九年级数学下册第二单元《相似》检测题(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，在▱ABCD 中，M 、N 为BD 的三等分点，连接CM 并延长交AB 与点E ，连接EN 并延长交CD 于点F ，则DF ：FC 等于（ ）．
A ．1：2
B ．1：3
C ．2：3
D ．1：4
2．如图，在ABC 中，AB AC ≠，AC 3AD =，3AB AE =，点F 为边BC 上一点，则下列条件不能保证FDB △与ADE 相似的是（ ）
A ．A BFD ∠=∠
B ．//DF A
C C ．B
D DF D
E AD = D ．BD B
F AE DE = 3．下列图形中一定是相似形的是（ ）
A ．两个等腰三角形
B ．两个菱形
C ．两个矩形
D ．两个正方形 4．如图，练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横格线上．若线段AB ＝6，则线段AC 的长为（ ）
A ．12
B ．18
C ．24
D ．30
5．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，则下列各式中不正确的是（ ）． A ．::AB AC AC BC =
B ．35B
C AB -= C ．51AC AB +=
D ．0.618AC AB ≈
6．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使3OA OD =，3OB OC =），然后张开两脚，使A 、B 两个尖端分别在线段I 的两个端点上．若12AB cm =，则CD 的长是（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．6cm
D ．8cm
7．如图，在ABC 中，//DE BC ，6AD =，3DB =，4AE =，则AC 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
8．如图，在ABC ∆中，,D E 分别是边,BC AC 上的点，且11,BD BC AE AC n m =
=，连接,AD BE 交于点F ，则AF AD
的值为（ ）
A ．1m n -
B ．1m m n +-
C ．1n m n +-
D ．1
n m - 9．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ：BD=5：3，CF=6，则DE 的长为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12 10．已知如图，D
E 是△ABC 的中位线，A
F 是BC 边上的中线，DE 、AF 交于点O ．现有以下
结论：
①DE ∥BC ；②OD ＝14BC ；③AO ＝FO ；④AOD S ＝14ABC S ．
其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．如图，正方形ABCD 中，ABC 绕点A 逆时针旋转到AB C ''△，AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．16
12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC=5，BC ＝25，若点O 为△ABC 三条高的交点，则OA 的长度为（ ）
A ．35
B ．253
C ．5
D ．35 二、填空题
13．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点G ，则EDG BDG S S ∆∆：＝__________．
14．已知b c c a a b k a b c
+++===，0a ≠，0b ≠，0c ≠；则k =________． 15．如图，已知点M 是△ABC 的重心，AB ＝123MN ∥AB ，则MN ＝__________
16．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，AD=AC ，以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC 于点E ，连接DE 、BE ，并延长BE 交CD 于点F ，下列结论：①△BAC ≌ △EAD ，②BC+CF=DE+EF ，③∠ABE+∠ADE=∠BCD ，其中正确的有____（填序号）
17．如图，把正ABC ∆沿AB 边平移到''A B C '的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是ABC ∆的面积的一半，若23AB =，则此三角形平移距离'CC 的长度是_________．
18．如图，ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是ABC 的面积的______．
19．如图4，我国现代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题如下：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？它的题意可以由如图所示获得，井深BC 为_________尺．
20．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝20cm ，弦BC ＝12cm ，F 是弦BC 的中点．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，设运动时间为t （s ）（0≤t≤10），连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t （s ）的值为_______．
三、解答题
21．在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,2A -，()2,1B -，()4,3C -．
（1）画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △；
（2）以点O 为位似中心，在网格中画出111A B C △的位似图形222A B C △，使222A B C △与111A B C △的相似比为2:1；
（3）设点(),P a b 为ABC 内一点，则依上述两次变换后点P 在222A B C △内的对应点2P 的坐标是______．
22．作图题：如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A ＇B ＇C ＇是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O ；
（2）△A ＇B ＇C ＇与△ABC 的位似比是 ；
（3）以位似中心O 为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A ＇B ＇C ＇关于点O 中心对称的△A ＂B ＂C ＂，并直接写出△A ＂B ＂C ＂各顶点的坐标． 23．如图，AB 是
O 的直径，C ，D 是O 上两点，且AD 平分CAB ∠，作DE AB
⊥于E ．
（1）求证：//AC OD ；
（2）求证：12
OE AC =． 24．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点()0,0O ，()1,3A -，()4,0B ，连接OA ，OB ，AB ．
（1）若将OAB 向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到111O A B △，点O ，A ，B 的对应点分别为1O ，1A ，1B ，画出111O A B △并写出顶点1A 的坐标；
（2）画出22OA B △，使22OA B △与OAB 关于原点对称，点A ，B 的对应点分别为2A ，2B ；
（3）以点O 为位似中心，在给定的网格中将OAB 放大2倍得到33OA B ，点A ，B 的对应点分别为3A ，3B ，画出33OA B 并直接写出33A B 的长度．
25．如图，已知点O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为（3，－1），（2，1）．
（1）以O 点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的△OB ꞌC ꞌ；
（2）若△OBC 内部一点M 的坐标为（a ，b ），则点M 对应点M ′的坐标是 ； （3）求出变化后△OB ꞌC ꞌ的面积 ．
26．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且QO OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ．求点P 的坐标．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
由题意可得DN=NM=MB ，据此可得DF ：BE=DN ：NB=1：2，再根据BE ：DC=BM ：MD=1：2，AB=DC ，故可得出DF ：FC 的值．
解：由题意可得DN=NM=MB ，AB//CD ，AB//BC
∴△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ，
∴DF ：BE=DN ：NB=1：2，BE ：DC=BM ：MD=1：2，
又∵AB=DC ，
∴DF ：AB=1：4，
∴DF ：FC=1：3
故选：B ．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用． 2．C
解析：C
【分析】
先根据已知条件可证得ADE ACB ∽，由此可得AED B ∠=∠，再利用相似三角形的判定对选项逐个判断即可．
【详解】
解：∵AC 3AD =，3AB AE =， ∴
AD AE 1AC AB 3
==， 又∵A A ∠=∠， ∴
ADE ACB ∽，
∴AED B ∠=∠， A 选项：∵A BFD ∠=∠，B B ∠=∠，
∴
BFD BAC ∽，
故选项A 正确；
B 选项：∵//DF A
C ，
∴C BFD ∠=∠，∠=∠A BDF ，
∴BFD BCA △∽△，
故选项B 正确； C 选项：BD DF DE AD
=无法证明FDB △与ADE 相似； D 选项：∵
BD BF AE DE
=， AED B ∠=∠， ∴BFD EDA △∽△，
故选项D 正确；
故选：C ．
【点睛】 本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 3．D
【分析】
根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．
【详解】
A、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意．
B、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意．
D、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
根据已知图形构造相似三角形，进而得出△ABD∽△ACE，即可求出AC的长．
【详解】
解：如图所示：
过点A作平行线的垂线，交点分别为D，E，可得：
△ABD∽△ACE，
则AB AD AC AE
=，
即
62
8 AC
=，
解得：AC=24，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出△ABD∽△ACE是解题关键．5．C
【分析】
根据黄金分割点的定义逐项排除即可．
【详解】
解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，
∴2AC BC AB =⋅，
∴::AB AC AC BC =，则选项A 正确；
∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，
∴0.618AC AB =≈，则选项C 错误；选项D 正确；
BC AB AC AB AB AB =-=-
=，则选项B 正确. 故选：C ．
【点睛】 本题考查了成比例线段，熟练掌握黄金分割的定义成为解答本题关键．
6．B
解析：B
【分析】
首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解.
【详解】
∵OA =3OD ，OB =3OC ， ∴3OA OB OD OC
==， ∵AD 与BC 相交于点O ，
∴∠AOB =∠DOC ，
∴△AOB ∽△DOC ， ∴3AB OA DC OD
==， ∵12AB cm =
∴CD=
12433
AB ==cm, 故选B.
【点睛】 本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.
7．D
解析：D
【分析】
根据平行线分线段成比例求出EC ，即可解答．
【详解】
解：∵DE ∥BC ， ∴
AD AE DB EC =，即643EC
=， 解得：EC=2，
∴AC=AE+EC=4+2=6；
故选：D ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理． 8．C
解析：C
【分析】
过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，易证△BDG ∽△BCE ，△DGF ∽△AEF,利用三角形相似的性质即可解答．
【详解】
解：过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，
则△BDG ∽△BCE ， ∴DG BD CE BC
=， ∵1BD BC n =
， ∴1DG BD CE BC n
==， ∵1AE AC m =
， ∴1m CE AC m
-=, ∴DG=11m CE AC n mn
-⋅= ∵DG ∥AC ，
∴△DGF ∽△AEF ， ∴111m AC DF DG m mn AF AE n AC m
--===， ∴1AD m n AF n +-=，即1
AF n AD m n =+-， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、比例性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，添加辅助线构造相似三角形是解答的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据DE ∥BC ，EF ∥AB ，判断出DE BF =，在根据DE ∥BC ，EF ∥AB ，便可以找到分的线段成比例。

AD AE DB EC =，CE CF CA CB
=，便可求解了． 【详解】 解：DE ∥BC ，EF ∥AB ∴ 四边形BFED 是平行四边形
DE BF ∴=
DE ∥BC AD ：BD=5：3
53
AD AE DB EC ∴== 38
CE CA ∴= 又EF ∥AB 38
CE CF CA CB ∴== 又
CF=6 16CB ∴=
10BF BC FC ∴=-=
即DE=10
故选C
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，以及平行四边形的判定和性质，掌握这些基本知识是解此题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
①根据三角形中位线定理进行判断；②根据三角形中位线定理进行判断；③根据三角形中位线定理进行判断；④由相似三角形△ADO ∽△ABF 的面积之比等于相似比的平方进行判断．
【详解】
∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ∥BC ，故①正确；
∴DE=
12BC ， ∴OD=12
BF ， ∵AF 是BC 边上的中线，
∴BF=12
BC ， ∴OD=
12BF=14
BC ，故②正确； ∵DE 是△ABC 的中位线，
∴AD=DB ，DE ∥BC ，
∴AO ＝FO ，故③正确；
④∵DE ∥BC ，即DO ∥BF ，
∴△ADO ∽△ABF ， ∴22ADO ABF 1124
S AD S AB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵AF 是BC 边上的中线，
∴ABF ABC 12S
S =， ∴ADO ABC
18S S =，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③，共3个．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质．本题利用了“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的性质．正确的识别图形是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
先根据正方形的性质、旋转的性质可得45EAF EDA ∠=∠=︒，再根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】
四边形ABCD 是正方形，
45BAC EDA ∴∠=∠=︒，
由旋转的性质得：B AC BAC ''∠=∠，
B A
C EDA ''∴∠=∠，即EAF EDA ∠=∠，
在AEF 和DEA △中，EAF EDA AEF DEA ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩
， AEF DEA ∴~， EF AE AE DE ∴=，即44EF DE
=， 16EF DE ∴⋅=，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
12．A
解析：A
【分析】
设BC 边上的高为AD ，结合三角形高线的性质及等腰三角形的性质证明△OBD ∽△BAD ，可得BD:AD=OD:BD ，利用勾股定理可求解AD 的长，进而可求解OD 的长．
【详解】
解：如图，设BC 边上的高为AD ，
∵点O 为△ABC 三条高的交点，
∴AD ⊥BC ，BO ⊥AC ，
∴∠ADB=90°，∠OBC+∠C=90°，
∴∠CAD+∠C=90°，
∴∠OBD=∠CAD ，
∵AB=AC ，∴D 为BC 的中点，∠BAD=∠CAD ， ∴∠OBD=∠BAD ，
∴△OBD ∽△BAD ，∴BD:AD=OD:BD ，
∵BC=25∴5
在Rt △ABD 中，AB=5，∴()22225525AB BD -=-=
∴OD =，解得
∴
OA=AD−OD=2
=， 故选A ．
【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的高线，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合运用 ．
二、填空题
13．1：2【分析】设△ABC 的面积为1ΔEDG 的面积为xΔBDG 的面积为y 则由题意可得关于xy 的二元一次方程组解方程组得到xy 的值后可得问题解答【详解】解：设△ABC 的面积为1ΔEDG 的面积为xΔBDG
解析：1：2
【分析】
设△ABC 的面积为1，ΔEDG 的面积为x ，ΔBDG 的面积为y ，则由题意可得关于x 、y 的二元一次方程组，解方程组得到x 、y 的值后可得问题解答．
【详解】
解：设△ABC 的面积为1，ΔEDG 的面积为x ，ΔBDG 的面积为y ，
∵DE 为三角形ABE 的中位线，
∴三角形DEB 的面积为三角形ABE 面积的一半或者三角形ABC 面积的四分之一， ∴x+y=14
， 又由题意可得：△DGE ∽△CGB ， ∴214DGE CGB S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 即()111442CBD GBD x S S y ⎛⎫=
-=- ⎪⎝⎭， ∴ 1184
x y =-，所以有： 141184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 解之得： 11216x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴1112126
EDG BDG S S x y ===：：：：， 故答案为1：2．
【点睛】
本题考查三角形中线、中位线的应用和相似三角形的判定及性质，熟练掌握“三角形中线把三角形分成面积相等的两部分”和相似三角形的判定及性质是解题关键 ．
14．或【分析】根据题意可分情况考虑：当时根据比例的等比性质即可求得答案；当时即代入消元即可得解【详解】解：∵∴或①当时∵∴∴∴∴②当时有∴∴综上所述或故答案是：或【点睛】本题考查了比例的等比性质分式的化 解析：2或1-
【分析】
根据题意可分情况考虑：当0a b c ++≠时根据比例的等比性质即可求得答案；当0a b c ++=时，即a b c +=-，代入消元即可得解．
【详解】
解：∵0a ≠，0b ≠，0c ≠
∴0a b c ++≠或0a b c ++=
①当0a b c ++≠时， ∵
b c c a a b k a b c
+++=== ∴b c ak +=，c a bk +=，a b ck += ∴()()()b c c a a b ak bk ck +++++=++
∴()()2a b c k a b c ++=++
∴()22a b c k a b c
++==++ ②当0a b c ++=时，有a b c +=- ∴1a b c k c c +-=
==- ∴综上所述，2k =或1k =-．
故答案是：2或1-
【点睛】
本题考查了比例的等比性质、分式的化简求值等，注意需要分类讨论．
15．【分析】根据三角形重心的性质可得AD=BD=CM ：CD=2：3由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB 再根据相似三角形的性质求解即可【详解】解：∵点M 是△ABC 的重心∴AD=BD=CM ：CD=2：3∵MN
解析：【分析】
根据三角形重心的性质可得
AD=BD=
12
AB =CM ：CD=2：3，由MN ∥AB 可得△CMN ∽△CDB ，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵点M 是△ABC 的重心， ∴
AD=BD=
12
AB =CM ：CD=2：3， ∵MN ∥AB ，
∴△CMN ∽△CDB ， ∴23
MN CM DB CD ==，
23
=
，解得MN =．
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形的重心和相似三角形的性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 16．①②③【分析】先由已知条件利用SAS 证明△BAC ≌△EAD 得到①；由全等得到BC=DE 然后再通过证明△ABE ∽△ACD 得到∠ABE=∠ACD=∠AEB 进而再得到CF=EF 得到BC+CF=DE+EF 即
解析：①②③
【分析】
先由已知条件利用SAS 证明△BAC ≌ △EAD ，得到①；由全等得到BC=DE ，然后再通过证明△ABE ∽△ACD ，得到∠ABE=∠ACD=∠AEB ，进而再得到CF=EF ，得到BC+CF=DE+EF ，即②正确；由∠ABE=∠ACD ，∠BCA=∠EDA ，可得到∠ABE+∠ADE=∠BCD ，即③正确．
【详解】
解：由题意可知，∠BAC=∠CAD ，AB=AE ，
在△BAC 和△EAD 中，
AB AE BAC CAD AC AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠∠
∴△BAC ≌ △EAD ，故①正确；
∵△BAC ≌ △EAD ，
∴BC=ED ，∠BCA=∠EDA ，
由于AB=AE ，AC=AD ，∠BAC=∠CAD ， ∴AB AE AC AD
=， ∴△ABE ∽△ACD ，且△ABE 和△ACD 都为等腰三角形，
∴∠ABE=∠ACD=∠AEB ，
∵∠AEB=∠CEF ，
∴∠ECF=∠CEF ，
∴CF=EF ，
∴BC+CF=DE+EF ，故②正确；
由以上过程知道∠ABE=∠ACD ，∠BCA=∠EDA ，
∴∠ABE+∠ADE=∠ACD+∠BCA=∠BCD ，故③正确．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确找到全等三角形是解题的关键．
17．【分析】根据题意可知△ABC 与阴影部分为相似三角形且面积比为2：1所以AB ：A′B=：1推出A′B=从而得到AA′的长【详解】解：∵△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置∴AC ∥A′C′∴△AB
解析：
【分析】
根据题意可知△ABC 与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以AB ：
：1，推出
，从而得到AA′的长．
【详解】
解：∵△ABC 沿AB 边平移到△A′B′C′的位置，
∴AC ∥A′C′，
∴△ABC ∽△A′BD ， ∴21()2
A BD
ABC S A B S AB ''∆∆==， ∴AB ：
：1，
∵
AB=
∴
，
∴
AA′=
．
由平移可得' 'CC AA =
∴'6CC =
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于求证△ABC 与阴影部分为相似三角形．
18．【分析】根据题意易证△AEH ∽△AFG ∽△ABC 利用相似三角形的性质解决问题即可【详解】解：∵AB 被截成三等分
∴△AEH ∽△AFG ∽△ABC ∴∴S △AFG ：S △ABC=4：9S △AEH ：S △ABC=
解析：13
【分析】
根据题意，易证△AEH ∽△AFG ∽△ABC ，利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：∵AB 被截成三等分，
∴△AEH ∽△AFG ∽△ABC ， ∴
11,,23
AE AE AF AB ==， ∴S △AFG ：S △ABC =4：9，
S △AEH ：S △ABC =1：9， ∴S 阴影部分的面积=49S △ABC -19S △ABC =13
S △ABC ， ∴图中阴影部分的面积是ABC 的面积的
13． 故答案为：
13
． 【点睛】 本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中．
19．575【分析】由题意可得△AFB ∽△ADC 根据相似三角形的性质和已知条件即可得到井深尺寸【详解】解：由题意可知：△AFB ∽△ADC ∴可设BC=x 则有解之可得：BC=575（尺）故答案为575【点睛】
解析：57.5
【分析】
由题意可得△AFB ∽△ADC ，根据相似三角形的性质和已知条件即可得到井深尺寸．
【详解】
解：由题意可知：△AFB ∽△ADC ，∴
AB FB AC DC =， 可设BC=x ，则有
50.455x =+，解之可得：BC=57.5（尺）， 故答案为57.5．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键 ． 20．5或82【分析】求出BF 和AO 的长分为两种情况
①∠EFB=90°②∠FEB=90°分别利用三角形中位线的性质以及相似三角形的判定和性质求出AE 的长再求出t 即可【详解】∵AB 是⊙O 的直径∴∠C=90° 解析：5或8.2
【分析】
求出BF和AO的长，分为两种情况，①∠EFB=90°，②∠FEB=90°，分别利用三角形中位线的性质以及相似三角形的判定和性质求出AE的长，再求出t即可．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵AB=20cm，弦BC=12cm，F是弦BC的中点，
∴BF=1
BC=6cm，
2
有两种情况：①当∠EFB=90°时，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠EFB=90°，
∴AC∥EF，
∵F为BC的中点，
∴E为AB的中点，即E和O重合，
∵AB=20cm，
∴AE=AO=1
AB=10cm，
2
∴105
t==；
2
②当∠FEB=90°时，如图：
∵∠B=∠B，∠FEB=∠C=90°，
∴△FEB∽△ACB，
∴BE BF
=，
BC AB
∴61220
BE =， 解得：BE=3.6（cm ），
∵AB=20cm ，
∴AE=AB-BE=16.4cm ，
∴16.48.22
t ==； 故答案为：5或8.2．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定等知识点，分类讨论是解此题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）()2,2a b -．
【分析】
（1）先根据关于x 轴对称的点的坐标特征描出A 1、B 1、C 1，然后再顺次连接即可； （2）先根据关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把点A 1、B 1、C 1的横纵坐标都扩大2倍得到A 2、B 2、C 2的坐标，然后描点，最后顺次连接即可；
（3）利用（1）、（2）中的坐标变换规律求解即可．
【详解】
解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求图形；
（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求图形；
（3）根据（1）（2）的变换规律可得：2P （2a ，-2b ）．
【点睛】
本题主要考查了轴对称变换和位似变换，掌握作轴对称图形和位似图形的的步骤成为解答本题的关键．
22．（1）画图见解析；（2）1:2；（3）画图见解析；A ＂（6,0），B ＂（3，-2），C ＂（4，-4）
【分析】
（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O ；
（2）由OB=2OB′，即可得出△A′B′C′与△ABC 的位似比为1：2；
（3），连接B′O 并延长，使OB″=OB′，延长A′O 并延长，使OA″=OA′，C′O 并延长，使OC″=OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标．
【详解】
解：（1）图中点O 为所求；
（2）△A′B′C′与△ABC 的位似比等于1：2；
故答案为：1：2；
（3）△A″B″C″为所求；
A″（6，0）；B″（3，-2）； C″（4，-4）．
【点睛】
此题考查了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先根据圆的性质、等腰三角形的性质可得OAD ODA ∠=∠，再根据角平分线的性质可得OAD CAD ∠=∠，从而可得ODA CAD ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得证； （2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据垂直的定义可得90OED ∠=︒，然后根据平行线的性质可得DOE BAC ∠=∠，最后根据相似三角形的判定与性质即可得证．
【详解】
（1）12
OA OD AB ==， OAD ODA ∠=∠∴， AD 平分CAB ∠，
OAD CAD ∴∠=∠，
ODA CAD ∴∠=∠，
//AC OD ∴；
（2）如图，连接BC ，
由圆周角定理得：90ACB ∠=︒，
DE AB ∵⊥，
90OED ∴∠=︒，
由（1）已证：//AC OD ，
DOE BAC ∴∠=∠，
在DOE △和BAC 中，90OED ACB DOE BAC
∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， DOE BAC ∴~， 12OE OD AC AB ∴==， 12
OE AC ∴=．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
24．（1）作图见解析，()16,1A ；（2）作图见解析；（3）作图见解析，33A B 的长度为
62
【分析】
（1）先根据平移作图画出点111,,O A B ，再顺次连接即可得111O A B △，然后根据点坐标的平移变换规律即可得点1A 的坐标；
（2）先根据关于原点对称的点坐标变换规律得出点22,A B 的坐标，再画出点22,A B ，然后顺次连接点22,,O A B 即可得；
（3）先根据位似的性质得出33,A B 的坐标，再画出点33,A B ，然后顺次连接点33,,O A B 即可得33OA B ，最后利用两点之间的距离公式即可得33A B 的长度．
【详解】
（1）先画出点111,,O A B ，再顺次连接即可得111O A B △，如图所示：
由点坐标的平移变换规律得：()115,34A +-+，即()16,1A ；
（2）关于原点对称的点坐标变换规律：横、纵坐标均互为相反数，
()()1,3,4,0A B -，
()()221,3,4,0A B ∴--，
先画出点22,A B ，再顺次连接点22,,O A B 即可得22OA B △，如图所示：
（3）()()1,3,4,0A B -，
()()3312,32,42,02A B ⨯-⨯⨯⨯∴，即()()332,6,8,0A B -， 2332(82)(06)62A B ∴=-++=，
先画出点33,A B ，再顺次连接点33,,O A B 即可得33OA B ，如图所示：
【点睛】
本题考查了平移作图、关于原点对称的点坐标变换规律、位似画图等知识点，熟练掌握各画图方法和点坐标的变换规律是解题关键．
25．（1）见解析；（2）（－2a ，－2b ）；（3）10
【分析】
（1）把B 、C 的横纵坐标都乘以-2得到B′、C′的坐标，然后描点即可；
（2）利用（1）中对应点的关系求解；
（3）先计算△OBC 的面积，然后利用相似的性质把△OBC 的面积乘以4得到△OB ꞌC ꞌ的面积．
【详解】
（1）如下图，△OB ꞌC ꞌ为所作；
（2）点M 对应点M ′的坐标为（－2a ，－2b ）；
（3）''11144(23212131)10222
OB C OCB S S ∆∆==⨯⨯-
⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=． 【点睛】
本题考查了作图、位似变换，熟练应用以原点为位似中心的两位似图形对应点的坐标的关系确定变换后对应点的坐标，然后描点得到变换后的图形． 26．(2,422P -
【分析】
根据正方形的性质求出BO 和BQ 的长，再由COQ PBQ ，利用对应边成比例列式求出BP 的长，从而算出AP 的长，就可以得到点P 的坐标． 【详解】
解：∵正方形OABC 的边长是2，
∴2OC BC QO ===， 根据勾股定理，22BO =， ∴22BQ BO OQ =-=，
∵//CO BP ，
∴
COQ PBQ ， ∴CO OQ PB BQ =，即2222
PB =-，解得222PB =， ∴2222422AP AB BP =-=-=- ∴(2,422P -．
【点睛】
本题考查平面直角坐标系和图象，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例列式求线段长．。