(部编版)2020学年高中数学第一章计数原理习题课优化练习新人教A版选修

1.2 排列与组合（习题课）
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A ．30种
B ．35种
C ．42种
D ．48种
解析：分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 1
3×C 2
4＋C 2
3×C 1
4＝30种选法． 答案：A
2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( ) A ．480 B ．240 C ．120
D ．96
解析：先把5本书中的两本捆起来，再分成4份即可，∴分法种数为C 25A 4
4＝240. 答案：B
3．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 ( ) A ．C 28A 2
3 B ．C 28A 6
6 C ．C 28A 26
D ．C 28A 2
5
解析：从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C 28A 2
6，故选C. 答案：C
4．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( ) A ．C 1214C 4
12C 4
8 B ．C 1214A 412A 4
8 C.C 1214C 4
12C 48A 3
3
D ．C 1214C 4
12C 48A 3
3
解析：首先从14人中选出12人共C 1214
种，然后将12人平均分为3组共C 4
12·C 4
8·C 4
4A 33种，然后这两步相乘，得C 12
14·C 4
12·C 4
8
A 3
3.将三组分配下去共C 12
14·C 4
12·C 4
8种．故选A. 答案：A
5．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女一定不是O 型，若某人的血型为O 型，则父母血型所有可能情况有________种． 解析：父母应为A 或B 或O ，C 1
3·C 1
3＝9(种)． 答案：9
6．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．
解析：不同的获奖情况可分为以下两类：
(1)有一个人获得两张有奖奖券，另外还有一个人获得一张有奖奖券，有C 23A 2
4＝36种获奖情况． (2)有三个人各获得一张有奖奖券，有A 3
4＝24种获奖情况． 故不同的获奖情况有36＋24＝60种． 答案：60
7．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．
解析：两老一新时，有C 1
3×C 12A 2
2＝12种排法；两新一老时，有C 1
2×C 23A 3
3＝36种排法，故共有48种排法． 答案：48
8．将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答) 解析：按C 的位置分类计算．
①当C 在第一或第六位时，有A 5
5＝120(种)排法； ②当C 在第二或第五位时，有A 24A 33＝72(种)排法； ③当C 在第三或第四位时，有A 22A 3
3＋A 23A 3
3＝48(种)排法． 所以共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法． 答案：480
9．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？
解析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有C 14C 13C 2
2A 22种，然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，共有C 14C 13C 2
2A 22·A 4
4＝144种放
法．
10．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3, 4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？ 解析：分三类：
第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C 1
2·C 1
2·C 1
2·C 1
2·A 4
4种． 第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C 2
2·C 2
2·A 4
4种． 第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C 2
2·C 2
2·A 4
4种. 故满足题意的所有不同的排法种数共有C 1
2·C 1
2·C 1
2·C 1
2·A 4
4＋2C 2
2·C 2
2·A 44＝432.
[B 组 能力提升]
1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，则所有线段在圆内的交点有( ) A ．36个 B ．72个 C ．63个
D ．126个
解析：此题可归为圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C 4
9＝126(个)． 答案：D
2．将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法有 ( )
A ．18种
B ．24种
C ．30种
D ．36种
解析：将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有C 24A 3
3＝36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A 3
3＝6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6＝30种． 答案：C
3．直角坐标系xOy 平面上，平行于x 轴和平行于y 轴的直线各有6条，则由这12条直线组成的图形中，矩形共有________个．
解析：从6条水平直线和6条竖直直线中各取2条，每一种取法对应一个矩形，因此矩形共有C 26C 2
6＝225个． 答案：225
4．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)________种．
解析：分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局、输1局，第4局赢)，共有2C 2
3＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局、输2局，第5局赢)，共有2C 2
4＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种． 答案：20
5．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)
(1)图中有多少个矩形？
(2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种？
解析：(1)在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成的矩形有C 2
7·C 2
5＝210个．
(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C 6
10＝C 4
10＝210种走法．
6．若对任意的x ∈A ，则1
x ∈A ，就称A 是“具有伙伴关系”的集合．求集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所
有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数．
解析：具有伙伴关系的元素组成－1；1； 12，2；1
3，3；共4组，所以集合M 的所有非空子集中，具有伙伴关系的
非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为C 1
4＋C 2
4＋C 3
4＋C 4
4＝15.。