湖南省邵阳市一中高三数学文科第4次月考试题人教版

某某市一中高三文科数学第4次月考试题 时量120分钟 满分150分 一、选择题(将唯一正确答案的代号填入答题卷中，每题5分，共40分) 1．已知幂函数a x x f =)(的图象经过点)22,
2(，则)4(f 的值等于（ D ） A ．16 B ．161 C ．2 D ．2
1 2. 给定两个向量x b a b x a b a 则若),()(),1,2(),4,3(-⊥+==的值等于（ A ）
A ．－3
B ．
23 C ．3 D ．2
3- 3．函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 B
A. －3，1
B. －3，32
C. －2，2
D. －2，32
4．函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是 （ C ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
5．函数y=Asin(ωx+ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜
2π,x∈R )的部分图象如图，则函数表达式为（ B ） A ．y=－4sin )48(ππ-x B ．y=－4sin )48(π
π+x C ．y=4sin )48(ππ-x D ．y=4sin )48(π
π+x 6．已知图1是函数()y f x =的图象，则图2中的图象对应的函数可能是 （ C ）
A.(||)y f x =
B. |()|y f x =
C. (||)y f x =-
D.(||)y f x =--
【解析】由图2知，图象对应的函数是偶函数，且当x ＞0时，对应的函数是()y f x =-， 故选C.
7．设sin(),2006,()23(4),2006.
x x f x f x x ππ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩ 则(2005)(2006)(2007)(2008)f f f f +++=A A ．0 B ．1 C ．1+3D ．3
8．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程0)(=x f 在区间)6,0(内解的个数至少是（ C ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
x y O 图2 x
y O 图1
二、填空题（将正确答案填入答题卷中的相应位置，每题5分，共35分）
9．12sin 45cos152
︒︒-的值等于
10
．已知cos()sin 63παα+-=，则7sin()6πα-的值是____________23
11．已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +的值为
_______
12．若321log 01a a a +<+，则a 的取值X 围是______________)1,2
1( 13. 若y x ,满足约束条件x+y 0x y+30,0x 3≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩
－则y x z -=2的最大值为．9
14．观察下列式子：222222357111111111234
223234+< ++< +++<⋅⋅⋅，，，，则可以猜想 的结论为：当n ∈N 且n ≥2时，恒有． 22221111123n n
n - ++++<… 15．已知集合M ＝{1，2，3，4}，A M ⊆，集合A 中所有元素的乘积称为集合A 的“累积值”，且规定：当集合A 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0. 设集合A 的累积值为n.
（1）若n ＝3，则这样的集合A 共有 2 个；（2）若n 为偶数，则这样的集合A 共有 13 个.
【解析】若n ＝3，据“累积值”的定义，得A ＝{3}或A ＝{1，3}，这样的集合A 共有2个.
因为集合M 的子集共有24＝16个，其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1，3}共3
个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个.
三、解答题(共6道大题，满分75分，务必看清题次，解答不要超出方框)
16．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，
若C B A C B sin sin sin sin sin 222+=+，且4=⋅AB AC ，求△ABC 的面积
解：由已知得b 2+c 2=a 2
+bc ……………………………2分 A bc a c b bc cos 2222=-+=∴………………………4分
2
3sin ;21cos ==∴A A ………………………………6分 由8,4cos 4=∴==⋅bc A bc AB AC ，得…………10分
32sin 2
1==∴A bc S ………………………………12分 17．（本小题满分12分）
设向量(3,1)OQ =-，向量(cos ,sin )OP αα=，0απ≤<．
（1）若向量OP ⊥OQ ，求tan α的值；
（2）求PQ 的最大值及此时α的值．
解：（1）由于OP ⊥OQ sin 0αα-=， ……………3分
显然cos 0α≠，两边同时除以cos α
得，tan 3α=； ………………6分 （2）由于(cos PQ = 即5PQ =+，
5PQ =+=………………9分 由于0απ≤<，则2333
πππα-≤-<， 则32ππα-=，即56
πα=时， PQ 最大值为3． ………………12分
18. （本小题满分12分） 在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===
（Ⅰ）求AB 的值；（Ⅱ）求)42sin(π
-A 的值。

（1）解：在ABC ∆ 中，根据正弦定理，
A BC C A
B sin sin =， 于是522sin sin ===B
C A BC C AB 6分
（2）解：在ABC ∆ 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A •-+=2cos 222=552 8分 于是A A 2cos 1sin -==55， 10分 从而53sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-===A A A A A A 10分 102
4sin 2cos 4cos 2sin )42sin(=-=-π
π
π
A A A 12分
19．（本小题满分13分）
已知向量a = )23,23
(-,b =)2
3,21(,且存在实数y x 和,使向量m = a ⋅-+）（32x b , n
= y -a x +b,且m ⊥n ．
(Ⅰ)求函数)(x f y =的关系式,并求其单调区间和极值；
(Ⅱ)是否存在正数Ｍ,使得对任意]1,1[,21-∈x x ,都有M x f x f ≤-|)()(|21成立?若存在
求出M ；若不存在,说明理由．
解（Ⅰ）a ·b ＝ 0，m ⊥n ，m ·n =[a ⋅-+）（3x b ]·
（ y -a x +b ） = y -a 2)3(2-+x x b 2 =)3(32-+-x x y = 0，x x x f y -==33
1)(．…………3分 )1)(1(1)(2-+=-='x x x x f ，在)(,0)(),,1()1,(x f x f >'+∞--∞和为增函数，
在)(,0)(),1,1(x f x f <'-为减函数．……………………………………………… 5分
)(x f 的极大值为32)1(=
-f ，)(x f 的极小值为3
2)1(-=f ．…………………7分 （Ⅱ）x x x f -=331)(在［1,1］上为减函数,3
2)1(,32)1(min max -===-=f f f f , 对任意]1,1[,21-∈x x ,都有3
4|)32(32||)()(|21=--≤-x f x f , 故存在正数Ｍ34≥符合要求．…………………………………………­…………… 13分 20.(本小题满分13分)
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.
（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求； （Ⅱ）现有两个奖励函数模型：(1)y ＝2150
x +；(2)y ＝4lg x －3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
【解】（Ⅰ）设奖励函数模型为y ＝f (x)，则公司对函数模型的基本要求是：
当x ∈[10，1000]时，①f (x)是增函数；②f (x)≤9恒成立；③()5x f x ≤
恒成立. （3分） （Ⅱ）（1）对于函数模型()2150
x f x =+： 当x ∈[10，1000]时，f (x)是增函数，则max 100020()(1000)2291503f x f ==
+=+<. 所以f (x)≤9恒成立. （5分） 因为函数
()12150f x x x =+在[10，1000]上是减函数，所以max ()111[]15055
f x x =+>. 从而()1211505f x x x =+≤，即()5x f x ≤不恒成立. 故该函数模型不符合公司要求. （8分）
（2）对于函数模型f (x)＝4lg x －3：
当x ∈[10，1000]时，f (x)是增函数，则max ()(1000)4lg100039f x f ==-=. 所以f (x)≤9恒成立. （10分）
设g (x)＝4lg x －3－
5x ，则4lg 1()5
e g x x '=-. 当x ≥10时，24lg 12lg 1lg 1()0555e e e g x x --'=-≤=<， 所以g (x)在[10，1000]上是减函数，从而g (x)≤g (10)＝－1＜0.
所以4lg x －3－5x ＜0，即4lg x －3＜5x ，所以()5
x f x <恒成立. 故该函数模型符合公司要求. （13分）
21.（本小题满分13分）
设函数()()1ln 2
++=x b x x f ，其中0≠b . （1）若12-=b ，求()x f 的单调递增区间；
（2）如果函数()x f 在定义域内既有极大值又有极小值，某某数b 的取值X 围；
（3）求证对任意的*N n ∈,不等式311ln n
n n n ->+恒成立 解:(1)由题意知，()f x 的定义域为(1,)-+∞，
12b =-时，由2122212()2011
x x f x x x x +-'=-==++，得2x =（3x =-舍去）， 当x )2,1(-∈时，()0f x '<，当()+∞∈,2x 时，()0f x '>，
所以当()+∞∈,2x 时，()f x 单调递增。

………………………………5分
(2)由题意222()2011
b x x b f x x x x ++'=+==++在(1,)-+∞有两个不等实根， 即2220x x b ++=在(1,)-+∞有两个不等实根，
设()g x =222x x b ++，则480(1)0
b g ∆=->⎧⎨->⎩，解之得102b <<……………………………10分 (3)对于函数()2ln(1)f x x x =-+，令函数()332()ln(1)h x x f x x x x =-=-++
则()32
2
13(1)3211x x h x x x x x +-'=-+=++， ()[0,)0x h x '∈+∞>当时，，所以函数()h x 在[0,)+∞上单调递增，
又(0)0,(0,)h x =∴∈+∞时，恒有()(0)0h x h >=
即23ln(1)x x x <++恒成立.取1(0,)x n
=∈+∞， 则有23
111ln(1)n n n +>-恒成立.……………………………13分。