2025高考数学一轮复习等式性质与不等式性质
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对称性
________
传递性
, ________
可加性❶
_____ ;ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ , _____
可乘性❷
, _____ ; , _____ ; , _____
可方性
_____ ； _____
＞
＞
＞
＜
＞
＞
＞
倒数性质
, _____ ; , _____
分数性质
, , _____ ， _____ （ 且 ）； _____ ， _____ （ 且 ）
续表
＜
＞
＜
＞
＞
＜
[微点清] ❶同向不等式可以相加，不能相减；❷一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变。
小题·微演练
一、基础题
1.若 , ，则 , 的大小关系是( )A. B. C. D.随 的值变化而变化
解决此类题目常用的3种方法
1.直接利用不等式的性质逐个验证。
2.利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件。
3.利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断。
【变式训练】（1） （多选）设 ， ，则下列不等式中正确的是( )A. B. C. D.
[解析] ，又 , ，所以 ，即 ,又 ,所以 。
类型二 不等式的性质
【例2】（1） （多选）设非零实数 ,那么下列不等式中一定成立的是( )A. B. C. D.
[解析] 当 ， ， 时， ，所以选项A不一定成立；因为 ， ， 是非零实数，所以 ，又 ，所以 ，所以选项B一定成立；因为 ，所以 ，则 ，又 ，所以 ，即 ，当 时， 在 上单调递增，所以 ，故选项C不一定成立；因为 ，所以 ，所以 ，故选项D一定成立。综上可知，选BD。
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第四节 等式性质与不等式性质
【课标要求】 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。【命题规律】 以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题。
必备知识 夯实四基
基础·细梳理
1.两个实数的大小比较
（1） ___________。
（2） ___________。
（3） ___________。
2.等式的基本性质
（1）对称性：若 ，则 。
（2）传递性：若 ， ，则 。
（3）可加性：若 ，则 。
（4）可乘性：若 ，则 。
（5）可除性：如果 ， ，那么 。
3.不等式的性质
二、易错题
4.（不会等价转化找不到解题思路）设 , , , ，则 ， 的大小关系是( )A. B. C. D.
B
[解析] 由题意得, ，且 ， ，可得 。
5.（用错符号性质致误）若 , ，则一定有( )A. B. C. D.
D
[解析] 因为 ，所以 ，又 ，所以 ,即 ，又因为 ，所以 ，即 。
（2） 若 ， ， ,则( )A. B. C. D.
B
[解析] 令函数 ，则 ，易知当 时， ，函数 单调递减，因为 ，所以 ，即 。
【举例问题】 能够说明“若 ，则 ”是假命题的一组非零实数 , 的值依次为____，____________________________________________________。
B
[解析] 。
2.若 ， 都是实数，则“ ”是“ ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A
[解析] ，但由 。故选A。
3.实数 , 满足 ，则下列不等式成立的是( )A. B. C. D.
B
[解析] 由 ，得 ，所以 ，故选B。
[答案] BD
（2） [2022·沈阳市质量监测] （多选）若 ， ，则使 成立的充要条件是( )A. B. C. D.
ABD
[解析] 对于A，因为 ， ，所以 ，A选项符合题意；对于B，因为 ， ，所以 ，B选项符合题意；对于C,当 时, ,即 ，C选项不符合题意；对于D，当 时， ，所以 ,反之，由 ， ， ，可得 ，即 ，即 ,所以 ，D选项符合题意。故选ABD。
2.作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论。
3.构造函数， 利用函数的单调性比较大小。
【变式训练】（1） 若 , 为正数，且 ，则 _____ （用符号“＞、＜、≥、≤”填空）。
＞
[解析] ,因为 , 且 ，所以 ， ，所以 ，即 。
（2） 与 的大小关系为_________________。
（答案不唯一：第1个数大于0，第2个数小于0即可）
[命题视角] 本题以“不等式的性质”为知识载体，考查了数学的观察、分析、探究能力。
[解析] 当 时， , ，则 ，所以当 为正数， 为负数时， 是假命题，所以可取 , 的值依次为1， 。
比较数（式）大小的常用方法
1.作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论。
[解析] 由题意知 , 。因为 在 上单调递增，所以 。因为 在 上单调递减，所以 。因为 ，所以 。当 时， ，所以D不成立，故选ABC。
6.（用错不等式的可乘性质致误）已知 , ，则 的取值范围是________。
[解析] 因为 , ,所以 ,所以 ，即 。
关键能力 考向探究
类型一 比较数（式）的大小
【例1】（1） 设 , ，则 与 的大小关系是( )A. B. C. D.
A
[解析] 因为 ，所以 。
________
传递性
, ________
可加性❶
_____ ;ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ , _____
可乘性❷
, _____ ; , _____ ; , _____
可方性
_____ ； _____
＞
＞
＞
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倒数性质
, _____ ; , _____
分数性质
, , _____ ， _____ （ 且 ）； _____ ， _____ （ 且 ）
续表
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[微点清] ❶同向不等式可以相加，不能相减；❷一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变。
小题·微演练
一、基础题
1.若 , ，则 , 的大小关系是( )A. B. C. D.随 的值变化而变化
解决此类题目常用的3种方法
1.直接利用不等式的性质逐个验证。
2.利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件。
3.利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断。
【变式训练】（1） （多选）设 ， ，则下列不等式中正确的是( )A. B. C. D.
[解析] ，又 , ，所以 ，即 ,又 ,所以 。
类型二 不等式的性质
【例2】（1） （多选）设非零实数 ,那么下列不等式中一定成立的是( )A. B. C. D.
[解析] 当 ， ， 时， ，所以选项A不一定成立；因为 ， ， 是非零实数，所以 ，又 ，所以 ，所以选项B一定成立；因为 ，所以 ，则 ，又 ，所以 ，即 ，当 时， 在 上单调递增，所以 ，故选项C不一定成立；因为 ，所以 ，所以 ，故选项D一定成立。综上可知，选BD。
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第四节 等式性质与不等式性质
【课标要求】 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。【命题规律】 以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题。
必备知识 夯实四基
基础·细梳理
1.两个实数的大小比较
（1） ___________。
（2） ___________。
（3） ___________。
2.等式的基本性质
（1）对称性：若 ，则 。
（2）传递性：若 ， ，则 。
（3）可加性：若 ，则 。
（4）可乘性：若 ，则 。
（5）可除性：如果 ， ，那么 。
3.不等式的性质
二、易错题
4.（不会等价转化找不到解题思路）设 , , , ，则 ， 的大小关系是( )A. B. C. D.
B
[解析] 由题意得, ，且 ， ，可得 。
5.（用错符号性质致误）若 , ，则一定有( )A. B. C. D.
D
[解析] 因为 ，所以 ，又 ，所以 ,即 ，又因为 ，所以 ，即 。
（2） 若 ， ， ,则( )A. B. C. D.
B
[解析] 令函数 ，则 ，易知当 时， ，函数 单调递减，因为 ，所以 ，即 。
【举例问题】 能够说明“若 ，则 ”是假命题的一组非零实数 , 的值依次为____，____________________________________________________。
B
[解析] 。
2.若 ， 都是实数，则“ ”是“ ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A
[解析] ，但由 。故选A。
3.实数 , 满足 ，则下列不等式成立的是( )A. B. C. D.
B
[解析] 由 ，得 ，所以 ，故选B。
[答案] BD
（2） [2022·沈阳市质量监测] （多选）若 ， ，则使 成立的充要条件是( )A. B. C. D.
ABD
[解析] 对于A，因为 ， ，所以 ，A选项符合题意；对于B，因为 ， ，所以 ，B选项符合题意；对于C,当 时, ,即 ，C选项不符合题意；对于D，当 时， ，所以 ,反之，由 ， ， ，可得 ，即 ，即 ,所以 ，D选项符合题意。故选ABD。
2.作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论。
3.构造函数， 利用函数的单调性比较大小。
【变式训练】（1） 若 , 为正数，且 ，则 _____ （用符号“＞、＜、≥、≤”填空）。
＞
[解析] ,因为 , 且 ，所以 ， ，所以 ，即 。
（2） 与 的大小关系为_________________。
（答案不唯一：第1个数大于0，第2个数小于0即可）
[命题视角] 本题以“不等式的性质”为知识载体，考查了数学的观察、分析、探究能力。
[解析] 当 时， , ，则 ，所以当 为正数， 为负数时， 是假命题，所以可取 , 的值依次为1， 。
比较数（式）大小的常用方法
1.作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论。
[解析] 由题意知 , 。因为 在 上单调递增，所以 。因为 在 上单调递减，所以 。因为 ，所以 。当 时， ，所以D不成立，故选ABC。
6.（用错不等式的可乘性质致误）已知 , ，则 的取值范围是________。
[解析] 因为 , ,所以 ,所以 ，即 。
关键能力 考向探究
类型一 比较数（式）的大小
【例1】（1） 设 , ，则 与 的大小关系是( )A. B. C. D.
A
[解析] 因为 ，所以 。