市场预测之时间数列预测法

第八章 时间数列预测法(I)
第一节 朴素模型预测
所谓朴素模型指的是比较简单的模型，所用预测方法比较简单，有的模型用的就是直观预测法。

这里介绍七种朴素模型预测法。

一、观察值预测
此法是用直观的方法，把最近期的观察值作为下一期的预测值使用，即假定下期值仍等于本期值，没有增减变动。

用公式表示：
t t X X =+1ˆ
在没有明显升降变动趋势的时间数列中，这种预测可提供一个粗略的估计数字。

二、固定平均数预测
这种预测是把研究时期的全部观察值都考虑在内，求出一个总平均数，以作为下一期的预测值。

其公式：
t x
t X x x x X t k
t ∑=++++=+ 321ˆ k =1,2,3,……=向前预测时期数
随着新的观察值不断增加，t 值不断加大，平均的项数也越来越多，此法也只用于没有明显增减变动趋势的资料，即结构长期稳定，它比只简单地用一个最近期观察值作预测值使用要可靠些。

试举例说明此法及前法。

现有我国1971年至1990年历年棉花播种面积资料如下：
按观察值法预测，1990年的8382万亩即可作为1991年的预测值。

用固定平均数法预测，则1991年及以后各年预测值为55.775720151.155=÷万亩。

待有了1991年实际资料以后，再求全时期21年的总平均数，作为1992年及以后各年的预测值。

以后各年份预测值，如此类推。

三、移动平均数预测
统计学中的移动平均数可直接作为预测值使用。

移动平均数也可有简单平均与加权平均之别，在加权平均中可规定适当的权数，最简单的权数是用1、2、3等自然整数加权。

加权的作用是加重近期观察值在平均数中的影响。

简单移动平均预测公式是：
n X X X X ˆ1n t 1t 11
t +--+++=
式中n 为移动平均所取项数。

设n=5，加权移动平均预测公式可写成：
15X X 2X 3X 4X 5X ˆ4t 3t 2t 1t 11
t ----+++++=
移动平均是局部平均，有别于固定平均数的整体平均，反映的是短期的平均水平，作为预测值使用。

此法适用于一个长期稳定、但短期有波动的资料。

上面举的棉花播种面积的例子，也可用移动平均法预测，现分别用简单移动平均法及加权移动平均法，按最后5年资料计算如下： 简单移动平均预测：
7643
58382
7805830272666459=++++万亩
加权移动平均预测：
7935
15)
8382(5)7805(4)8302(3)7266(26459=++++万亩 四、增减量预测
在一个时间数列中，可用本期与前期观察值的增减量调整本期观察值作为下期的预测值，其公式是：
1t t 1t t t 1t X X 2)X X (X X ˆ--+-=-+=
五、平均增减量预测
这种预测的假定是：下期与本期指标值的增减变动，与本期和前期的增减变动相同。

用一个时间数列全时期平均增减量作为下期的增减量，比只使用本期一期增减量要具有较好的效果，其预测公式是：
1n X X X 1n )X X (X X ˆ1t t 1t t t 1t --+=--+=∑-+
试用我国1971—1990年发电总量资料说明以上两法（见表8—2）。

增减量预测：
1991年发电量预测=6232+412=6644亿千瓦时
或：2（6232—5820）=6644亿千瓦时 平均增减量预测：
1991年发电量预测=6232+194848
=6487亿千瓦时
或：6232+ 191384
6232-=6487亿千瓦时
六、增减速度预测
增减速度预测是用本期比前期的增长速度调整本期数值，作为下期的预测值，其公式是：
)X X (X )X X X 1(X X ˆ1t t t
1t 1t t t 1t ---+=-+=
这里的假定是：下期与本期指标值相比的发展速度，等于本期比前期的发展速度。

七、平均发展速度预测
用一个时间数列全时期的平均发展速度作为下期的发展速度，比只用本期一个环比发展速度预测，可取得较好的结果。

其预测公式是：
b X X ˆt 1t =+
式中的b 是水平法平均发展速度。

现有我国1978——1990年发电总量资料说明以上两法（见表8—3）。

增减速度预测：
1991年发电总量预测= )
58205820
62321(6232-+
=6674亿千瓦时
或6232×=6674亿千瓦时 平均速度预测：
1991年发电总量预测=
007.16232)25666232
(623212
⨯==6712亿千瓦时
第二节 指数平滑法
上节介绍的各种平均法在预测时都要求具备较多的数据，在具体计算时计算量比较大，那么有没有简便的方法，既不需存储很多数据，计算量也不太大呢？回答是肯定的。

1959年美国学者布朗在《库存管理的统计预测》一书中，提出了指数平滑法。

这种方法就具备这双重优点。

下面介绍这种方法的有关内容。

指数平滑法也称指数移动平均法或指数修匀法，它是移动平均法的发展，
实际上是一种特殊的加权移动平均法，它分为一次指数平滑法和多次指数平滑法。

一、常规指数平滑预测法
常规指数平滑预测法是使用一次指数平滑值用来预测的方法，所以可称作一次指数平滑法，它是对第t 期的预测值和观测值，用平滑系数加权，算出第t 期的平滑值，并以此平滑值作为下期预测值的一种预测方法。

（一）基本公式
常规指数平滑预测法的计算公式为：
)1()1()1()1()1(1
ˆ)1(ˆt
t
t
t X X S X
αα-+==+
其中，)1(t S 为第t 期一次指数平滑值；t X 为第t 期观测值（实际值）；)1(ˆt X 为
第t 期常规指数平滑预测值； )1(α为一次指数平滑系数（10)1(≤≤α）；)1(1ˆ+t X 为第t+1期常规指数平滑预测值。

所以只要说明一次指数平滑值是移动平均数的改进形式，就可以说明指数平滑预测法是移动平均预测法的发展，下面说明这一点。

简单移动平均法的公式：
)1(21)1(1ˆt
n
t t t t X n X X X X =+++=----
因为 )1(1)1(ˆ-=t t
X X 所以 n X X X ˆX X ˆn t t )1(t
)1(t )1(1t -+-+==
可写成 n X X X X ˆn t t
)1(1t )1(1t --+-+=
由于)
1(1t X -可近似代表n t X -（在没有储存历史资料情况下，远期的n t X -值不知，)
1(1-t X 是其最佳后估计值），所以上式可写为: n X X X X X t t t t t )
1(1)1(1)1()1(1
ˆ--+-+==
)1(1
t t X )n 11(X n 1--+=
令
n 1)1(=
α则有： )
1(1)1()1()1()1(1)1(ˆ-+-+==t t t t X a X X X α 因为t-1期的移动平均值是作为第t 期的预测值的，所以上式就可写成： )1()1()1()1()1(1ˆ)1(ˆt t t t X a X X X -+==+α
当把)1(t X 用一次指数平滑值)
1(t S 代替的，上式就成为：
)1()1()1()1()1(1ˆ)1(ˆt t t t X X S X αα-+==+
这个式子也就是常规指数平滑预测法的公式，从这里可以看出常规指数平滑预测法确实是移动平均预测法的改进公式。

接下来把它展开，看看这种特殊的移动平均预测法——常规指数平滑预测法的权数特征。

因为
)1()1()1()1()1(1ˆ)1(ˆt t t t S X X X =-+=+αα )1(1
)1(1
)1(1
)1()1(ˆ)1(ˆ---=-+=t t t t
S X X X
αα
)1(2
)1(2
)
1(2)
1()1(1
ˆ)1(ˆ----=-+=t t t t S X X X
αα
将 )1(t X ˆ依次代入)1(1t X ˆ+的表达式，可得：
[]
))X ˆ)1(X ()(1(X )1(X X ˆ)1(1)1(1)1()1(1t )1()1(t )1()1(1t α-+αα-+αα-+α=-+
)1(1
)1(11)1()1(22)1()1(1)1()1()1(ˆ)1()1()1()1(X X X X X t t t t t αααααααα-+-++-+-+=--- 因为10)
1(≤≤α，所以110)1(≤-≤α
这样当t 值很大时，)1()1(ˆ)1(t t X α-对)
1(1t X ˆ+的影响就地很小，从而可以省略。

这时上式可写成：
11)1()1(1
)1()1()1()1(1
)1()1(ˆX X X X
t t t
t --+-++-+=ααααα
因为10)1(≤≤α, 110)
1(≤-≤α
所以 )1(,)
1()1()1(αα-a 依次递减。

设其总和为S ，则当t 很能大时（∞→t ），
就有：
1)1()1()1()1()1()1()1(--++-+=t S ααααα
[][]
)1(1)1(1)
1()1()1(ααα----=t =1
从以上的推导我们可以看出，用指数平滑法求得的实际上是以整历史期（t ）
为平均期的加权移动平均数。

其权数
)1(,)1()1()1(ααα-是一个等数比例，是一种指数形式的权数，指数平滑法的名称即由此而来。

综上所述，指数平滑法与移动平均法其实并无本质区别，它只是用一种特殊的指数形式的权数来加权所有数据的移动平均法。

这样一来，不但满足了给近期观测值以较大权数、远期观测值以较小权数的要求，而且还克服了移动平均法完全不考虑平均期以前数据的缺点，而只需具备某期的实际值、预测值及
由预测者确定的合适α值3个数据即可，大大减少了计算量，所以说，它虽然是一种特殊形式的移动平均法，但由于本身具备的优良特性，使其成为一种改进的相对独立的移动平均法。

下面进一步分析它的基本公式： )ˆ(ˆˆ)1(ˆ)1()1()1()1()1()1()1()1(1t t t t t t t X X X X X S X -+=-+==+ααα
因为)X ˆX ()1(t t -是常规指数平滑预测法第t 期的预测误差，所以可看出常规
指数平滑预测法第t+1期的预测值实际上是由两部分组成：第一部分是第t 期的
预测值 ，第二部分是用)1(α调整的预测误差，)
1(α越接近于1，则下期的预测值中就包含对前次预测中发生的误差作越大的调整，当)
1(α
越接近于0时，则下期
预测值中对前期预测误差就越少作调整，若)
1(α=0那么本期预测值就会成为下期
预测值。

所以)
1(α的值确定不同，预测结果就会不同。

对于)
1(α，还可以换个角度来看看它其中包含的意义。

即回过头来看一下上
面讨论过的)1(1t X ˆ+展开形式，则会发现，各项的和具有如下特征：)
1(α越大，则赋
予近期实际值的权重越大，近期实际值对预测结果的影响越大；)
1(α越小，则赋
予近期实际值的权重越小，近期实际值对预测结果的影响越小，而远期实际值的影响却相应变大。

这一性质通过后面的例子就可以证明，这里不进行数学推导。

（二）一次指数平滑法的应用
在这一部分首先讨论初始预测值和平滑系数的确定，然后给出一次指数平滑法的一般步骤，最后以一个例子做具体说明。

1. 初始预测值的确定
初始预测值是指整个指数平滑期最初那一期的预测值（)1(1ˆX ）。

它不能从基
本公式求得。

即由于
)1()1()1()1(ˆ)1(t t t X X S αα-+= 所以，当t=1时，有
)1(1)1(1)1()1(1ˆ)1(X X S αα-+=
要想求)1(1S 作为)1(2ˆX 的话,必须先求出)1(0)1(1
ˆS X =，而 )1(0)1(0)1()1(0ˆ)1(X a X S -+=α
上述公式中的0X 和)1(0X ˆ是未知，若这样下去，必然用尽所有数据也算不出
)1(0S ，所以采用其它方法得到)1(0S 即)1(1X ˆ.
下面分两种情况介绍估计)
1(1X ˆ的方法。

第一种：如果在平滑开始时，预测者有过去的数据，则可用这些数据或其
中部分数据的算术平均数做)1(1X ˆ。

第二种：若没有上述的数据可用来估计)
1(1X ˆ时，可采用专家评估法进行估计。

评估时可参照下述原则：
A ．若样本容量50t ≥时，由于初始预测值对预测结果影响很小（从)1(1t X ˆ+的
展开式可以看到)1(1X ˆ的权数为t )1()1(α-，t 很大时，t )1()1(α-很小，所以对预测结果影响不大），所以，可直接选第一期的观测值为初始预测值。

B 当50t 30≤≤时，由于初始预测值的影响不再很小，所以需另行估计，比
较简单的方法是选第一期观测值或最初几期的观测值的平均数作初始预测值。

C．当t<30时，初始预测值对预测结果会有较大影响，不过仍可简便地以最初几期的观测值的平均数作为初始预测值。

2. 平滑系数)1(α的确定
α的确是直接影响预测结果的关键。

布朗认为)1(α在范围内，是平滑系数)1(
可以接受的值域，在许多著作中也不加论证地引用了这一观点，然而在现有的
α=得到的结果最好。

前著作中，甚至在预测布朗用于举例说明的数列时，取)1(
α值都可得到最好的预测精度。

那苏联的卢卡颀在从事经济预测时，采用任意)1(
α的确定是否有章可循呢？回答是肯定的。

么究竟)1(
α值的二种方法。

下面介绍确定)1(
第一种：经验判断法。

α的确定常常还是依靠经验，根据具体情况加以选择，现给出在实际中，)1(
几条原则以供参考：
A 如对初始预测值的正确性有疑问时，应取较大的)1(α值，以便加大近期数据权数，减少初始预测值的影响；反之，则相反。

B 当时间序列呈现较稳定的水平趋势时，应选较小的)1(α值。

一般可在之间取值，从而使各期观测值对预测结结果有相似的影响。

C 当时间序列有波动，但长期趋势变化不大时，可选稍大的)1(α值，如在之单间取值。

D 当时间序列波动很大，长期趋势变化幅度较大时，宜选较大)1(α值，可在间选值。

E 当时间序列变化很大，呈忽然上升或忽然下降趋势时，)1(α的取值越小越
α应取较大的值，好，以修匀波动。

若时间序列具有明显上升或下降趋势时，则)1(
一般取值大到第二种：试算法。

试算法是根据具体时间序列情况，参照上面几条原则，由经验判断来大致
α值进行试算，选取MAE最小的)1(α。

决定的取值范围，然后取几个)1(
α的值选取的较大，虽然给近期观测值以较大的重视，需要说明的是：若)1(
比较符合实际情况，但同时近期观测值中的随机波动也较大地影响预测结果使预测精度不高。

在此，我们还要说，预测灵敏度和预测精度是互相矛盾的，必
α。

须都给予二者一定的考虑，采用折衷的)1(
3. 常规指数平滑预测法的步骤
下面简单介绍指数平滑法的使用步骤：①选取平滑系数，方法同上；②确定初始预测值，方法同上；③计算各期的一次指数平滑值；④进行预测；⑤误差分析并对预测结果进行调整。

举例说明一次指数平滑法的具体使用方法。

见表8-4
百度文库- 好好学习，天天向上
-9
百度文库 - 好好学习，天天向上
解：由于数列具有上升趋势，所以应选取较大的)
1(a 值，以增强灵敏度，现选取)
1(α=,,三个值进行试算。

由于样本容量较小，所以选取最初3期观测值的平均值作初始预测值，即
10330311033112187453ˆ198919881987)1(1
=++=++=X X X X 吨
当10330ˆ,5.0)
1(1)1(==X α吨时:
)1(1
)1(1988
)1()1(1989
ˆ)1(ˆX X X
αα-+⨯=
吨10771
10330
5.0112115.0=⨯+⨯=
)1(19891989)1(1990ˆ5.05.0ˆX X X ⨯+⨯=
吨1090210771
5.0110335.0=⨯+⨯=
)1(19951995)1(1996ˆ5.05.0ˆX X X ⨯+⨯=
)(16031吨=
类似地可算出)
1(α=,时，各年度的预测值，结果见表8-4 进而求出平均绝对误差，结果见表8-4。

从中不难看出)
1(α取 时，平均绝对误差最小（注意它不一定是最佳平滑系
数）。

所以下面取9.0)
1(=α
进行一次指数平滑预测。

从表中数据可看出预测结果
仍然滞后，所以用下式进行调整：
0861
.181
==∑i e e 19146182730861.1ˆ)1(1996=⨯=X 吨
注意：一次指数平滑法也只能用于下期预测。

二、常规指数平滑预测法的优缺点
作为直接用于动态外推预测的指数平滑法，其主要优点是：
（1）需要储存的数据被精简到最小限度，即只储存上期对本期的预测值一个数就够了，以前各期的观察值都可不用。

（2）在不断延伸的固定平均数中，对各历史时期的观察值进行了合理的加权，对近期值比对远期值给以较大的权数是符合外推预测的要求的。

（3）通过对平滑系数α的控制，可适当控制预测结果的准确性。

常规指数平滑预测法的主要缺点是：
（1）只局限于一个时间序列本身的外推预测，而没有考虑到影响该数列变动的其它因素。

其实，这个缺点是所有时间数列外推预测所共有的，只有在回归预测中才能克服。

（2）只适宜作逐期预测，不能作远期预测。

因为递推只能一期一期地进行，不能跳越。

当然，如果把指数平滑法与其他方法结合运用（后面将要介绍），也可以作远期预测。

（3）没有充分考虑到存在于时间数列中的长期趋势和季节变动，需要调整计算。

（4）与移动平均法相似，常造成预测值落后于观察值的现象。

t+1期的预测
值1ˆ
+t X 是用t 期及以前各期观察值的平均数计算的，它没有考虑到t+1期的实际情况。

严格的说，它不过是t 期的调整预测值。

用以代替t+1期的真实预测值而已，这就是其落后的根源。

（5）要使用指数平滑法进行预测，必须预先解决好两个问题：平滑系数α的
取值和初始值1ˆ
X 的确定。

这两上问题不易妥善解决，特别是α问题。

在原数列波动不大时；α可取小值（如）,以加重旧预测值的权数；反之，如果原数列波动较大，则α宜取大值，以加重新观察值的权数。

在不能做出很好的判断时，可
分别用几个不同的α值加以计算比较，取其预测误差小者用之。

α值如选择不当，就有可能造成过分加重近期观察值，影响预测结果。

关于初始值问题，如资料总项数n 大于30，经过长期平滑链的推算，初始值的影响变得很小了，为了简便
起见，可用第一期水平1X 作为初始值，即11ˆ
X X =。

但是，如果n 小到30以下，则初始值的影响较大，可利用研究时期以前一段时间的资料，用适当的方法求其平均数作为初始值。

这样，就必须掌握更多的资料。

常规指数平滑预测法的缺点有些可以通过与其他预测方法结合使用而加以克服。

因此，它仍不失为一种有效的预测方法。

三、常规指数平滑法的修正——高次指数平滑预测法 （一）二次指数平滑预测法
二次指数平滑预测法适用于呈线性增长的时间序列，对应于高次指数平滑预
测法，前面介绍的常规指数平滑预测法可称为常规一次指数平滑法。

令)1(t S 为一次指数平滑值，即：
)1(1)1()1(--+=t t t S Y S αα
对)1(t S 再作指数平滑，得二次指数平滑值，用)
2(t S 表示：
)
2(1)1()2()1(--+=t t t S S S αα 所谓二次指数平滑预测法的公式是：
k b Y t t k t +=+αˆ 其中：
)2()1(2t t t S S -=α
αα
-=
1t b )S S ()
2(t )1(t -
模型k b a y t t k t +=+ˆ式的意义是，发展以线性变化增长，每期增长量用b t
描述，所以可以用当前期的平滑估计值t α加上k 个线性增量b t
作为向前预测第k
期的预测值。

因为：
][2)2()1()1()2()1(t t t t t t S S S S S -+=-=α
而当一次指数平滑值)1(t S 对原来序列值Yt 有滞后差时，二次指数平滑值)2(t
S 对一次指数平滑值)
1(t S 同样会产生滞后差。

可以认为这两个滞后的幅度相当，这样t α就表示一次指数平滑值)1(t S 加上滞后差[
)
2(t )1(t S S -]作为当前期的估计值。

又因为：
)1()1()2(αα-+=t t S S )
2(1t S -
对上式左右移项，并在右边加一项减一项，得：
)2()2()2()
1()2(1)1(t t t t
t S S S S S αααα-+-=--- )
2()2()1()1(][t t t S S S αα---=
移项归并：][])[1()
2()1()2(1)2(t t t t S S S S -=---αα
所以相隔一期的增长量为：
][1)2()1()
2(1)2(t t t t t S S S S b --=
-=-αα
由于经过了二次指数平滑，用二次指数平滑值的逐期增长量来定义b t 就可经
减轻随机波动对b t 的影响。

（例）某商场有一种商品的25期销售量资料，见表8—5第2栏表所示，现用二次指数平滑法预测。

取平滑系数α=，初始值取最前三期的平均数：
67
.1393143
139137S S )2(1)1(1=++=
=则有：
67.139S )
1(1=
47.13967.139)3.01(1393.0S )1(1=⨯-+⨯= 53.14047.139)3.01(1433.0S )1(1=⨯-+⨯=
89
.13961.139)3.01(53.1403.0S 61
.13967.139)3.01(47.1393.0S 67
.139S )2(3)2(2)2(1=⨯-+⨯==⨯-+⨯==
有关计算结果列于表8-5，表中最右一栏是一期预测值，二次指数平滑法可
跨期预测，本例若要预测第28期的销售量。

则以3k =代入252525ˆ
kb Y k +=+α得：
40.28730.7314.265Y ˆk 25=⨯+=+(万打)
（二）三次指数平滑预测法
三次指数平滑预测法适用于趋势变化为非线性增长的情况。

以)1(t S 、)
2(t S 和
)3(t S 分别表示一次、二次和三次指数平滑值，)1(t S 、)2(t S 的计算如前面公式，)3(t S 的
计算式是：
)1()2()3(αα-+=t t S S )
3(1t S -
三次指数平滑预测法的公式是：
2ˆk c k b a Y t t t k t ++=+
α
其中k=1，2，……，是向前预测的期数；a t 、b t 、c t 、参数，计算式是：
)
3(t )2(t )1(t t S S 3S 3a +-=
]
)34()45(2)56[()
1(2)3()2()1(2
t t t t S a S a S a a b -+----=
α
[]
)
3()2()
1(2
2
2)
1(2t t t t S S S
c +--=
αα
由t t t t X X S X ˆ)1(ˆ)1()1()1(1αα-+==+、k b a y t t k t +=+ˆ和2ˆk c k b a y t t t k t ++=+三
个公式可看出，常规指数平滑法是用一次指数平滑值来进行预测，而高次指数平滑法是用平滑值的滞后偏差的演变规律，建立数学模型进行预测。

它实际上是以当前期为起点的趋势预测法，只是趋势方程中的参数借助于指数平滑方法递推计算。

因此，高次指数平滑法具有克服常规指数平滑预测的滞后偏差的好处，又有趋势线预测法可跨期预测的优点，还吸收了平滑预测法对参数递推延续的长处。

但它的仍有指数平滑法固有的平滑系数和初始值难以确定的问题。