信号与系统第三章傅里叶变换

a0
F f t F
f t
0
t
2
2

f
(at)

1 |a|
F

a

F
2
2

f t
0
t
4
4
F
4
4

时域中压缩
频域中扩展，时域中扩展
频域中压缩
（实例：录音：慢录快放，时间短、频带宽
t
f
t


1
t T1
0 t T1
F
2T1 sincT1
f t sinWt F
t
f t W sin cWt
W /
/W
/W
0
F

j



1
0
W W
F
t
1 F j
-W 0 W ω
1 X1 j
F j ea t e j tdt
0

eat e j t dt e at e j t dt

0
1 1
a j a j
F

j

2a
a2 2
ea t
a

0F
a
2
2a

2
f
t



1
0
2
2 f t F j e j td
交换 t ,
2 f

F
jt e j t dt

1F 2 2
f (t) 1
←→ F(jω) = ?
1 t 2
因为: e |t| 2

2 0 2 t
dxt
d 2xt
d
2f dt

2
t

F

j 2
F
j
-2
1 dt
02
(1)
dt 2
(1)
t -2 0
2
t
2 t F 2
-1
(-2)
t 2F e j2
t 2F e j2
F

j

2

e

j2 e
由傅立叶级数推演出傅立叶变换，而进一步借助奇异函数，
可以求得周期信号的傅立叶变换

a 2T21TT1
T
1
fakkt
T

8T T 14T1 1
-T -T/2 –T1 0 T1 T/2
T k tk
ak

2T1 T
sin
－－8 4
c k0T1
0 04
8
Tak 2T1 sin c T1 k0
F j F j f t f t
F j F j
当 f t f t F j f t e j tdt F j f t e j tdt 令 t F j f e j d
2
0
t
1 sgnt F 1 1 / 2 F
2
j
ut F 1
j
X j
2
x t e j0t F 2 0
0

t t0
F



t t0
e j t dt e j t0
从数学上看，当 T1 时，谱线高度虽很小，但其相对大
小存在，仍有意义
从物理上看，各频谱分量仍然存在，且相对大小有实际意义
由


f
t

F
n
n1
e jn1t

F
n1
1 T1
f T1 2
T1 2
t
e jn1t dt
演变
将
F n1 除以
F j
F j 0
0

0
0

f t
f t e j0t
f t
F j
F j 0
F j
e j0t
e j0t
例
f t
2
df t F jF j
dt
d
nf dt
t
n

F

j
n
F

j
F t 1 2 e j td 1
2
0

1F 2
'(t)
'(t) e j t d t d e j t

dt
t0
j
xt ut
u t
1
ut 1 sgnt1
声音变尖）
f(t) = 1 ←→ F(jω) = ?
jt 1
考虑 et u(t) 1
j 1 所以 1 2 e u()
jt 1
利用尺度变换因子a = -1,
1 2 e ( )
jt 1
若F f t F
考虑
f t
xt x1t x2 t
1 xt
x1
t
F
2

2s

in
x2
t
F
2s
in2
xt F 4sin 2sin2

-2 -1 0
1
2 x1t
12 t
1 x2t
-1 0 1 t -2
0
2t
F j F j e jF j F j F j e jF j
明德至诚 博学远志
信号与系统
第三章 傅里叶变换
钱慧
04
傅里叶变换
05 典型非周期信号的傅里叶变换
06 冲激和阶跃函数的傅里叶变换
07
傅里叶变换的基本性质
08
卷积特性
04
傅里叶变换
05 典型非周期信号的傅里叶变换
06 冲激和阶跃函数的傅里叶变换
07
傅里叶变换的基本性质
08
卷积特性
把非周期信号的情况作为周期信号的一种极限来处理，可

2T1 sincT1
F

j


1
0
W W
f t 1 W e j td
2 W
W
1 e j t
j2t W
e jW t e jW t
j 2t
1 F j
-W 0 W ω
f t sinWt W sincWt
( ) 1 1 j
j

Sa

2

2
j
2 2 2
04
傅里叶变换
05 典型非周期信号的傅里叶变换
06 冲激和阶跃函数的傅里叶变换
07
傅里叶变换的基本性质
08
卷积特性
f tFF j F jtF2 f
f t 1 F j e j td
傅里叶变换
05 典型非周期信号的傅里叶变换
06 冲激和阶跃函数的傅里叶变换
07
傅里叶变换的基本性质
08
卷积特性
f t t
F j t e j tdt 1
F j
1
t F 1
0

F j 2
2

0
a j
0
F j 1
a j
eat ut F 1
a j
F j 1
a2 2
F j arctg / a
1/ a F j
/ 2 F j
2a / 2
/4
a
a

/ 4
a
a

/ 2
f t eat a 0
-1 0 1 ω
x1t


sin
t
t
1 X 2 j
-11 -10 –9
0
9 10 11 ω
x2 t


2
sin
t
t
cos10t
1 t 0
sgnt



0
t 0

lim
e atu
t
s gnt
1
a0
t
-1 t 0
1 lim e atut
2 2
if α=1, e |t| 2
1 2
∴
2 1 t2

2
e | |
1 1 t2

e | |
* if
t 2 2t 3 f (t)
F(jω) = ?
t 2 2t 2
xt F X j yt FY j axt byt FaX j bY j
F(jω)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。
f(t)称为F(jω)的傅里叶反变换或原函数。
F 一般为复函数，可以写作 F F e j
F 为频谱函数的模，代表信号中各频率分量的相对大小；
为 F 的相位函数，表示信号中各频率分量之间的相位关系
t T1 t T1
F j T1 e j tdt T1 1 e j t T1 j T1
e j T1 e j T1
j
f t
1
–T1 0 T1 t
F j
2T 1
/T 1
/T 1
0

F j 2sin T1
④ 傅立叶变换存在的条件： 什么样的 f t 可以取 F
f t dt
04
傅里叶变换
05 典型非周期信号的傅里叶变换
06 冲激和阶跃函数的傅里叶变换
07
傅里叶变换的基本性质
08
卷积特性
因此得到傅立叶变换对
f t eatu t a 0

F j eatu t e j t dt ea j 正t d变t换 1 ea j t
sgnt lim eatut eatu t
a0
a0
Fsgnt lim F eatu t eatu t a0
lim 1 1
a0 j a j a
sgnt F 2
j
04


1
2
F
e jt
0 1

F

e jt d
2
于是，
F(
j )

lim
T
FnT

f (t) e j t d t

f (t) 1 F ( j) e j t d
2
傅里叶变换式“-” 傅里叶反变换式
0
e j0t
1. F 变换对
F ( j ) f (t)e j t d t
t
ω
域
域
f
(t)

1
2


F ( j )e j
t
dt
2. 常用函数 F 变换对：
δ(t) 1 ε(t)
e -t ε(t) gτ(t)
sgn (t)
e –|t|
1
2πδ(ω)
① f t 反映信号的时域特征， F 反映信号的频域特征， F 变换的本质
② 非周期信号同周期信号类似，可以分解为不同的频率分量；所不同的是， 周期信号的频谱为离散线谱，非周期信号的频谱为连续谱，以密度函数表示
③ 具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中，具有连续频谱的信 号，其能量分布在所有频率之中，每一个频率分量的能量->0
1 2
F n1
1
定义为频谱密度（Spectrum Density）
F n1 1 f T1 2 t e jn1t dt
1
2 T1 2
令 n1 n1 1

f
t


F
n
n1
1
1
e jn1t n1
f t f t F j F j
ea t eatut eatu t
ea t 2Ev eatu t
eat2
Re

a
1
j


2a
a2 2
3/ 2
1
f (t t0 ) e j t0 F ( )
0 1 2 34
t
j 3
eF 2
Sae2j
32
j
Xe( )
5
2Sea
j232
Sa
e
j
2
7
2Sa


2

f tFF j f t e j0t FF j 0
j 2
j 2

4 sin2
2

t

f d F F 0 1 F j