九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理 第1课时 垂径定理同步练习 (新版)浙教版

第3章 圆的基本性质
3.3 垂径定理 第1课时 垂径定理
知识点1 圆的轴对称性 1．圆的对称轴有( ) A ．1条 B ．2条 C ．4条 D ．无数条
2．下列说法中，正确的是( ) A ．直径是圆的对称轴
B ．经过圆心的直线是圆的对称轴
C ．与圆相交的直线是圆的对称轴
D ．与半径垂直的直线是圆的对称轴 知识点2 垂径定理
3．如图3－3－1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则CE ＝________，AC ︵
＝________，BC ︵
＝________，△OCE ≌________.
3－3－1
3－3－2
4．如图3－3－2，在半径为5 cm 的⊙O 中，弦AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC 的长为( )
A ．3 cm
B ．4 cm
C．5 cm D．6 cm
5．如图3－3－3，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
3－3－3
3－3－4
6．如图3－3－4，若⊙O的半径为13 cm，P是弦AB上的一个动点，且到圆心的最短距
离为5 cm，则弦AB的长为________cm.
7．如图3－3－5，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8 cm，DC＝2 cm，则OC ＝________cm.
图3－3－5
8．如图3－3－6，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE＝OF.求证：AB＝CD.
图3－3－6
知识点3 垂径定理在实际生活中的应用
9．课本例2变式在半径为500 mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图3－3－7所示．若圆心O到水面AB的距离OC＝300 mm，则油面宽AB＝________mm.
3－3－7
3－3－8
10．课本作业题第5题变式如图3－3－8，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m，其中水面的宽AB为0.8 m，则排水管内水的深度为________m.
11．如图3－3－9，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．非菱形的平行四边形
3－3－9
图3－3－10
12．如图3－3－10所示，AB，AC为⊙O中互相垂直的两条弦，且AB＝AC，OM⊥AB，ON ⊥AC，垂足分别为M，N，OM＝3，则⊙O的半径为( )
A．3 2 B．2 3 C．3 3 D．2 2
图3－3－11
13．2017·杭州模拟如图3－3－11，AB是⊙O的弦，C是AB上一点，∠AOC＝90°，OA ＝8，OC＝6，则AB＝________．
14．2016·杭州大江东期中在直径为20的⊙O中，弦AB，CD相互平行．若AB＝16，CD ＝10，则弦AB，CD之间的距离是________．
15．如图3－3－12，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
图3－3－12
16．如图3－3－13是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦
CD 是水位线，CD ∥AB ，且AB ＝26 m ，OE ⊥CD 于点E .水位正常时测得OE ∶CD ＝5∶24.
(1)求CD 的长；
(2)现汛期来临，水面要以每小时4 m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
图3－3－13
17．如图3－3－14，在半径为5的扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，C 是AB ︵
上的一个动点(不与点A ，B 重合)，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E .
(1)当BC ＝6时，求线段OD 的长．
(2)在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
图3－3－14
详解详析
1．D 2.B
3．DE AD ︵ BD ︵
△ODE 4．B [解析] 如图，连结OA .
∵AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ， ∴AC ＝12AB ＝1
2×6＝3(cm)．
∵⊙O 的半径为5 cm ，
∴OC ＝OA 2
－AC 2
＝52
－32
＝4(cm)． 故选B.
5．D [解析] ∵CE ＝2，DE ＝8，∴CD ＝2＋8＝10，∴⊙O 的半径为5，∴OE ＝OC －CE ＝5－2＝3.∵CD ⊥AB ，∴AE ＝BE ，∠OEB ＝90°.在Rt △OEB 中，OB ＝5，OE ＝3，根据勾股定理，得BE ＝52
－32＝16＝4，∴AB ＝4＋4＝8.故选D.
6．24
7．5 [解析] 连结OA ，因为半径OC ⊥AB 于点D ，所以AD ＝12AB ＝1
2×8＝4(cm)．设⊙O
的半径为x cm ，在Rt △OAD 中，OA 2
＝OD 2
＋AD 2
，即x 2
＝(x －2)2
＋42
，解得x ＝5，所以OC ＝5 cm.
8．证明：∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ， ∴AE ＝BE ，CF ＝DF .
在Rt △OBE 与Rt △ODF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧OB ＝OD ，OE ＝OF ，
∴Rt △OBE ≌Rt △ODF ，
∴BE ＝DF ，∴2BE ＝2DF ，即AB ＝CD . 9．800
10．0.8 [解析] 如图，过点O 作OC ⊥AB ，C 为垂足，直线OC 交⊙O 于点D ，E ，连结
OA ，则OA ＝0.5 m.
∵OC ⊥AB ，
∴AC ＝BC ＝1
2AB ＝0.4 m.
在Rt △AOC 中，OA 2
＝AC 2
＋OC 2
， ∴OC ＝0.3 m ，
∴CE ＝0.3＋0.5＝0.8(m)． 即排水管内水的深度为0.8 m.
11C [解析] 由垂径定理知，OC 垂直平分AB ，即OC 与AB 互相垂直平分，所以四边形
OACB 是菱形．
12．A [解析] 要求圆的半径，连结OA ，构造直角三角形OMA ，已知OM ＝3，故只需求出AM 的长即可．由题意可得四边形OMAN 为正方形，故AM ＝OM ＝3，所以OA ＝3 2.
13．12.8 [解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB ，可得AD ＝BD . 在Rt △AOC 中，OA ＝8，
OC ＝6，
根据勾股定理得AC ＝10.
∵S △AOC ＝12OA •OC ＝1
2AC •OD ，
∴OD ＝4.8.
在Rt △AOD 中，根据勾股定理，得
AD ＝OA 2－OD 2＝6.4，
则AB ＝2AD ＝12.8.
14．[全品导学号：70392103]5 3±6
[解析] 过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交CD 于点F ，连结OA ，OC ，如图， ∵AB ∥CD ， ∴OF ⊥CD ，
∴AE ＝BE ＝12AB ＝8，CF ＝DF ＝1
2CD ＝5.
在Rt △AOE 中，OE ＝102
－82
＝6. 在Rt △OCF 中，OF ＝102
－52
＝5 3.
当点O 在AB 和CD 之间时，EF ＝OE ＋OF ＝5 3＋6； 当点O 在AB ，CD 同一侧时，EF ＝OF －OE ＝5 3－6. ∴弦AB ，CD 之间的距离为5 3±6.
15．解：(1)证明：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE ＝DE ，AE ＝BE ， ∴AE －CE ＝BE －DE ， 即AC ＝BD .
(2)如图，连结OC ，OA . 由(1)可知，OE ⊥AB 且OE ⊥CD ， ∴CE ＝OC 2
－OE 2
＝82
－62
＝2 7，
AE ＝OA 2－OE 2＝102－62＝8，
∴AC ＝AE －CE ＝8－2 7. 16．解：(1)如图，连结OD ， ∵直径AB ＝26 m ，
∴OD ＝12AB ＝1
2×26＝13(m)．
∵OE ⊥CD ，∴DE ＝12
CD .
∵OE ∶CD ＝5∶24，∴OE ∶DE ＝5∶12， 设OE ＝5x ，DE ＝12x ，
∵在Rt △ODE 中，OE 2
＋DE 2
＝OD 2
， ∴(5x )2
＋(12x )2
＝132， 解得x ＝1，
∴CD ＝2DE ＝2×12×1＝24(m)．
(2)由(1)得OE ＝1×5＝5(m)． 如图，延长OE 交⊙O 于点F ， 则EF ＝OF －OE ＝13－5＝8(m)． ∵8
4
＝2(时)， ∴经过2小时桥洞会刚刚被灌满．
17．[全品导学号：70392107]解：(1)∵OD ⊥BC ，
∴BD ＝12BC ＝12
×6＝3. ∵∠BDO ＝90°，OB ＝5，BD ＝3，
∴OD ＝OB 2－BD 2
＝4，
即线段OD 的长为4.
(2)存在，DE 的长保持不变．如图，连结AB .
∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5，
∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2.
∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，
∴D ，E 分别是线段BC ，AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ＝12AB ＝5 22
， ∴DE 的长保持不变，DE ＝5 22
.。