2020届九师联盟高三12月质量检测数学(文)试题(解析版)

2020届九师联盟高三12月质量检测数学（文）试题
一、单选题
1．已知复数(2)(1)z i i =--（i 为虚数单位），则||z =（ ） A ．10 B ．11 C ．23 D ．14
【答案】A
【解析】利用复数的乘法运算以及复数的模求法公式即可求解. 【详解】
由(2)(1)13z i i i =--=-， 则()2
2||1310z =+-=， 故选：A . 【点睛】
本题考查了复数的乘法运算、复数模的求法，属于基础题.
2．已知集合={-1,0,1,2,3,4,5}U ，={0,1,2}A ，={2,3,4}B ，则()U C A B =U （ ） A ．{-1,0,5} B ．{-1,5} C ．{-1,0} D ．{5}
【答案】B
【解析】利用集合的交并补运算即可求解. 【详解】
由={0,1,2,3,4}A B U ，则()={-1,5}U C A B U ， 故选：B. 【点睛】
本题考查了集合的基本运算，属于基础题.
3．函数()2sin f x x x =在区间[],ππ-上的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】根据函数奇偶性可排除,C D ，由02f π⎛⎫
> ⎪⎝⎭
可排除B ，从而得到正确结果. 【详解】
()()()22sin sin f x x x x x f x -=-=-=-Q
()f x ∴为奇函数，图象关于原点对称，可排除,C D ；
又22
sin 024
24f ππ
ππ⎛⎫==> ⎪
⎝⎭，可排除B ，则A 正确. 故选：A 【点睛】
本题考查函数图象的识别，通常采用排除法来进行判断；排除的依据通常为：奇偶性、特殊位置的符号、单调性. 4．已知51log 83a =
，51
log 814
b =，0.013
c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．a b c <<
【答案】D
【解析】利用指数对数的运算性质以及对数函数的单调性即可判断出大小关系. 【详解】
由5log 21a =<，5log 31b =<，1c >， 又55log 2log 3<，所以a b c <<， 故选：D . 【点睛】
本题考查了指数、对数的运算性质以及对数函数的单调性，需熟记对数的运算性质，属于基础题.
5．河南省新郑市望京楼遗址位于新郑市新村镇杜村和孟家沟村以西及周边区域，北距郑州市35公里，遗址发现于20世纪60年代，当地群众平整土地时曾出土过一批青铜器和玉器等贵重文物.望京楼商代城址保存较为完整，城址平面近方形，东城墙长约590米、北城墙长约602米、南城墙长约630米、西城墙长约560米，城墙宽度为10米～20米，则下列数据中可作为整个城址的面积较为准确的估算值的是（ ） A ．24万平方米
B ．25万平方米
C ．37万平方米
D ．45万平方米
【解析】由城址近方形可计算出方形边长的近似值，进而得到估算面积. 【详解】
5906026305602382+++=Q 米且城址平面近方形
∴城址面积约为2
238235.464⎛⎫≈ ⎪⎝⎭
万平方米 选项中与35.46最接近的数据为37万平方米 故选：C 【点睛】
本题考查根据数据计算估算值的问题，关键是能够计算出方形边长的近似值，属于基础题.
6．已知向量()1,2a =-r ，()0,1b =r ，若向量xa b -r r 与a b +r
r 垂直，则实数x 的值为（ ）
A ．
57
B ．
37
C ．17
-
D ．27
-
【答案】B
【解析】利用坐标表示出xa b -r r 与a b +r r ，由垂直关系知()()
0xa b a b -⋅+=r r r r ，由数量积的坐标运算构造方程求
得结果. 【详解】
由题意得：(),21xa b x x -=--r r ，()1,3a b +=-r
r
xa b
-r r Q 与a b +r r 垂直 ()()
630xa b a b x x ∴-⋅+=+-=r r r r ，解得：37
x = 故选：B 【点睛】
本题考查根据平面向量垂直关系的坐标表示，关键是明确两向量垂直等价于两向量的数量积等于零.
7．某零售商店为了检查货架上的150瓶饮料是否过了保质期，将这些饮料编号为1，2，…，150，从这些饮料中用系统抽样方法抽取30瓶饮料进行保质期检查.若饮料编号被抽到81号，这下面4个饮料编号中抽不到的编号是（ ） A ．6 B ．41
C ．126
D ．135
【答案】D
【解析】根据系统抽样的步骤可判断编号的个位数字是1或6都能被抽到，结合选项即可得出答案. 【详解】
由150305÷=知分30组，每组5个编号，因为抽到的编号中有编号81，
由系统抽样的特点知，编号的个位数字是1或6都能被抽到，其他特征的编号则抽不到， 故选：D .
本题主要考查了系统抽样法，需掌握系统抽样的步骤，属于基础题.
8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，点F 到双曲线C 5c
（22c a b +），则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．12
y x =±
B ．1
3
y x =±
C ．3y x =
D ．5y x =
【答案】A
【解析】首先求出双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离得5c b =，然后求出b
a
即可求出渐近线方程. 【详解】
点F 的坐标为(,0)c -，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，
22
55
c
a b =
+，得5c b =， 则
222212
5b a c b b b ===--，所以双曲线的渐近线方程为12y x =±， 故选：A . 【点睛】
本题主要考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式，属于基础题. 9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin sin tan sin sin sin B C
A B C A
=
+-，则A =（ ）
A ．
3
π B ．
4
π C ．
6π或
56π
D ．
3π
或
23
π 【答案】C
【解析】由正弦定理角化边可得222
tan bc A b c a =+-，再由余弦定理以及切化弦可得1
sin 2A =，结合三角形的内
角取值范围即可得出选项. 【详解】
由正弦定理，得222
tan bc
A b c a
=+-， 又2222cos b c a bc A +-=，所以sin cos 2cos A bc
A bc A
=， 所以1sin 2A =，因为(0,)A π∈，所以6
A π=或56π
，
故选：C . 【点睛】
本题主要考查正余弦定理解三角形，需熟记定理内容，属于基础题. 10．若tan 22
θ
=，则sin 2cos2θθ+=（ ）
A ．45-
B ．2725
-
C ．65
-
D ．3125
-
【答案】D
【解析】利用正切的半角公式以及正余的二倍角公式化简即可求解. 【详解】
由22tan
442tan 1431tan 2
θ
θθ=
==---， 则222
2
22
2sin cos cos sin sin 2cos 22sin cos cos sin cos sin θθθθ
θθθθθθθθ
+-+=+-=+ 222tan 1tan 1tan θθθ+-=+=81613139162519
-+-
=-+
， 故选：D . 【点睛】
本题主要考查三角恒等变换化简求值问题，需熟记半角公式以及二倍角公式，属于基础题.
11．已知三棱锥P ABC -的侧棱,,PA PB PC 与底面ABC 所成的角均为60o ，且4AC =，3BC =，5AB =，则三棱锥P ABC -的四个面中，面积最大的面的面积为（ ） A ．6 B ．9
C ．
253
D ．12
【答案】C
【解析】过点P 作PH ⊥平面ABC ，垂足为H ，根据线面角以及三角形的边长证出点H 为斜边AB 的中点，然后再根据三角形的面积公式求出侧面和底面即可得到最大值. 【详解】
过点P 作PH ⊥平面ABC ，垂足为H ， 因为60PAH PBH PCH ∠=∠=∠=o ，
可得PAH PBH PCH ∆≅∆≅∆， 得AH BH CH ==，PA PB PC ==， 又4AC =，3BC =，5AB =，
所以ABC ∆为直角三角形，故点H 为斜边AB 的中点，如图， 所以52
HA HB HC ===
， 5PA PB PC ===，4AC =，3BC =，5AB =，
所以=221ACP S ∆391BCP S ∆，1=34=62ABC S ∆⨯⨯，13253
=552ABP S ∆⨯⨯， 253
故选：C . 【点睛】
本题主要考查了立体几何中线面角的定义，考查了学生的空间想象能力以及推理能力，属于中档题.
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 为圆22:()(2)4C x m y -+-=上两个动点，且||3AB =，若直线
:2l y x =-上存在唯一的一个点P ，使得OC PA PB =+u u u r u u u r u u u r
，则实数m 的值为（ ）
A 51或15-
B ．15-或15-
C 51或15+
D ．51或15-【答案】B
【解析】取AB 的中点Q ，连接CQ ，可得CQ AB ⊥，从而可求得点Q 在圆22
(x m)(y 2)1-+-=上，由
2OC PA PB PQ =+=u u u r u u u r u u u r u u u r
，设点P 的坐标为(t,2t)-，点Q 的坐标为(,)x y ，由向量的坐标运算求出点Q ，再代入
点Q 的方程可2
2
5(4m)t 04
m t +-+=
从而根据题意0∆=即可求解. 【详解】
取AB 的中点Q ，连接CQ ，有CQ AB ⊥，
22||431CQ AC AQ =-=-=，
故点Q 在圆2
2
(x m)(y 2)1-+-=上，
由2OC PA PB PQ =+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，
设点P 的坐标为(t,2t)-，点Q 的坐标为(,)x y ，
有(m,2)2(x t,y 2)t =-+，可得2
m
x t =+
，12y t =-， 有22(t m)(12t 2)12m +-+--=，得22
(t )(2t 1)12
m -++=，
整理为2
2
5(4m)t 04
m t +-+=，
因为直线:2l y x =-上存在唯一的一个点P ， 则22(4)50m m ∆=--=， 得15m =-+15m =-- 故选：B . 【点睛】
本题主要考查平面解析几何中直线与圆的位置关系、考查了向量的坐标运算，综合性比较强，属于中档题.
二、填空题
13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若79a =，则343638310log log log log a a a a +++=__________． 【答案】8
【解析】利用对数的运算性质以及等比数列的性质即可求解. 【详解】
343638310346810log log log log log ()a a a a a a a a +++=
4
37373log 4log 4log 98a a ====
故答案为：8 【点睛】
本题主要考查了对数的运算性质以及等比数列的性质，需熟记性质，属于基础题.
14．已知函数()()21x
f x x e =+，则曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为__________．
【答案】310x y -+=
【解析】利用导函数求得()0f '即为切线斜率，由原函数求得()0f ，由直线点斜式方程整理得到结果. 【详解】
由题意得：()()()22123x
x
x
f x e x e x e '=++=+
()03f '∴=，又()01f =
()y f x ∴=在()()0,0f 处的切线方程为：()130y x -=-，即310x y -+=
故答案为：310x y -+= 【点睛】
本题考查曲线在某一点处的切线方程的求解问题，是对导数的几何意义的应用，属于基础题. 15．函数()2sin()sin()2sin cos 66
f x x x x x π
π=-++在区间[0,]2π
上的值域为__________．
【答案】11
[,
2]22
- 【解析】利用两角和与差的公式以及二倍角公式把函数()f x 化为()12x )24
f x π
=-，再由三角函数的单调性即可求出值域. 【详解】 由3131
(x)2(
cosx)sin 2x 22
f =-++ 2231
2(sin x cos x)sin 2x 44=-+
2231
sin cos sin 222
x x x =-+ 1
1cos 2sin 22
x x =--+
12x )24
π=+- 当[0,]2
x π
∈时， 2[,]444x ππ3π-∈-，则2sin(2)[,1]42
x π-∈-， 所以11
(x)[,
2]22f ∈-+. 故答案为：11
[,2]22
-+
【点睛】
本题主要考查两角和与差的展开式、二倍角的正余弦公式以及正弦函数的性质，需熟记并灵活运用公式，属于基础题.
16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点，点P 为椭圆C 上任一点，
直线AP 与直线:l x a =相交于点Q ，若2OP OQ a =u u u r u u u r
g ，则椭圆C 的离心率为__________．
【答案】
2
2
【解析】设出点P 的坐标为(,)m n ，求出直线AP 的方程，从而求出点Q 的坐标为2(,
)an
a m a
+，
利用向量数量积的坐标运算化简，结合点P 在椭圆上代入椭圆方程，两式联立可得2
22a b
=，
从而可求离心率. 【详解】
设点P 的坐标为(,)m n ，则22
221m n a b
+=，
点A 的坐标为(,0)a -，点O 的坐标为(0,0)， 直线AP 的斜率为
n
m a
+， 可得直线AP 的方程为()n
y x a m a
=++， 可得点Q 的坐标为2(,
)an
a m a
+， 由222an OP OQ am a m a
•=+=+u u u r u u u r ，
得2222m n a +=，
又由22221m n a b +=，得2222
2a m n a b +=，则222a b
=，
所以椭圆C 的离心率222221c a b b e a a -===-=
. 故答案为：2
2
【点睛】
本题考查了椭圆的集合性质以及直线与椭圆的位置关系、向量数量积的坐标运算，综合性比较强，属于中档题.
三、解答题
17．某高级中学为调查学生选科情况，从高一学生中随机抽取40名男生和20名女生进行调查，得到如下列联表：
选理科 选文科 男生（单位：名） 35 5 女生（单位：名） 5
15
（1）分别估计男生中选择理科、女生中选择文科的概率； （2）能否有99.9%的把握认为学生选择理科或文科与性别有关？
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
20()P K k ≥
0.05 0.010 0.001
0k
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）
78，3
4
；（2）能 【解析】（1）根据列联表即可求解. （2）由独立性检验以及列联表即可求解. 【详解】
(1)男生选择学习理科的概率为
357
408=， 女生选择学习文科的概率为
153204
=. (2)由22
60(351555)375
23.43810.8284020402016
K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
故能有99.9%的把握认为学生选择学习理科或文科与性别有关. 【点睛】
本题考查了独立性检验，需理解独立性检验中2k 的意义，属于基础题. 18．在等差数列{}n a 中，13536a a a ++=，1257a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和n S ，令245
n n S b n
+=
，求数列{}n b 中的最小项是第几项，并求出该项. 【答案】（1）5n 3n a =-*
()n N ∈；（2）3，29
【解析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解. （2）由等差数列的前n 和公式以及基本不等式即可求解. 【详解】
(1)设数列{}n a 的公差为d ，
因为1353336a a a a ++==，所以312a =，
所以1235712
51239
a a d --=
==-，13212102a a d =-=-=，
所以25(n 1)5n 3n a =+-=-，
所以数列{}n a 的通向公式为5n 3n a =-*
()n N ∈.
(2) 由(1)得2(253)522
n n n n n
S +--==
， 所以254599
5()110129n n n b n n n n n
-+==+-≥⨯-=(当且仅当3n =时取等号)，
故数列{}n b 中的最小项是第3项，该项的值为29. 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、前n 和公式以及基本不等式求最值，属于基础题. 19．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱AB 的中点.
（1）证明：1//A B 平面1D CE ； （2）求点1A 到平面1D CE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）
2
3
【解析】（1）首先证出1//A B CD ，由线面平行的判断定理即可证出.
（2）由（1)有1//A B 平面1D CE ，则点1A 到平面1D CE 的距离和点B 到平面1D CE 的距离相等，利用
11B ECD D BEC V V --=即可求解.
【详解】
(1)证明:在正方体1111ABCD A B C D -中， 11A D BC P
， ∴四边形11A BCD 为平行四边形， ∴11//A B CD ， ∵1CD ⊂平面1D CE ，1A B ⊄平面1D CE ， ∴1//A B 平面1D CE .
(2)由(1)有1//A B 平面1D CE ，
则点1A 到平面1D CE 的距离和点B 到平面1D CE 的距离相等， 设点1A 到平面1D CE 的距离为h ， 则1112122323
D BC
E V -=
⨯⨯⨯⨯=， 在11Rt CC D ∆中， 14422CD =+= 在Rt CEB ∆中， 415CE =
+=
在1Rt DED ∆中， 1453ED =+=， 在1CED ∆中， 110cos 2522ECD ∠=
=⨯，11310
sin 11010ECD ∠=-=
， 则1
1310
523210
BCD S ∆==，1133B ECD V h h -=⨯=，
由11B ECD D BEC V V --=，得2
3h =， 故点1A 到平面1D CE 的距离为2
3
.
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理以及等体积法求点到面的距离，考查了学生的空间想象能力和推理能力，属于中档题.
20．已知函数()sin cos f x x x x x =+-. （1）证明：函数()f x 在区间[0,
]2
π
上单调递减；
（2）若对任意[0,]2
x π
∈，()f x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2(,0]-∞
【解析】（1）求函数()sin cos f x x x x x =+-的导函数，导函数()f x '在[0,]2
π
上小于零即可得证.
（2）分类讨论，由()02
f π=，由题意()2
2
f a ππ
≥
，分析可得0a ≤；当0a >时，令()sin cos h x x x x x ax =+--，
研究函数()h x 的单调性，证明()min 0h x ≥是否成立即可. 【详解】
(1)证明:由题意，得'()sin cos sin 1cos 1f x x x x x x x =+--=-， ①当01x ≤≤时， c o s 1x ≤，可得cos 1x x ≤，
②当12
x π
<≤时，令()cos 1g x x x =-((1,
]2
x π
∈)，'()cos sin g x x x x =-，
由(1,
]2
x π
∈，有cos sin sin x x x x <<，得)'(0g x <，
故此时函数()g x 单调递减，有()cos110g x <-<，
由①②知，当[0,]2
x π∈时， '()0f x ≤，故函数()f x 在区间[0,]2
π
上单调递减.
(2)由()02
f π=，又由题意有()2
2
f a ππ
≥
，得0a ≤，
由函数()f x 在区间[0,
]2π
上单调递减，可得()()02
f x f π
≥=， 而当[0,]2
x π
∈，0a ≤时， 0ax ≤，显然有()f x ax ≥，
当0a >时，令()sin cos h x x x x x ax =+--，则'()cos 1h x x x a =--， 由（1）知当[0,]2
x π∈时，cos 10x x -≤，所以当0a >时，'()0h x <， ∴()h x 在[0,
]2
π
上单调递减，
又(0)10h =>，()02
2h a ππ
=-
<，所以0(0,)2
x π
∃∈， 使0()0h x =，所以当0(,
]2
x x π
∈时，()0h x <与题意不符，
故实数a 的取值范围为(,0]-∞. 【点睛】
本题考查了导函数在研究函数中的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题. 21．已知抛物线2:M y x =的焦点为F .
(1)过点(1,0)A 的直线l 与抛物线M 相交于,B C 两点，若11
||||4
BF CF +=
，求直线l 的方程； (2)点,P Q 是抛物线M 上的两点，点,P Q 的纵坐标分别为1，2，分别过点,P Q 作倾斜角互补的两条直线交抛物线M 于另外不同两点,D E ，求直线DE 的斜率. 【答案】(1) 220x y ±-=；(2) 1
3
-
【解析】（1）设直线l 的方程为1x my =+，将直线与抛物线联立消去x ，根据韦达定理可得B C y y m +=，
1B C y y =-，再由抛物线定义可得||||B C BF CF x x p +=++即可求解.
（2）求出点P 的坐标为(1,1)，点Q 的坐标为(4,2)，分类讨论①当两条直线的倾斜角都为90o 时，②当两条直线的倾斜角都不为90o 时，设直线PD 的方程与设直线QE 的方程，分别将直线与抛物线联立，利用韦达定理，整理化简即可求出直线DE 的斜率.
（1）设直线l 的方程为1x my =+，点,B C 的坐标分别为(,)B B x y ，(,)C C x y ，
联立方程21
y x
x my ⎧=⎨=+⎩，消去x 整理为210y my --=，则B C y y m +=，1B C y y =-，
所以2
()22B C B C x x m y y m +=++=+，
由抛物线定义可得1||4B BF x =+，1||4C CF x =+，所以21511||||224
B C BF CF x x m +=++=+=， 解得：1
2
m =±
， 故直线l 的方程为1
12
x y =±
+，即220x y ±-=. （2）由题意知，点P 的坐标为(1,1)，点Q 的坐标为(4,2)，
①当两条直线的倾斜角都为90o 时，点D 的坐标为(1,1)-，点E 的坐标为(4,2)- 此时直线DE 的斜率为
2(1)1
413
---=--，
②当两条直线的倾斜角都不为90o 时，设点D 的坐标为2
11(,)y y ，点E 的坐标为2
22(,)y y ，
此时直线DE 的斜率为21222121
1
y y y y y y -=-+，
设直线PD 的方程为1(x 1)y k -=-，
联立方程21(1)y k x y x -=-⎧⎨=⎩
消去x 整理为2
10ky y k -+-=，则111k y k -⨯=，得11k y k -=，
设直线QE 的方程为2(4)y k x -=--，
联立方程22(4)y k x y x
-=--⎧⎨=⎩消去x 整理为2
(42)0ky y k +-+=，
则2422k y k +⨯=-
，得221
k y k
+=-， 所以121213k k y y k k
-++=
-=-，可得
21113y y =-+， 故直线DE 的斜率为1
3
-， 综上，可得直线DE 的斜率为13
-. 【点睛】
本题主要考查焦点弦公式、直线与抛物线的位置关系，分类讨论的思想，考查了学生的计算能力，难度较大，属
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为21x a t
y t
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数）.
（1）若1a =，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||AB ； （2）若3a =-，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1165
2855【解析】（1）将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程，代入直线l 的参数方程整理可求得12,t t ，由此可得,A B 坐标，利用两点间距离公式可求得结果；
（2）根据曲线C 的参数方程可设其上点坐标为()cos ,2sin αα，将直线l 化为普通方程，利用点到直线距离公式可将问题化为三角函数最值求解问题，由此求得结果. 【详解】
（1）由参数方程可得曲线C 的直角坐标方程为：2
2
14
y x +=
当1a =时，直线l 的参数方程为121x t
y t
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）
设点,A B 对应的参数分别为12,t t
代入曲线C 的直角坐标方程后整理得：2171810t t ++= 解得：1
1t =-，2117
t =-
设()11,A x y ，()22,B x y ，则1111121x t y t =+⎧⎨=+⎩，22
2
2121x t y t =+⎧⎨
=+⎩ ()()
()()22
22
121221214AB x x y y t t t t ∴=
-+-=-+-()21116555117t ⎛⎫=-=---=
⎪⎝⎭
（2）设曲线C 上的点的坐标为()cos ,2sin αα 当3a =-时，直线l 的直角坐标方程为：250x y -+=
∴曲线C 上的点到直线l 的距离()17cos 5
cos 4sin 55178555
5
5
d αϕαα++-+-==
≥
=
（当且仅当()cos 1αϕ+=-时取等号）
∴曲线C 上的点到直线l 8555
【点睛】
本题考查参数方程问题中的弦长求解和点到直线距离的求解问题；求解点到直线距离的最值的关键是能够将问题转化为三角函数最值的求解问题；本题易错点是在直线参数方程为非标准形式的时候，错误的应用直线参数方程中参数的几何意义，造成弦长求解错误.
23．已知,,a b c 为正数，且满足3a b c abc ++=.证明： （1）3ab bc ca ++≥； （2）
2
22111
3++≥a b c
. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】（1）利用基本不等式可构造不等式求得1abc ≥，由()2
33ab bc ca abc ++≥ （2）利用基本不等式可求得2221111
1122a b c ab bc ca ⎛⎫⎛⎫++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由1113ab bc ca ++=可证得结论. 【详解】
（1）由33a b c abc ++≥（当且仅当a b c ==时取等号）
333abc abc ∴≥1abc ≥（当且仅当1a b c ===时取等号）
又()2
33ab bc ca abc ++≥1abc ≥
3ab bc ca ∴++≥（当且仅当1a b c ===时取等号）
（2）由22121a b ab
+?（当且仅当a b
=时取等号）；22112b c bc +≥（当且仅当b c =时取等号）；22112
c a ca +≥（当且仅当c a =时取等号）
三式相加得：2221111
1122a b c ab bc ca ⎛⎫⎛⎫++≥++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
222111111
a b c ab bc ca ∴
++≥++ 又
11133a b c abc ab bc ca abc abc ++++=== 222111
3a b c ∴++≥（当且仅当1a b c ===时取等号） 【点睛】
本题考查利用基本不等式证明不等式的问题，关键是灵活利用基本不等式配凑出所证结论所需的形式，属于常考题型.。