【100所名校】2019届山东省济南外国语学校高三上学期高考模拟(二)数学(理)试题(解析版)

资料下载来源：学习资料群：743293914，
初中资料群：338473890，高中资料群：1026047318，大学资料群：
868430820，
2019届山东省济南外国语学校
高三上学期高考模拟（二）数学（理）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘
贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1．已知集合A ={x|y =log 2(x −2)}，B ={x|x 2≥9}，则A ∩(∁R B)= A ．[2,3) B ．(2,3) C ．(3,+∞) D ．(2,+∞)
2．若复数z 满足2z
+z =3−i ，其中i 为虚数单位，则|z|= A ．2 B ．√3 C ．√2 D ．3
3．已知命题p ：1<x <3，q ：3x >1，则p 是q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．函数f(x)=sinx
x 2+1的部分图像可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a >0，b >0）与椭圆x 212+y 24=1有共同焦点，且双曲线的一条渐
近线方程为y =√3x ，则该双曲线的方程为
A ．x 24−y 212=1
B ．x 212−y 24=1
C ．x 26−y 22=1
D ．x 22−y 26=1
6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为
A ．4849
B ．5051
C ．4951
D ．4950 7．已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于
E ，
F ，
G ，
H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆
I 内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则P(B|A)= A ．1−π4 B ．π4 C ．1−2π D ．2π 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为 此卷只装订不密封
班级
姓
名
准
考
证号
考场
号
座位
号
好教育云平台 名校精编卷 第3页（共6页）
好教育云平台 名校精编卷 第4页（共6页）
A ．83
B ．23
C ．43
D ．2
9．将函数f(x)=2sinx 图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，然后向左平移π6个单
位长度，得到y =g(x)图象，若关于x 的方程g(x)=a 在[−π4,π4]上有两个不相等的实根，则实数a 的
取值范围是
A ．[−2,2]
B ．[−2,2)
C ．[1,2)
D ．[−1,2)
10．若函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数，奇函数，且满足f(x)+2g(x)=e x ，则
A ．f(−2)<f(−3)<g(−1)
B ．g(−1)<f(−3)<f(−2)
C ．f(−2)<g(−1)<f(−3)
D ．g(−1)<f(−2)<f(−3)
11．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限
内的点，延长PF 2交椭圆于点Q ，若PF 1⊥PQ ，且|PF 1|=|PQ|，则椭圆的离心率为
A ．2−√2
B ．√3−√2
C ．√2−1
D ．√6−√3
12．为推导球的体积公式，刘徽制造了一个牟合方盖（在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱，这两个圆柱的公共部分叫做牟合方盖），但没有得到牟合方盖的体积．200年后，祖暅给出牟合方盖的体积计算方法，其核心过程被后人称为祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异．意思是，夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积也相等．现在截取牟合方盖的八分之一，它的外切正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示，根据以上信息，则该牟合方盖的体积为
A ．83
B ．163
C ．43
D ．4π3 二、填空题 13．已知(1+x)n 的展开式各项系数之和为256，则展开式中含x 2项的系数为__________． 14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=6，S 15=15，则公差d =__________． 15．在ΔABC 中，∠B =π3，其面积为3，设点H 在ΔABC 内，且满足CH ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CB ⃑⃑⃑⃑⃑ −CA ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =0，则BH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =__________． 16．对∀x 1∈R ，∃x 2∈[3,4]，使得不等式x 12+x 1x 2+x 22≥2x 1+mx 2+3成立，则实数m 的取值范围是__________． 三、解答题 17．在ΔABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且acosB +bsinA =c ． （1）求角A 的大小； （2）若a =√2，ΔABC 的面积为√2−12，求b +c 的值． 18．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额． （1）完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？ （2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为x ，若每次抽取的结果是相互独立的，求x 的分布列，期望和方差． 附表：
资料下载来源：学习资料群：743293914，
初中资料群：338473890，高中资料群：1026047318，大学资料群：868430820，
K 2=n(ad −bc)2
(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)
19．如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB ⊥PD ．
（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；
（2）若PB =PC ，E 为棱CD 的中点，∠PEA =90°，BC =2，求二面角B −PA −E 的余弦值．
20．已知点F(0,12)，直线l ：y =−12，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且
满足HF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(PH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PF ⃑⃑⃑⃑⃑ )=0．
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点F 作直线l′与轨迹C 交于A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MA ⊥MB ，若ΔMAB 的面积为2√2，求直线l′的方程．
21．设函数f(x)=x ⋅e 1−x ．
（1）求证：当x >0时，f(x)<e x ；
（2）求证：对任意给定的正数k ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0,+∞)时，恒有f(x)<k x ．
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 2+y 2=4，直线l 的参数方程
{x =−2−t,
y =3√3+√3t （t 为参数），若将曲线C 1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线
C 2．
（1）写出曲线C 2的参数方程；
（2）设点P(−2,3√3)，直线l 与曲线C 2的两个交点分别为A ，B ，求1|PA|+1|PB|的值.
23．已知函数f(x)=|3x +1|+|3x −1|，M 为不等式f(x)<6的解集.
（1）求集合M ；
（2）若a ，b ∈M ，求证：|ab +1|>|a +b|
.
资料下载来源：学习资料群：743293914，
好教育云平台 名校精编卷答案 第9页（共12页）
好教育云平台 名校精编卷答案 第10页（共12页） 2019届山东省济南外国语学校
高三上学期高考模拟（二）数学（理）试题
数学 答 案
参考答案
1．B
【解析】分析：根据条件求出集合A,B 等价条件，结合集合的补给和交集的定义进行求解即可. 详解：由A ={x|y =log 2(x −2)}={x|x >2}，B ={x|x 2≥9}={x|x ≥3或x ≤−3}， 则∁R B ={x|−3<x <3}，所以A ∩(∁R B)={x|2<x <3}=(2,3)，故选B.
点睛：本题主要考查了集合的运算，求出集合的等价条件是解答本题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.
2．C
【解析】分析：设复数z =x +yi(x,y ∈R)，利用相等，求得x =1,y =−1，进而可求复数的模.
详解：设复数z =x +yi(x,y ∈R)，
则2z +z =2x +2yi +x −yi =3x +yi =3−i ，则x =1,y =−1，
所以z =1−i ，所以|z |=√2，故选C.
点睛：本题考查了复数相等的概念和复数模的求解，着重考查了学生的推理与运算能力.
3．A
【解析】
分析：根据题意，求得q:x >0，即可利用集合之间的关系，判定得到结论.
详解：由题意可得3x >1，解得x >0，
则“p:1<x <3”是“q:x >0”成立的充分不必要条件，
即“p:1<x <3”是“q:3x >1”成立的充分不必要条件，故选A.
点睛：本题考查了充分不必要条件的判定，其中正确求解命题q ，利用集合之间的大小关系是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.
4．A
【解析】
分析：由函数的解析式，求得函数f (x )为奇函数，再根据特殊点的函数值，即可作出选择. 详解：由f(x)=sinx x 2+1，可得f(−x)=sin(−x)(−x)2+1=−sinx
x 2+1=−f(x)，
所以函数f(x)=sinx x 2+1为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、C ， 又由f(1)=sin112+1=sin12>0，排除D ， 故选函数f(x)=sinx x 2+1的大致图象为选项A ，故选A. 点睛：本题考查了函数的图象的识别，其中解答中涉及到函数的奇偶性、函数值的估算等知识点的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力. 5．D 【解析】 分析：求出椭圆的焦点坐标，得到c =2√2，再由双曲线的渐近线方程可得b a =√3，解方程求得a,b 的值，进而得到双曲线的方程. 详解：曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的方程为y =√3x ，即b a =√3 又椭圆x 212+y 24=1的焦点坐标为(±2√2,0)，即c =2√2， 所以a 2+b 2=(2√2)2，解得a =√2,b =√6， 所以双曲线的方程为x 22−y 26=1，故选D. 点睛：本题考查了双曲线方程的求法，解答中注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点坐标的应用，着重考查了学生的推理与运算能力，属于基础题. 6．B 【解析】 分析：根据程序的运算功能是计算1n(n+1)的前50项的和，利用数列求和即可求解. 详解：由题意，执行如图所示的程序框图，可知该程序的运算功能是计算1n(n+1)的前50项的和，又由1n(n+1)=1n −1n+1， 所以输出S =(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(150−151)=1−151=5051，故选B. 点睛：本题考查了循环结构的程序的运算功能和结果的输出问题，其中正确的理解题意，读懂程序框图的功能和计算的方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 7．C 【解析】分析：设设正方形ABCD 的边长为a ，分别求解圆l 和正方形EFGH 的面积，得到在圆l 内且在EFGH 内的面积，即可求解相应的概率. 详解：设正方形ABCD 的边长为a ，
则圆l的半径为r=a
2，其面积为S=π×(a
2
)2=1
4
πa2，
设正方形EFGH的边长为b，则√2b=a⇒b=√2
2a，其面积为S1=(√2
2
a)2=1
2
a2，
则在圆l内且在EFGH内的面积为S1=S−S1，
所以P(B|A)=S−S1
S =1−2
π
，故选C.
点睛：本题考查了条件概率的计算，其中解答中设出正方形的边长，求解出解圆l和正方形EFGH的面积，得到在圆l内且在EFGH内的面积是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.
8．B
【解析】
分析：根据三视图得到原几何体为一个三棱锥，即可求解该三棱锥的体积.
详解：由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个三棱锥，
其中三棱锥的底面（俯视图）的面积为S=1
2
×1×2=1，高为ℎ=2，
所以该三棱锥的体积为V=1
3Sℎ=1
3
×1×2=2
3
，故选B.
点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.
9．C
【解析】
分析：根据三角函数的图象变换关系求出g(x)的解析式，结合三角函数的图象进行求解即可.
详解：将函数f(x)=2sinx图象上个点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，
得到y=2sin2x，然后向左平移π
6，得到g(x)=2sin[2(x+π
6
)]=2sin(2x+π
3
)，
因为−π
4≤x≤π
4
，所以−π
6
≤2x+π
3
≤5π
6
，
当2x+π
3=5π
6
时，g(x)=2sin5π
6
=2×1
2
=1，函数的最大值为g(x)=2，
要使g(x)=a在[−π
4,π
4
]上有两个不相等的实根，则1≤a<2，
即实数a的取值范围是[1,2)，故选C.
点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质，其中解答中求出函数的解析式以及利用整体转换法是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题.
10．D
【解析】
分析：运用奇偶性的定义，将x换为−x，解方程可得f(x),g(x)，计算可得所求大小关系.
详解：函数f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
其满足f(x)+2g(x)=e x，可得f(x)−2g(x)=e−x，
解得f(x)=1
2
(e x+e−x),g(x)=1
4
(e x−e−x)，
可得g(−1)=1
4
(1
e
−e)<0，
f(−2)=1
2
(e−1+e2)>0，f(−3)=1
2
(e−3+e3)>0，
f(−2)−f(−3)=1
4
(e−1)(e−3−e2)<0，所以g(−1)<f(−2)<f(−3)，故选D.
点睛：本题考查了函数的基本性质的应用，其中解答中求出函数的解析式，利用函数的奇偶性和作差比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
11．D
【解析】
分析：由题意可得ΔPQF1为等腰直角三角形，设|PF1|=t,|QF1|=m，运用椭圆的定义可得
|PF2|=2a−t,|QF2|=2a−m，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离心率.
详解：由PF1⊥PQ且|PF1|=|PQ|，可得ΔPQF1为等腰直角三角形，
设|PF1|=t,|QF1|=m，即有t=4a−t−m,m=√2t，则t=2(2−√2)a,
在直角三角形ΔPF1F2中，可得t2+(2a−t)2=4c2，
化为c2=(9−6√2)a2，可得e=c
a
=√6−√3，故选D.
点睛：本题考查椭圆的定义、标准方程和几何性质的应用，及椭圆的离心率的求解，其中解答中运用椭圆的定义，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理列出方程是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.
12．B
【解析】分析：在高度ℎ处的截面，用平行与正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为S1，截得正方体所得面积为S2，解得椎体所得面积为S3，S1=R2−ℎ2,S2=R2，S2−S1=S3，求出S3=ℎ2，再由定积分求出锥体体积，由正方体的体积减去锥体体积即可.
好教育云平台名校精编卷答案第11页（共12页）好教育云平台名校精编卷答案第12页（共12页）
资料下载来源：学习资料群：743293914，
好教育云平台 名校精编卷答案 第9页（共12页）
好教育云平台 名校精编卷答案 第10页（共12页） 详解：在高度ℎ处的截面，用平行与正方体上下底面的平面去截，
记截得两圆柱体公共部分所得面积为S 1，截得正方体所得面积为S 2，
可得S 1=R 2−ℎ2,S 2=R 2，S 2−S 1=S 3，
由S 3=ℎ2，可得∫ℎ21
0dℎ=13ℎ3|01=13，则V =1−13=23，
所以该牟合方盖的体积为8V =8×23=163，故选B.
点睛：本题考查了不规则几何体的体积的求法，解答中由截得两圆柱体公共部分所得面积为S 1，截得正方体所得面积为S 2，解得椎体所得面积为S 3,S 1=R 2−ℎ2,S 2=R 2,S 2−S 1=S 3， 求出S 3=ℎ2，再由定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能，属于中档试题.
13．28
【解析】分析：由已知求得n ，写出二项式展开式的通项，由x 的指数为2求得r 的值，即可求解.
详解：由题意，2n =256，解得n =8，
所以(1+x)n =(1+x)8，其展开式的通项为T r+1=C 8r x r ，
取r =2，得展开式中含x 2项的系数为C 82=28.
点睛：本题考查了指定项的二项式系数的求解，其中熟记二项展开式的通项是解答关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于基础题.
14．−52
【解析】
分析：利用等差数列的通项公式与求和公式，即可求解.
详解：在等差数列{a n }中，由a 6=6,S 15=15，
则a 1+5d =6,15a 1+15×142=15，所以d =−52.
点睛：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式的应用，其中数据等差数列的通项公式和等差数列的前n 项和公式是解答的关键，考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．2√3
【解析】分析：由三角形的面积公式，求得ac =4√3，再利用平面向量的数量积的运算公式，进而可求解BH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值.
详解：由ΔABC 中，∠B =π3，其面积为3，则12acsin600=√34ac =3，则ac =4√3，
又由CH ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CB ⃑⃑⃑⃑⃑ −CA ⃑⃑⃑⃑⃑ )=AH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=0，即CH ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，
所以CH ⊥AB,AH ⊥BC ，
设∠HBC =θ， 则BH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =|BH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cosθ=|BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=c ⋅cos600⋅a =12ac =2√3. 点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式.二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量数量积的坐标运算，即可求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力． 16．m ≤3 【解析】 分析：根据二次函数的性质计算x 12+(x 2−2)x 1的最小值，从而得出x 2与m 之间的关系，分类讨论得出m ≤34×2−4x 2+1，求出右侧函数的最大值，即可得出m 的范围. 详解：由x 12+x 1x 2+x 22≥2x 1+mx 2+3，得x 12+(x 2−2)x 1≥−x 22+mx 2+3， 所以当x 1=1−x 22时，x 12+(x 2−2)x 1取得最小值(1−x 22)2+(x 2−2)(1−x 22)=−x 224+x 2−1， 所以−x 224+x 2−1≥−x 22+mx 2+3， 因为x 2>0，所以m ≤34x 2−4x 2+1， 因为x 2∈[3,4]，所以34x 2−4x 2+1的最大值为3，所以m ≤3. 点睛：本题考查了函数的基本性质的应用，函数存在性问题与函数最值的关系，其中解答中熟记二次函数的性质和函数存在性问题与函数最值是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 17．(1)A =π4. (2)b +c =2. 【解析】 分析：（1）利用正弦定和三角形内角和定理与三角恒等变换，即可求得A 的值； （2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得b +c 的值. 详解：(1)由已知及正弦定理得：sinAcosB +sinBsinA =sinC ，
∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB∴sinBsinA=cosAsinB，∵sinB≠0∴sinA=cosA∵A∈(0,π)∴A=π
4
(2) ∵S△ABC=1
2bcsinA=√2
4
bc=√2−1
2
∴bc=2−√2
又∵a2=b2+c2−2bccosA∴2=(b+c)2−(2+√2)bc
所以，(b+c)2=4,b+c=2.．
点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，齐总利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
18．(1)有(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意确定数据，再根据卡方公式求K2，最后根据参考数据作判断，（2）根据题意确定随机变量服从二项分布，根据二项分布分布列、数学期望公式以及方差公式求结果.
【详解】
解：（1）根据已知数据得到如下列联表
有兴趣没有兴趣合计
男45 10 55
女30 15 45
合计75 25 100
根据列联表中的数据，得到
所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”。

（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生对冰球有兴趣的概率是，
由题意知，从而X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
，
D(X)=np(1−p)=5×3
4
×(1−3
4
)=15
16
.
【点睛】
对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X∼
B(n,p)，超几何分布X∼H(N,n,M))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式
(E(X)=np，E(X)=nM
N
)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
19．（1）见解析；（2）−√6
6
【解析】分析：（1）由四边形ABCD为矩形，可得CD⊥BC，再由已知结合面面垂直的性质可得CD⊥平面PBC，进一步得到CD⊥PB，再由PB⊥PD，利用线面垂直的判定定理可得PB⊥面PCD，即可证得PAB⊥平面PCD；
（2）取BC的中点O，连接PO,OE，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题得PE
⃑⃑⃑⃑⃑ •EA
⃑⃑⃑⃑⃑ =0，解得a=2√2. 进而求得平面PAB和平面PAE的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角A−PB−C的余弦值.
详解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，
∴CD⊥平面PBC，
∴CD⊥PB.
∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.
∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.
（2）设BC中点为O,连接PO,OE，
∵PB=PC,∴PO⊥BC，又面PBC⊥面ABCD，且面PBC∩面ABCD=BC，
所以PO⊥面ABCD.
以O为坐标原点，OC
⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x轴正方向，|OC
⃑⃑⃑⃑⃑ |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
O−xyz.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥PC∴PO=1
2
BC=1，设BC=a，
可得P(0,0,1),E(1,a
2
,0),A(−1,a,0),B(−1,0,0),
好教育云平台名校精编卷答案第11页（共12页）好教育云平台名校精编卷答案第12页（共12页）
资料下载来源：学习资料群：743293914，
好教育云平台 名校精编卷答案 第9页（共12页）
好教育云平台 名校精编卷答案 第10页（共12页） 所以PE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,a 2,−1),EA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,a 2,0),由题得PE ⃑⃑⃑⃑⃑ •EA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，解得a =2√2.
所以BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2√2,0),PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,2√2,−1),EA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,√2,0),
设n =(x,y,z)是平面PAB 的法向量，则{n ⋅PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⋅BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0 ，即{−x +2√2y −z =0
2√2y =0 ，
可取n =(1,0,−1).
设m =(x,y,z)是平面PAE 的法向量，则{m ⋅PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0m ⋅EA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0 ，即{−x +2√2y −z =0−2x +√2y =0 ，
可取m =(1,√2,3).
则cos <n,m >=n⋅m |n||m|=−√66，
所以二面角A −PB −C 的余弦值为−√66.
点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
20．（1）x 2=2y ；（2）y =x +12或y =−x +12
【解析】
分析：（1）设P(x,y)，则H(x,−12)，利用HF ⃑⃑⃑⃑⃑ ·(PH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PF ⃑⃑⃑⃑⃑ )=0，即可求解轨迹C 的方程；
（II ）设l ′的方程为y =kx +12，联立方程组，求得x 1+x 2,x 1x 2，又由MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，得到点
M(k,−12)，在利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可表达ΔMAB 的面积，求得k 的值，进而得到直线的方程；
详解：（1）设P(x,y)，则H(x,−12)，∴HF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−x,1),PH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−12−y),
PF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−x,12−y)，PH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−x,−2y)，
∵HF ⃑⃑⃑⃑⃑ ·(PH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PF ⃑⃑⃑⃑⃑ )=0，∴x 2−2y =0，即轨迹C 的方程为x 2=2y .
（2）法一：显然直线l ′的斜率存在，设l ′的方程为y =kx +12，
由{y =kx +12x 2=2y ，消去y 可得：x 2
−2kx −1=0，
设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，M(t,−12)，∴{x 1+x 2=2k
x 1⋅x 2=−1
，
MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1−t,y 1+12),MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 2−t,y 2+12) ∵MA ⊥MB ，∴MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，
即(x 1−t)(x 2−t)+(y 1+12)(y 2+12)=0
∴x 1x 2−(x 1+x 2)t +t 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=0， ∴−1−2kt +t 2−k 2+2k 2+1=0，即t 2−2kt +k 2=0 ∴ (t −k)2=0，∴t =k ，即M(k,−12)， ∴ |AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(1+k 2)， ∴ M(k,−12)到直线l ′的距离d =2√1+k 2=√1+k 2， S ΔMAB =12|AB|d =(1+k 2)32=2√2，解得k =±1， ∴直线l ′的方程为x +y −12=0或x −y +12=0． 法2：（Ⅱ）设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点为 则{x 12=2y 1x 22=2y 2 ⇒(x 1−x 2)(x 1+x 2)=2(y 1−y 2)⇒x 0=y 1−y 2x 1−x 2=k AB 直线l ′的方程为y =x 0x +12， 过点A,B 分别作，因为MA ⊥MB,E 为AB 的中点， 所以在Rt △AMB 中，|EM|=12|AB|=12(|AF|+|BF|)=12(|AA 1|+|BB 1|) 故EM 是直角梯形A 1B 1BA 的中位线，可得EM ⊥l ，从而M(x 0,−12) 点M 到直线l ′的距离为：d =02√x 0+1=√x 02+1 因为E 点在直线l ′上，所以有y 0=x 02+12，从而|AB|=y 1+y 2+1=2y 0+1=2(x 02+1) 由S △MAB =12|AB|d =12×2(x 02+1)√x 02+1=2√2解得x 0=±1 所以直线l ′的方程为y =x +12或y =−x +12． 点睛：本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21．（1）见解析；（2）见解析 【解析】分析：当x >0时，f (x )<e x 等价于x >0,x 2<e x ，构造函数g (x )=e x −x 2,x >0， 则g ′(x )=e x −2x ，记ℎ(x )=g ′(x )=e x −2x ，利用到函数求解函数的极值，转化为求解判断函数g (x )的单调性，即可得到结果；
好教育云平台 名校精编卷答案 第11页（共12页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第12页（共12页）
（2）由（1）可知，当x >0时，e x >x 2，于是e x =e x 2⋅e x 2>(x 2)4=x 416，转化证明求解即可.
详解：(1)当x >0时，f (x )<e x 等价于x >0,x 2<e x
，
构造函数g (x )=e x −x 2,x >0.则g ′(x )=e x −2x ，
记ℎ(x)=g ′(x )=e x −2x ，ℎ′(x )=e x −2，
当x >ln2时，ℎ′(x )>0，ℎ(x )在(ln2,+∞)上单调递增；
当0<x <ln2时，ℎ′(x )<0，ℎ(x )在(0,ln2)上单调递减.
于是，g ′(x )min =ℎ(x)min =ℎ(ln2)=2−2ln2>0，即当x >0时，g ′(x )>0，g (x )为
(0,+∞)上的增函数，所以，g (x )>g (0)>0，即e x >x 2.
于是，当x >0时，f (x )<e x .
(2)由(1)可知，当x >0时，e x >x 2.于是，e x =e x 2⋅e x 2>(x 2)4=x
416.
所以，ke x >kx 416.解不等式kx 416>ex 2，可得x >√e
√k ， 取x 0=√e √k .则对任意给定的正数k ，ke x >13kx 3>ex 2
，当x >x 0时，有，
即k
x >x ⋅e 1−x =f (x ).
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
22．（1）{x =2cosθy =3sinθ （θ为参数）；（2）1
2
【解析】
分析：（1）若将曲线C 1上的点的纵坐标变为原来的3
2，则曲线C 2的直角坐标方程，进而得到曲
线的参数方程.
（2）将直线l 的参数方程化为标准形式代入曲线C 2，得到t ′1+t ′2,t ′1t ′2，进而可求解结论. 详解：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程为x 2+(23y)2=4， 整理得x 42+y 92=1，曲线C 2的参数方程{x =2cosθ,
y =3sinθ （θ为参数）．
（2）将直线的参数方程化为标准形式为{x =−2−12t ′y =3√3+√32t ′ （为参数）， 将参数方程带入x 42+y 92=1得(−2−12t ′)42+(3√3+√32t ′)92=1 整理得74(t ′)2+18t ′+36=0. |PA |+|PB |=|t ′1+t ′2|=727，|PA ||PB |=t ′1t ′2=1447， 1|PA |+1|PB |=|PA |+|PB ||PA ||PB |=7271447=12． 点睛：本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 23．（1）M ={x |−1<x <1} . （2）见试题解析. 【解析】 分析：（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x 的范围； （2）由(ab +1)2−(a +b)2=(a 2−1)(b 2−1)，即可证得求证的不等式. 详解：（1）f(x)=|3x +1|+|3x −1|<6 当x <−13时，f(x)=−3x −1−3x +1=−6x ，由−6x <6解得x >−1，∴−1<x <−13； 当−13≤x ≤13时，f(x)=3x +1−3x +1=2，2<6恒成立，∴−13≤x ≤13； 当x >13时，f(x)=3x +1+3x −1=6x 由6x <6解得x <1，∴13<x <1 综上，f(x)<6的解集M ={x |−1<x <1} （2）(ab +1)2−(a +b )2=a 2b 2+2ab +1−(a 2+b 2+2ab) =a 2b 2−a 2−b 2+1 =(a 2−1)(b 2−1) 由a,b ∈M 得|a |<1,|b |<1 ∴a 2−1<0,b 2−1<0 ∴(a 2−1)(b 2−1)>0 ∴|ab +1|>|a +b |. 点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，着重考查了的转化为转化能力和计算能力，属于中档试题，对于绝对值不等式的解法有三种：（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；（2）利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；（3）通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.。