高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》分类汇编含答案

数学高考《不等式》试题含答案
一、选择题
1．已知变量,x y 满足约束条件121
x y x +⎧⎨-⎩剟
…，则x y y +的取值范围是( )
A
．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．20,3
⎛⎤
⎥⎝
⎦
C ．11,3
⎛⎤-- ⎥⎝
⎦
D ．3,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
作出不等式121
x y x +⎧⎨-⎩剟…表示的平面区域，整理得：
x y y +1x y =+，利用y
x 表示点(),x y 与原点的连线斜率，即可求得1
13
x y -<-…，问题得解． 【详解】
将题中可行域表示如下图，
整理得：x y y
+1x
y =+ 易知y
k x
=
表示点(),x y 与原点的连线斜率， 当点(),x y 在()1.3A -处时，y
k x
=
取得最小值-3. 且斜率k 小于直线1x y +=的斜率-1， 故31k -≤<-，则113
x y -<-…， 故2
03
x y y +<
…. 故选B 【点睛】
本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题．
2．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范
围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-
C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞-
【答案】A 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以
z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.
故选：A
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
3．已知关于x 的不等式()()2
22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范
围是（ ） A ．()2,6
B ．()(),26,-∞+∞U
C ．(](),26,-∞⋃+∞
D ．[)2,6
【答案】D 【解析】 【分析】
分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数
m 的取值范围.
【详解】
当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；
当20m -≠时，则()()2
20
421620
m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6.
【点睛】
本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
4．已知点()4,3A ，点B 为不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
所表示平面区域上的任意一点，则
AB 的最小值为（ ）
A ．
5 B ．
45
C ．5
D ．
25
【答案】C 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的平面区域，标出点A 的位置，利用图形可观察出使得AB 最小时点
B 的位置，利用两点间的距离公式可求得AB 的最小值.
【详解】
作出不等式组00260y x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
所表示的平面区域如下图所示：
联立0260x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩
，
由图知AB 的最小值即为()4,3A 、()2,2B 两点间的距离， 所以AB ()()
22
42325-+-=
故选：C ．
本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．
5．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r
恒
成立，则实数t 的取值范围是（ ）.
A ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
D ．⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0<n ，即可求得结果. 【详解】
因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以
1cos1202
AB BC ⋅=︒=-u u u r u u u r ， 由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +⋅+>u u u r u u u r u u u r u u u r
，
即2210k kt t -+->，构造函数2
2
()1f k k tk t =-+-， 由题意，(
)
2
2
410t t ∆--<=，
解得t <或t >
. 故选：B. 【点睛】
本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.
6．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞
C ．(,4]-∞
D ．[4,)+∞
【答案】C 【解析】
若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4
a x x
≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4
[4,5]x x
+
∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.
7．已知,x y 满足33025010
x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩
，则3
6y z x -=-的最小值为（ ）
A ．
157
B ．
913
C ．
17
D ．
313
【答案】D 【解析】 【分析】
画出可行域，目标函数3
6
y z x -=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率，根据图像得到答案. 【详解】
画出可行域如图中阴影部分所示， 目标函数3
6
y z x -=
-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率. 直线330x y -+=与直线10x y +-=交于点13(,)22
A -，
由图可知，当可行域内的点为A 时，PA k 最小，故min 33
321
1362
z -==--. 故选：D .
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
8．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实
数a 的取值范围是（ ） A ．[5,)+∞ B ．[2,)+∞
C ．[1,)+∞
D ．[0,)+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数
a 的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程10770
x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5，
因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a
的取值范围是5a ≤， 故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.
9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为9，若点
， 则
的最大值为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：
则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1
292
S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，
由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
10．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】
222x y x y ++≥Q 且224x y
+≤ ，
224222x y x y x y ++∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，
又x y +≥Q ，0,0x y >>
21xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,
2241x y xy ∴+≤⇒≤，
反过来，当1
2,3
x y ==
时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】
本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.
11．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线
10mx ny +-=上，其中·0m n >，则
41
m n
+的最小值为（） A ．16 B ．24
C ．50
D ．25
【答案】D 【解析】 【分析】
由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值． 【详解】
令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，
则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴
41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n
++
=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，
故则
41
m n +的最小值为25， 故选D ． 【点睛】
本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．
12．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，设
z OP OA =⋅u u u r u u u r
，则z 的最大值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】
解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
可知它的可行域如下图：
Q ()2,1A ，(), P x y
∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r
，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，
即24z x y =+=.
故选：C. 【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.
13．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】
若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】
本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．
14．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则
11
p q
+的最小值为（ ） A ．2 B ．
52
C ．
94
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11
p q
+的最小值. 【详解】
离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，， 所以有()4E X np ==，
()()1D X q np p ==-（，
所以44p q +=，即14
q
p +=，（0p >，0q >） 所以
11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 559
214444
4q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4
23
q p ==时取得等号．
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
15．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
【解析】 【分析】
由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，从而得到C 的大
小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】
由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，
222sin a b c C ++=
两式相加，得到()
2
2
cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫
+=+=-
⎪⎝
⎭
所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛
⎫-=
= ⎪⎝
⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛
⎫
-
∈- ⎪⎝
⎭
所以cos 13C π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
， 因为()0,C π∈，所以2,333C π
ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
所以03
C π
-
=，即3
C π
=
，又a b =，
所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项. 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.
16．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则
||MN 的最大值是（ ）
A
B
．
2
C
．D ．
172
【答案】A
【分析】
先作可行域，再根据图象确定MN的最大值取法，并求结果.
【详解】
作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN的最大值为BD=2
1417
+=,选A.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
17．已知直线21
y kx k
=++与直线
1
2
2
y x
=-+的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（）
A．
1
2
k>B．
1
6
k<-或
1
2
k>C．62
k
-<<D．
11
62
k
-<<
【答案】D
【解析】
【分析】
联立
21
1
2
2
y kx k
y x
=++
⎧
⎪
⎨
=-+
⎪⎩
，可解得交点坐标(,)
x y，由于直线21
y kx k
=++与直线
1
2
2
y x
=-+的交点位于第一象限，可得
x
y
>
⎧
⎨
>
⎩
，解得即可．
【详解】
解：联立211
22y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2421
6121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-
+的交点位于第一象限， ∴24021610
21
k
k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：11
62k -<<．
故选：D ． 【点睛】
本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．
18．设m ，n 为正数，且2m n +=，则13
12
n m n ++++的最小值为（ ） A ．
32
B ．
53 C ．
74
D ．
95
【答案】D 【解析】 【分析】
根据2m n +=，化简135112(1)(2)
n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案； 【详解】 当2m n +=时，
Q
131111212
n m n m n ++=++++++ 35
11(1)(2)(1)(2)
m n m n m n ++=
+=++⋅++⋅+
Q 2
1225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭
，
当且仅当12m n +=+时，即31
22
m n =
=，取等号， ∴
139
125n m n ++≥++. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等
号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
19．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3
C π
<”，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】
充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，
整理得，22
12cos a b C ab
++>，
由基本不等式，222a b ab ab
+≥=，
当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1
cos 2C >，解得3
C π<， 充分性得证；
必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291
cos 247562
C +-==>⨯⨯，
故3
C π
<
，但228ab c =<，故3
C π
<
推不出2ab c >.
故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.
20．已知函数()2222,2
{
log ,2
x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2
054f x m m ≤- 成立，
则实数m 的取值范围为 （ ）
A．
1
1,
4
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
B．
1
,1
4
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
C．
1
2,
4
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
D．
1
,1
3
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
【答案】B
【解析】
由函数的解析式可得函数的最小值为：()11
f=,则要考查的不等式转化为：
2
154
m m
≤-，解得：1
1
4
m
≤≤，即实数m的取值范围为
1
,1
4
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
.
本题选择B选项.
点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．。