高中数学例题：平行平面间距离的求法

高中数学例题：平行平面间距离的求法
例6．如右图所示，已知正三棱柱A 1B 1C 1—ABC ，
E 、E 1分别是AC 、A 1C 1的中点．
（1）求证：平面AB 1E 1∥平面BEC 1；
（2）当该棱柱各棱长都为a 时，求（1）中两个
平行平面间的距离．
【解析】两平行平面间的距离可转化为线面距离，最终可转化为点面距离．
（1）由于AE //E 1C 1，因此四边形AE 1C 1E 是平行四边形，则AE 1∥EC 1，则AE 1∥平面BEC 1．同理，B 1E 1∥平面BEC 1．由两平面平行的判定定理得，平面AB 1E 1∥平面BEC 1．
（2）设平行平面AB 1E 1与平面BEC 1间的距离等于d ，则点A 到平面BEC 1的距离等于d ，由等积法得11111133BEC A BEC C ABE ABE S d V V S C C ∆--∆⋅⋅===⋅⋅，即1
1ABE BEC S d C C S ∆∆=⋅． 易知∠AEB=90°，∠BEC 1=90°．
则21122228ABE
a S AE BE ∆=⋅⋅=⋅⋅=，
1211122228BEC S BE C E ∆=⋅⋅=⋅⋅=
，则5
d =． 故（1
． 【总结升华】证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面
平行，转化为证明线线平行，即线线平行−−−−−−−
→线面平行判定定理
线面平行
−−−−−−−→面面平行判定定理面面平行，在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系的相互转化，使问题顺利得到解决．熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口．这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视．
若两个平面平行，则一个平面内任一点到另一个平面的距离即为这两个平行平面间的距离．类似地，若一条直线与一个平面平行，则这条直线上任意一点到平面的距离即为直线到平面的距离．因此，面面距离、线面距离最终转化为点到平面的距离，而求点到平面的距离多用等体积方法（如本例中利用V A —BEC1=V C1—ABE ）求距离．
举一反三：
【变式1】 直四棱柱
1111ABCD A B C D -中，底面ABCD
为正方形，边长为2，侧棱13AA =，M 、N 分别为11A B 、11
A D 的中点，E 、F 分别是11
B
C 、11C
D 的中点．
(1)求证：平面AMN ∥平面EFDB ；
(2)求平面AMN 与平面EFDB 的距离．
【解析】
(1)证明：连接11A C ，分别交MN 、EF 于P 、Q ．连
接AC
交BD 于O ，连接AP 、OQ ．
由已知可得MN∥EF，∴MN∥平面EFDB ．
由已知可得，PQ∥AO 且PQ=AO ．
∴AP∥OQ．∴AP∥EFDB 平面，AP MN P ⋂=，
∴平面AMN ∥平面EFDB ．
(2)过A 1作平面AMN 与平面EFDB 的垂线，垂足为H 、H '，易得1112
A H A P HH PQ =='， 由， 根据 则
解得119A H =
．所以，平面AMN 与平面EFDB
的距离为19
.
AP ===11A AMN A A MN V V --
=111112
33232A H ⨯⨯=⨯⨯。