内蒙古锡林郭勒盟锡林浩特市第六中学2019_2020学年高一数学上学期第一次月考试题(含解析)

内蒙古锡林郭勒盟锡林浩特市第六中学2019-2020学年高一数学上
学期第一次月考试题（含解析）
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合2
{|}A x x x ==，{1,,2}B m =，若A B ⊆，则实数m 的值为（ ）
A. 2
B. 0
C. 0或2
D. 1
【答案】B 【解析】 【分析】
求得集合{0,1}A =，根据A B ⊆，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，集合2
{|}{0,1}A x x x ===，因为A B ⊆，所以0m =，故选B. 【点睛】本题主要考查了集合交集运算，其中解答中熟记集合的
包含关系的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 2.在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ） A. 21y x =+
B. 231y x =+
C. 2
y x
=
D.
221y x x =++
【答案】C 【解析】
【详解】A 选项在R 上是增函数；B 选项在(],0-∞ 是减函数，在[)0,+∞ 是增函数；C
选项在(),0,(0,)-∞+∞是减函数；D 选项2
2
1721248y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝
⎭ 在1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦是减函数，在1,4⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
是增函数；故选C.
【点睛】对于二次函数判定单调区间通常要先化成2
()(0)y a x m n a =-+≠ 形式再判定.
当0a > 时，单调递减区间是(],m -∞ ，单调递减区间是[
),m +∞ ；0a < 时，单调递减区间是[
),m +∞，单调递减区间是(],m -∞. 3.下列哪一组函数相等（ ）
A. ()f x x =与()2
x g x x
=
B. ()2
f x x =与()4
g x =
C. ()f x x =与()2
g x =
D. ()2
f x x =与()
g x =
【答案】D 【解析】 【分析】
根据相等函数的要求依次判断两个函数的定义域和解析式是否相同，从而可求得结果. 【详解】A 选项：()f x 定义域为R ；()g x 定义域为：{}
0x x ≠ ∴两函数不相等
B 选项：()f x 定义域为R ；()g x 定义域为：{}
0x x ≥ ∴两函数不相等
C 选项：()f x 定义域为R ；()g x 定义域为：{}0x x ≥ ∴两函数不相等
D 选项：()f x 与()g x 定义域均为R ，且()()2g x x f x === ∴两函数相等
本题正确选项：D
【点睛】本题考查相等函数的判断，关键是明确两函数相等要求定义域和解析式都相同，属于基础题.
4.已知集合{
}
2
|3280M x x x =--≤，{
}
2
|60N x x x =-->，则M N ⋂为（ ） A. {|42x x -≤<-或37}x <≤ B. {|42x x -<≤-或37}x ≤< C. {|2x x ≤-或3}x > D. {|2x x <-或3}x ≥
【答案】A 【解析】 【分析】
利用一元二次不等式的解法化简集合{
}
2
|3280M x x x =--≤，{
}
2
|60N x x x =-->，根据集合交集的定义求解即可.
【详解】∵由{
}
2
|3280M x x x =--≤， 所以{}|47M x x =-≤≤， 因为{
}
2
|60N x x x =-->，
所以{|2N x x =<-或3}x >，
∴{}|47{|2M N x x x x ⋂=-≤≤⋂<-或3}x >
{|42x x =-≤<-或37}x <≤．
故选A ．
点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合M 且属于集合N 的元素的集合.
5.已知2,0()(1),0
x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则44()()33f f +-的值等于（ ）
A. 2-
B. 4
C. 2
D. 4-
【答案】B 【解析】
【详解】2,0
()(1),0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩
Q ,
448
()2333f ∴=⨯=，
44112()(1)()(1)()33333f f f f f ∴-=-+=-=-+=24233=⨯=，
4484
()()43333
f f ∴+-=+=，故选B.
考点：分段函数.
6.()f x =
）
A. 3(,]2-∞
B. 3[,)2
+∞
C. (,1]-∞
D.
[2,)+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
先求解定义域，然后结合二次函数的对称轴判断增区间. 【详解】因为2320x x -+≥，所以(][),12,x ∈-∞+∞U ；
又因为2
32y x x =-+的对称轴为：32x =，且3
22
<，所以增区间为[)2,+∞， 故选：D.
【点睛】本题考查复合函数
的
单调性，难度一般.对于复合函数的单调性问题，在利用“同
増异减”的方法判断的同时也要注意到定义域问题. 7.下列对应关系是A 到B 的函数的是( ) A. A=R,B={x|x>0}.f:x y=|x|→ B. 2
,,:A Z B N f x y x +==→=
C. A=Z,B=Z,f:x y →=
D.
[]{}1,1,0,:0A B f x y =-=→=
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的定义，即可得出结论．
【详解】对于A 选项:A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，按对应关系f ：x →y ＝|x |，A 中的元素0在B 中无像，∴f ：x →y ＝|x |不是从A 到B 的函数；
对于B 选项:A ＝Z ，B N +=，f ：x →y ＝x 2
，A 中的元素0在B 中无像，∴f ：x →y ＝|x |不是
从A 到B 的函数；
对于C 选项:A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →
y =f ：x →
y =A 到B
的函数；
对于D 选项:A ＝[﹣1，1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0，A 中的任意元素在B 中有唯一元素对应，∴f ：x →y ＝0是从A 到B 的函数． 故选D.
【点睛】本题考查函数的定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解函数的定义是关键． 8.已知函数()2
1
2
f x x =+，则f （x ）的值域是 A. 1
{|}2
y y ≤ B. 1
{|}2
y y ≥
C. 1{|0}2
y y <≤
D.
{|0}y y >
【答案】C 【解析】
【分析】
根据不等式的性质，求得函数的值域. 【详解】由于2
2
0,22x x ≥+≥，故2
11022x <≤+，故函数的值域为1|02y y ⎧
⎫<≤⎨⎬⎩⎭
，故选C.
【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查不等式的性质，属于基础题. 9.函数(1)f x +的定义域为[2,3]-，则(21)f x -的定义域为（ ） A. []
-1,4 B. 5
[0,]2
C. [5,5]-
D. [3,7]-
【答案】B 【解析】 【分析】
由函数(1)f x +的定义域为[2,3]-，得到1[1,4]x +∈-，令1214x -≤-≤，即可求解函数(21)f x -的定义域，得到答案.
【详解】由题意，函数(1)f x +的定义域为[2,3]-，即[2,3]x ∈-，则1[1,4]x +∈-， 令1214x -≤-≤，解得5
02
x ≤≤，即函数(21)f x - 的定义域为5[0,]2，
故选B.
【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的计算，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10.不等式20ax x c -+>的解集为{}
21,x x -<<则函数2
y ax x c =++的图像大致为
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
利用根与系数的关系x 1+x 2=−b a ，x 1•x 2=
c
a
结合二次函数的图象可得结果 【详解】由题知-2和1是ax 2-x+c=0的两根， 由根与系数的关系知-2+1=
1
a ，，−2×1＝c a
，∴a=-1，c=2， ∴2
y ax x c =++=-x 2+x+2=-（x-
12
）2+9
4 ，故选C
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法和二次函数的图象，以及一元二次方程根与系数的关系.一元二次不等式，一元二次方程，与一元二次函数的问题之间可相互转化，也体现了数形结合的思想方法.
11.函数22
28(0)y x ax a a =-->，记0y ≤的解集为A ，若()1,1A -⊆，则a 的取值范围
（ ）
A. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B. 1,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
C. 11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
D.
11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】A 【解析】 【分析】
因为2228(2)(4)--=+-x ax a x a x a ，且24a a -<，所以解集[]2,4A a a =-；然后根据
()1,1A -⊆，得不等式组21
41
a a -≤-⎧⎨
≥⎩，可得a 的取值范围。

【详解】函数()()2
2
2824y x ax a x a x a =--=+-，抛物线开口向上，又0a >，所以
24a a -<,则
0y ≤的解集为[]
2,4A a a =-，得2141
a a -≤-⎧⎨≥⎩，解得1
2a ≥，所以正确选项
为A 。

【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式解法，确定两根的大小是解决本题的关键。

12.设函数2()2x f x x =-在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ,m ，则2
m
M
=
A 2
3 B. 38
C. 32
D. 83
【答案】D 【解析】 【分析】
利用分离常数法，求得函数()f x 在给定区间上为减函数，从而求得最大值与最小值，代入题目所求表达式求得正确选项. 【详解】易知24
()222
x f x x x =
=+--，所以f(x)在区间[3,4]上单调递减，所以4(3)2632M f ==+=-，4(4)2442m f ==+=-，所以2168
43
m M ==.
【点睛】本小题考查利用分类常数法求函数的单调性，以及利用单调性求函数的最大值与最小值的方法，属于基础题.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.已知集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，若B A ⊆，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为______. 【答案】11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
【解析】 【分析】
由于集合B 是集合A 的子集，分别讨论集合B 为空集和不是空集的情况，当集合B 不是空集时，集合B 的元素必为1-或者2，即可求解.
【详解】因为集合{1,2}A =-，{|1}B x ax ==，B A ⊆， 若B 为空集，则方程1ax =无解，解得0a =； 若B 不为空集，则0a ≠；由1ax =解得1x a
=
，所以11a =-或12a =，解得1a =-或1
2a =，
综上，由实数a 的所有可能的取值组成的集合为11,0,2⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭
.
【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系以及含参一元一次方程的解法，要注意集合B 是集合A 的子集时，集合B 有可能是空集.
14.已知f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)=__________. 【答案】2x-1 【解析】 【分析】
先求出(2)g x +的函数解析式，接着令2t x =+，得到()g t 的函数解析式，最后把t 换
成x ，便可得到()g x 的函数解析式.
【详解】由已知得g(x+2)=2x+3,令t=x+2,则x=t-2,代入g(x+2)=2x+3, 则有g(t)=2(t-2)+3=2t-1.所以g(x)=2x-1.
【点睛】本题主要考查用换元法求函数解析式，注意合理地进行等价转化是解决本题的关键.
15.设函数1,0
(),0x x f x x x --≤⎧⎪=⎨
>⎪⎩
若f(x 0)>1，则x 0的取值范围是________. 【答案】(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【解析】
当x 0≤0时，由－x 0－1>1，得x 0<－2， ∴x 0<－2； 当x 0>0时，由>1，
∴x 0>1.
∴x 0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求
出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
16.若函数()()()2
22
35,2
x x f x a x a x ⎧--<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意12x x ≠，都有
()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[)2,3- 【解析】 【分析】
根据题中条件，可以先判断出函数f （x ）在R 上单调递增，再结合分段函数的解析式，要每一段都是增函数，且分界点时右段函数的函数值要大于等于左段函数的函数值，列出不等关系，求解即可得到a 的取值范围． 【详解】：∵对任意x 1≠x 2，都有
()()1212
0f x f x x x ->-成立，
∴x 1-x 2与f （x 1）-f （x 2）同号，
根据函数单调性的定义，可知f （x ）在R 上是单调递增函数，
∴当2x ≥时，f （x ）=（()35a x a -+为增函数，则30a -> ，即a ＜3，① 且当x=2时，有最小值min [3)5]36a x a a -+=+ ；
当2x <时，f （x ）=()2
2x --为二次函数，图象开口向下，对称轴为x=2，
若f （x ）在（-∞，2）上为增函数，且()2
max
220x f ⎡⎤--=⎣⎦
＞（） ；
又由题意，函数在定义域R 上单调递增，
则()2
min max
[3)5]2360a x a x a ⎡⎤-+≥--∴+≥⎣⎦，解得2a ≥- ；② 综合①②可得a 的取值范围：23a -≤< ， 即答案为[
)2,3-.
【点睛】本题考查了分段函数的单调性的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．注意解题方法的积累，属于中档题． 三、解答题。

（共70分）
17.作出函数f (x )＝2
3,1
2)31(,x x x x --≤⎧⎨-+>⎩
的图象，并指出函数f (x )的单调区间． 【答案】作图见解析，单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞) 【解析】 【分析】
根据题意直接作出函数图像即可，需注意每一个分段函数的定义域。

【详解】f (x )＝2
3,1
2)31
(,x x x x --≤⎧⎨
-+>⎩的图象如图所示．
由图可知，函数f (x )＝2
3,1
2)31(,x x x x --≤⎧⎨-+>⎩
的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．
【点睛】分段函数图像的画法一定要注意定义域，在临界点处函数值取不取得到的问题。

18.求下列函数的值域： (1)y ＝
31
2
x x +-； (2)24y x x =+-(3)y ＝x ＋1x -
【答案】（1）{}|3y y ≠；（2）[2,)+∞；（3）(]
,5-∞. 【解析】 【分析】
（1）采用分离常数法求解值域；（2）直接利用单调性求解值域；（3）采用换元法求解值域. 【详解】（1）因为()327317
3222
x x y x x x -++=
==+
---，则3y ≠，即函数的值域为：{}|3y y ≠；
（2）由题意可得24y x x =+-[)2,+∞，且单调递增，又x=2时，y=2，
所以值域为：[2,)+∞；
（3）令)0t t =≥，则21x t =-，则()2
21425y t t t =-+=--+又因为[)0,t ∈+∞，所以()2
214255y t t t =-+=--+≤，所以值域为：(],5-∞. 【点睛】本题考查函数值域的常见求解方法：分离常数法、单调性、换元法，难度一般.求函数值域时：分离常数法比较试用形如()ax b f x cx d
+=+形式的函数，换元法一般适用于含有根号形式的函数或者可进行整体替换形式的函数.
19.某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表所示：
若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
【答案】每件产品的销售价为160元，每天的销售利润为1 600元．
【解析】
【分析】
先由题意设()0y ax b a =+≠，根据题中数据求出,a b ，进而表示出每天所得利润S ，结合x 的范围，即可求出结果.
【详解】设()0y ax b a =+≠，则1307015050a b a b +=⎧⎨+=⎩∴1200a b =-⎧⎨=⎩
∴200.y x =-
当每件的销售价为x 元时，每件的销售利润为(0)12x -元，每天的销售利润为S .则2(200)(120)32024000,120200S x x x x x =--=-+-<<.
∴当160x =时，max 1600S =元．
答：每件产品的销售价为160元，每天的销售利润为1 600元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.
20.已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23
. (1)求证：f (x )是R 上的单调减函数．
(2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．
【答案】（1）详见解析（2）－2
【解析】
【分析】
（1）本题中，需要证明的是函数的增减性，则需要回归定义，从定义出发，根据增减性采用合适的拼凑法来进行证明
（2）抽象函数函数值的求法需要通过合理赋值求得，需要考虑函数的增减性。

【详解】(1)证明：设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，
则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0，
所以f (x 2－x 1)<0，
又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，
所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]
＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，
所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，
所以f (x 2)<f (x 1)．
所以f (x )是R 上的单调减函数．
(2)由(1)可知f (x )在R 上是减函数，
所以f (x )在[－3,3]上也是减函数，
所以f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)．
而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×23⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝－2. 所以函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.
【点睛】抽象函数常见的赋值形式：令x y =，y x =-，0x y ==，1x y ==1,1x y ==-等。

21.设集合222
{|320}{|150}A x x x B x x a x a =-+==+-+-=，（）．
（1）若{}2A B ⋂=，求实数a 的值；
（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）3a =-或1a =； （2）{|3a a -…或7}3
a >.
【解析】
【分析】
（1）根据{}2A B ⋂=，可知B 中有元素2，带入求解a 即可；
（2）根据A∪B=A 得B ⊆A ，然后分B=∅和B≠∅两种情况进行分析可得实数a 的取值范围． 【详解】（1）集合{}2
{|320}12A x x x =-+==，， 若{}2A B ⋂=，则2x =是方程22150x a x a +-+-=（）的实数根，
可得：2230a a +-=，解得3a =-或1a =；
（2）∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，
当B =∅时，方程22150x a x a +-+-=（）无实数根，
即221450a a ---（）（）＜
解得：3a -＜或a ＞73
； 当B ≠∅时，方程22150x a x a +-+-=（）有实数根，
若只有一个实数根，()22221150421501450a a a a a a ⎧+-+-=+-+-=⎨=---=⎩
V 或（）（）， 解得：3a =-．
若只有两个实数根，x=1、x=2，21211250a a +=-⎧⎪⨯=-⎨⎪>⎩
V ,无解.
综上可得实数a 的取值范围是{a|a≤-3或a ＞73
} 【点睛】本题考查并，交集及其运算，考查数学分类讨论思想.
22.已知函数()2
4f x x mx =++． (1)求函数在区间[]1,2上的最大值max y ；
(2)当[]1,2x ∈时，0y <恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)当3m >-时,82max y m =+；当3m ≤-时,5max y m =+ ；(2) 5m <-.
【解析】
【分析】
（1）分322m -<和322
m -≥两种情况，讨论函数的最大值； （2）[]1,2x ∈时，0y <恒成立的等价条件为(1)0(2)0
f f <⎧⎨
<⎩，求出不等式组的解可确定m 的取值范围。

【详解】(1)函数2
4y x mx =++的图象开口向上，对称轴为2m x =-
， 在区间[]1,2上的最大值，分两种情况： ①322
m -
<（3m >-）时，根据图象知，当2x =时，函数取得最大值82max y m =+； ②322m -≥（3m ≤-）时，当1x =时，函数取得最大值5max y m =+. 所以，当3m >-时,82max y m =+；当3m ≤-时,5max y m =+.
(2)[]
1,20x y ∈<，恒成立，只需在区间[]1,2上的最大值0max y <即可，所以(1)0(2)0f f <⎧⎨<⎩，得45
m m <-⎧⎨<-⎩，所以实数m 的取值范围是5m <-. 【点睛】本题主要考查含参数的二次函数在给定区间的最大值，分类讨论是解决本题的关键；另外恒成立问题往往通过其等价条件来求解更简单。