浙江省杭州高级中学2017届高三2月高考模拟考试数学试题含答案

浙江省杭州高级中学 2017 届高三2月高考模拟考试
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}
21110,24,,2x M x x N x
x N +⎧⎫
=-≤=<<∈⎨⎬⎩⎭
则M N =( ）
A ．{}1,0-
B ．{}1
C ．{}1,0,1-
D ．{}0
2。

已知函数()()2
1121,13
x
x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩,则函数()()()2g x f f x =-在区间(]1,3-上的零点个数是（ ）
A ． 1
B ．2
C ． 3
D ．4 3。

已知227
x
y
A == ，且11
2x y
+= ，则A 的值是（ ）
A ． 7
B ．．±． 98
4．设ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则“90C ∠>"的一个充分非必要条件是 （ )
A ．222
sin sin sin A B C +< B ．1sin 4A =
，cos B = C 。

()2
21c a b >+- D ．sin A <cos B
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意正整数n ，13n n a S +=,则下列关于{}n a 的论断中正确的是（ ） A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列
C. 可能是等差数列，但不会是等比数列 D ．可能是等比数列,但不会是等差数列 6. 已知不等式组40410x y x y +-≤⎧⎨
-+≤⎩所表示的平面区域为M ，不等式组2330
2230
x y x y --≥⎧⎨+-≤⎩所表示的平面区域为N ，若
M 中存在点在圆()()()2
2
2:310C x y r r -+-=>内,但N 中不存在点在圆内,则r 的取值范围是 ( ）
A ．0,
2⎛
⎝⎦ B ．2⎛ ⎝ C. ( D ．0,4⎛ ⎝
⎦ 7. 已知双曲线方程为()()()22
2210,0,0,,0,,x y a b A b C b a b
-=>>-B 是双曲线的左顶点，F 是双曲线的左焦点，
直线AB 与FC 相交于D ，若双曲线离心率为2，则BDF ∠的余弦值为（ ）
A ．
77 B ．277 C 。

7
14
D ．5714
8．如图，点P 在正方体1111ABCD A BC D -的表面上运动，且
P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开,那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ )
A ．
B ．
C 。

D.
第Ⅱ卷(共110分）
二、填空题（本大题有 7小题, 多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36分.把答案填答 题卷的相应位置）
9。

在等差数列{}n a 中，2145,12a a a =+=，则n a = ，设()2
11
n n b n N a *
=∈-，则数列{}n b 的前n 项的和n S = .
10。

已知空间几何体的三视图如图所示 ，则该几何体的表面积是 ；几何体的体积是 。

11．函数()()sin ,0,02y x x R ωϕωϕπ=+∈>≤<的部分图象如图，则函数表达式为 ；若将该函数向左平移 1个单位，再保持纵坐标不变,横坐标缩短为原来的
1
2
倍得到函数()g x = ．
12.设圆2212x y +=与抛物线24x y =相交于,A B 两点，F 为抛物线的焦点，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线和圆交于四个不同的点,从左至右依次为1234,,,P P P P ,则1234PP P P +的值 ，若直线m 与抛物线相交于
,M N 两点，且与圆相切,切点D 在劣弧AB 上，则MF NF +的取值范是 ．
13。

设,,a b c 为正数，且123
b c
a +
+=，则23223a bc ac ab +++的最大值为 ． 14.在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，1,6,33AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于 ．
15. 如图，正四面体ABCD 的顶点C 在平面α内,且直线BC 与平面α所成角为15，顶点B 在平面α上的射影为点O ，当顶点A 与点O 的距离最大时,直线CD 与平面α所成角的正弦值为__________．
三、解答题 （本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16。

在ABC ∆中,,,a b c 分别为,,A B C ∆所对边，()4,2cos tan sin .2
C
a b A A +=-= （1）求边长c 的值；（2）若E 为AB 的中点,求线段EC 的范围．
17。

在矩形ABCD 中，45,25AB AD ==,将ABD ∆沿BD 折起,使得点A 折起至A '，设二面角A BD C '--的大小为θ．
（1）当90θ=时，求A C '的长;（2）当1
cos 4
θ=
时，求BC 与平面A BD '所成角的正弦值．
18.设函数()()2
3,2f x x ax a g x ax a =-++=-．
(1）若函数()()()h x f x g x =-在[]2,0-上有两个零点,求实数a 的取值范围； （2）若存在0x R ∈,使得()00f x ≤与()00g x ≤同时成立,求实数a 的最小值． 19. 如图,焦点在x 轴的椭圆，离心率2
2
e =
，且过点A ()2,1-，由椭圆上异于点A 的P 点发出的光线射到A 点处被直线1y =反射后交椭圆于Q 点（Q 点与P 点不重合）． （1）求椭圆标准方程； (2)求证:直线PQ 的斜率为定值； (3）求OPQ ∆的面积的最大值．
20. 数列{}n a 定义为10a >，11a a =，2
112
n n n a a a +=+，n N *∈ （1）若()1012a a a a =
>+,求
12
10
11
1
222a a a +++
+++的值；
(2）当0a >时，定义数列{}n b ，()112k b a k =≥，11n b +=-+(),i j i j ≤，使得
21
12
i j b b a a +=++．如果存在,求出一组(),i j ，如果不存在，说明理由．
试卷答案
一、选择题
1—5： DCBBC 6-8:DCB
二、填空题
9.21n +
44n n + 10。

288π+ 124π+ 11。

sin 4
4y x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ cos 2y x π=
12.222⎡⎤+⎣⎦
13。

3 14。

2cos 3θ=
15三、解答题
16。

（1）22c a b c =+⇒=
（2)方法一：易得()22
2
214742
a b CE b b a b +=-=-+=-
又)
13
a c b
b CE b
c a +>⎧⇒<<∈⎨
+>⎩
方法二: 以AB 所在直线为x 轴， 中垂线为y 轴， 则C 的轨迹方程是()22
1043
x y y +=≠，三角代换，可得[)22cos 33,4CE θ=+∈故)
3,2
CE ⎡∈⎣
17. （1）在图 1中，过A 作BD 的垂线交BD 于E ，交DC 于F ， 则4525
410
AD AB AE BD ⋅⋅=
==，从而2,1,8DE EF BE === 如图 2，以,DA DC 所在直线分别为,x y 轴,建立空间直角坐标系
2545,,455A ⎛⎫
' ⎪ ⎪⎝⎭
， ()
0,45,0C 22
225165421755A C ⎛⎫⎛⎫'=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
(2）当1
cos 4
θ=
时，2241241cos 15A F θ'=+-⋅⋅⋅= 由余弦定理知90A FE '∠=
又易知BD ⊥平面A FE '，故有BD A F '⊥ 所以A F '⊥平面ABCD
()0,5,15A '故(
)0,5,15DA '=,又()
25,45,0DB =
求得A BD '的法向量()
1
23,3,1
n =-
又()25,0,0CB =
设BC 与平面A BD '成角为θ，
111
3sin cos ,2
CB n CB n CB n θ⋅=<>=
=
⋅ 18。

（I)由已知()()()2
2330h x f x g x x ax a =-=-++=在[]2,0-上有两个不同的实数解,所以
()()22770033020412120
h a h a a a a ⎧-=+≥⎪=+≥⎪⎨
-≤≤⎪
⎪∆=-->⎩，即120321321a a a a ⎧⎪≥-⎪⎪
-≤≤⎨⎪-+⎪<>⎪⎩ 解得32112
a -≤<
（II ）由已知,()
()
200030
120
2x ax a ax a ⎧-++≤⎪⎨
-≤⎪⎩ ()()12+得203x a ≤-，得3a ≥,
再由()2得02x ≤，由()1得()20013a x x -≥+,得01x >
于是，问题等价于：3a ≥,且存在(]01,2x ∈满足20030x ax a -++≤
令(]010,1t x =-∈，20034
21x a t x t
+≥=++-
因为 ()4
2t t t
ϕ=+
+ 在(]0,1 上单调递减， 所以 ()()17t ϕϕ≥=，即 7a ≥ 故实数a 的最小值为 7.
19。

解： （1）设椭圆方程为()22
2210,0x y a b a b
+=>>，
2
c e a =
=
，椭圆经过点()2,1- ∴椭圆方程为22
163
x y +
= （2）设直线AP 方程为 ()21y k x =++，则直线AQ 的方程为 ()21y k x =-++
由2221
16
3y kx k x y =++⎧⎪⎨+=⎪
⎩可得()()222124218840k x k k x k k +++++-=
0∆>,设()11,P x y , 由()2,1A -可得
()21122421442
2,1212k k k k x x k k -+--+-==++,2222
44224,1212k k k k P k k ⎛⎫--+-+∴ ⎪++⎝⎭
同理可得2222
44224,1212k k k k Q k k ⎛⎫
-++-- ⎪++⎝⎭ 2222
222
2
242412121442442
1212PQ
k k k k
k k k k k k k k k ---+-++==--++--+-++
（3）由（2），设PQ 的方程为y x m =-+.由2216
3y x m x y =-+⎧⎪
⎨+=⎪⎩联立得:
2234260x mx m -+-=，令0∆>，得33m -<<
设()()1122,,,P x y Q x y ，则
21212426,33m m x x x x -+=⋅=，()2
2
1699
m PQ -∴=
设原点O 到直线的距离为d ,则22
2m d =()2222
22919492
OPQ m m S PQ d ∆-∴==≤
当m =,OPQ ∆
20。

()()11212
,
2
2n n n n n n
a a a a a a +++=
=
+ 所以
1111
2
n n n a a a +=-
+ 故
1
111
2n n n a a a +=-
+ 所以
12
1011111
111121
222
2a a a a a a a a
++++
=-=-=++
+
（2）由11n b +=-得11n b ++=
()
2
1112n n b b ++=+
所以2
1112
n n n b b b ++=+
当1k b a =时，由212212b b b =+知22212
k a b b =+ 又2
1112
k k k a a a --=+
,数列{}n a 递增，所以21k b a -= 类似地，321,
k t k t b a b a
--+==
又2
1212
a a a +
= ))
2111
112
a a +==
101a = 1012i j b b a a +=+
所以111012k i k j a a a a -+-++=+
存在正整数(),i j i j ≤,112,110k i k j -+=-+=
11,9i k j k =-=-
存在一组()(),11,9i j k k =--。