一元二次方程培优专题讲义

欢迎阅读
数学培优专题讲义：一元二次方程
一.知识的拓广延伸及相关史料
1． 一元二次方程几种解法之间的关系 解一元二次方程有下列几种常用方法: （1） 配方法:如2670x x ++=，经配方得
2(3)2x +=，再直接用开平方法；
（2） 公式法； （3） 因式分解法。

这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，
226x x +2． 步(算法》这个问题同样可以类似求解.
3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。

本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。

（1）转化思想
我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。

因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。

在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面：
① 未知转化为已知，这是解方程的基本
思路:
② 一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的:
③ 特殊转化为一般，一般转化为特殊。

例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程2670x x ++=归纳出用配方法解一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=的方法，进而得出一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。

又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。

;
,在,可
2242x x x
+--例2． 解方程组7
12
x y xy +=⎧⎨=⎩
4． 配方法的妙用
所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式。

配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用，是一种很重要、很基本的数学方法。

例1． 分解因式2
1203456x x -+ 例2．
例3． 解方程421510240x x x -++= 例4． 求2242415x y y x +--+的最小值 5． 怎样巧用韦达定理解“看错数”问题 小红和小明一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，因而得方程的两个根是8和2；小红在化简过程中写
9和－6x 2ax
1,2x x 例（1）2x （3）2 1（1（2根，求（3） 若方程2
3520x x --=有一个根是a ,则
2610a a -的值是多少?
（4） 已知方程
2(0)ax bx c a ++≠的一个根是1，那么a b c ++的值是多少?
2. 解方程
（1）222(3)3(3)2y y y y -=-- (2) 22(1)(2)4t t t t +-++=
3．已知m 、n 是二次方程2199970x x ++=的两
个根，求22
(19996)(20008)m m n n ++++的值。

4．已知关于x 方程2(2)2(1)(1)0a x a a ---++=，
a 为何非负整数时，(1)方程只有一个实数根?（2）方程有两个相等的实数根？(3)方程有两个不相等的实数根?
5. 在实数范围内分解因式:
（1）2243x x --+ （2）2441x x -- 6. 对于向上抛的物体,在没有空气阻力的条件下,有这样的关系 : 212
h vt gt =-,其中h 是上升
高度, v 是初速, g 是重力加速度(为方便起见,本题目2g 取10m/s ),t 抛出后所经历的时间,如果将一物体以25/v m s =的初速度向上抛,物体何,销售元的价元的价0的两根请根据以0)≠,求出50-=,求求正数c 的方程2(3)10x m x m ++++=
⑴求证:无论m 为何值时,原方程总有两个不相等的实数根.
⑵若1,2x x 是原方程的两根,且12x x -=,求
m 的值和此时方程的两根. 三、数学思考
小明有5张人民币，面值合计20元。

(1)小明的5张人民币的面值分别是_______元、________元、________元、_______元、
_______元。

(2)小明到水果店，称了x千克苹果(x是整数)，按标价应付y元，正好等于小明那5张人
民币中的两张面值之和，这时果筐里还剩下6千克苹果，店主便对小明说:“如果你把剩下的也都买去，那么连同刚才你称的，一共就付款10元吧。

”小明一算，这样相当于每千克比标价减少了0.5元,本着互利的原则,小明便答应了,试
求x和y.。