
f x xe
--'=，()0,x ∈+∞，所以曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线斜率为()1
1f
e '=-
，
()2
1f e
=
， ----------3分 ∴曲线()y f x =切线方程为()2
11y x e e
-=--，即30x ey +-=． ----------5分
（Ⅱ）由()10f '=，得1k =，令()()
()2
g x x x f x '=+，所以()()1
1ln x x g x x x x e
+=
--，()0,x ∈+∞，因此，对任意0x >，()2
1g x e -<+等价于()21ln 11
x
e x x x e x ---<++， 由()1ln h x x x x =--，()0,x ∈∞，得()ln 2h x x '=--，()0,x ∈+∞， ----------8分
因此，当()
20,x e -∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；()
2
,x e -∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调
递减，
所以()h x 的最大值为()
2
21h e
e --=+，故21ln 1x x x e ---≤+， ----------10分 设()()1x
x e x ϕ=-+，
()1x x e ϕ'=-，所以()0,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，
()()00x ϕϕ>=，故()0,x ∈+∞时，()()10x
x e x ϕ=-+>，即
11
x
e x >+， 所以()2
21ln 111
x
e x x x e e x ----≤+<++． 因此，对任意0x >，()221
e f x x x
-+'<+恒成立． ----------12分
22.试题解析：（Ⅰ）连接OD ，可得∠=∠=∠ODA OAD DAC ，∴OD
AE ----------3分
又⊥AE DE ，∴⊥OD DE ，又OD 为半径，∴DE 是圆O 的切线----------5分 （Ⅱ）过D 作⊥AB DH 于点H ，连接BC ，则有∠=∠HOD CAB ，
----------7分 设5OD x =，则10,2AB x OH x ==，∴7AH x =
----------8分
7AE AH x ==，又由∆∆AEF DOF ，
----------10分 23.试题解析：
分
1:2
2=+y x C ----------5分
C 得设椭圆的参数方程θ
θ
θ
(sin cos 2⎩⎨
⎧==y x 为参数） ----------7分
-4 ----------10分
24.试题解析：（Ⅰ）因为()()32325x x x x --+≤--+=
所以15m -≤，解得46m -≤≤，故4M =- ----------5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得34a b +=所以
()311311933344a
b a b b a b a b
a ⎛⎫⎛⎫
+=⨯+⨯+=⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1634⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭
，当且仅当9a b b a =即32a b ==时等号成立 ----------10分。