2012湖南《夺冠之路》高三数学理一轮复习精品课件新课标第3单元第18讲导数的综合应用

B．6米/秒
C．5米/秒
D．8米/秒
解析： St 2t 1，S3 5，则物体在3秒末
的瞬时速度为5米 / 秒．故选C.
2.某箱子的容积与底面边长x的关系为
V x x2 60 x 0 x 60，则当箱子
2
的容积最大时，箱子底面边长是
A．30
B．40
C．50
D．其他
解析： V x 1 x3 30x2，
3
3
当x ( 3 ， 3 )时，f x 0；当x ( 3 ，1]时，f x 0.
33
3
又f 1 f 1 0，f x f ( 3 ) 2 3 ，
max
39
f x f ( 3) 2 3.
min
3
9
又x1，x2 1,1，
所以
f
x1
f
x2
f
xmax
f
xmin
43 9
素材2.某集团为了获得更大的利益，每年要投入一 定的资金用于广告费，若每年投入广告费t(百万)元， 则可增加销售额约为 t2 5t(百万元)，0 t 5.
1 若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，
则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得增 加的收益最大？
2 现该公司准备共投入300万元，分别用于广告
1．掌握利用导数解决实际生活中的优化 问题的方法和步骤，如用料最少、费用 最低、消耗最省、利润最大、效率最高等． 2．掌握导数与不等式、几何等综合问题 的解题方法．
1 .一个物体的运动方程为S t 1 t t2 (t 0)，
其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在
3秒末的瞬时速度是
A．7米/秒
加值y万元与投入x万元之间满足：
y 51 x ax2 ln x ， x [t， )，其中t为大于 1
50
10 2x 12
2
的常数．当x 10时，y 9.2.
1求y f x的解析式和投入x的取值范围；
2 求旅游增加值y取得最大值时对应的x的值．
解析： 1因为当x 10时，y 9.2，
促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额约为 1 x3 x2 3x
3 (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司 由此获得的收益最大？(注：收益 销售额 投入)
解析： 1设投入t(百万元)的广告费后增加 的收益为f t (百万元)，则有
f t t2 5t t t2 4t t 22 4(0 t 3)．
x0
(
2x0 )sin
x0 (0
x0
)， 2
则S x0 cos x0 2sin x0 2x0 cos x0
2sin x0 ( 2x0 ) cos x0.
由S( ) 2sin 2 cos 1 3 0，
6
63 6
3
S( ) 2sin cos 2 2 0.
1，
故原不等式成立．
评析： 本题主要考查函数、导数、不等式等 基础知识及综合运用所学知识分析问题和解决 问题的能力和化归与转化思想的灵活运用． 解此题的关键是将原问题等价转化．
题型二 利润最大问题
例2.受金融危机的影响，三峡某旅游公司经济效益 出现了一定程度的滑坡．现需要对某一景点进行改
造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增
2当x 1,1时，图象上是否存在两点，使过
此两点处的切线互相垂直，试证明你的结论；
x0
)， 2
欲使矩形面积最大，则x0的取值范围是
A．(0， ) 6
C．( ， ) 43
B．( ， ) 64
D．( ， ) 32
解析： 因为D x0, 0，又ABCD为矩形，
由对称性可知C( x0, 0)，A(x0，sin x0 )，
所以 CD 2x0， AD sin x0，
所以矩形的面积S
4
42 4
4
可知S
x0
0在( 6
， 4
)有根，即为其最大值点，故选B.
1．利用导数解决生活中的优化问题可归结为求 函数的最值问题 其解题的程序：读题(文字语言) 建模(数学语言) 求解(数学应用) 反馈(检验作答) 注意事项：
1函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们
的关系，把变量间的关系转化成函数关系式，并确 定自变量的取值范围；
3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量
x(吨)与每吨产品的价格P(吨 / 元)之间的函数关
系为P 24200 1 x2，且生产x吨的成本为 5
R 50000 200x元，则该厂每月生产
吨
产品才能使利润达到最大，最大利润是 万元．
解析： 设生产x吨产品，利润为y元，
则y Px R (24200 1 x2 ) x 50000 200x
2
V x 3 x2 60x 3 x2 40x
2
2
3 x x 400 x 60．
2
由V x 0，得x 40.
而当0 x 40时，V x 0；
当40 x 60时，V x 0，
所以V xmax V 40 16000，所以当x 40时， V x取最大值．故选B.
以B点坐标1,0代入抛物线方程得p 1，
3 所以抛物线的方程为x2 2 ( y 3)．
32
1把F点的坐标(a， 1)代入
2
抛物线的方程得a 6 ， 3
所以水面宽EF 2 6 m. 3
解析： 2)设抛物线上的一点M (t，3 t2 3)(t＞0)，
22 因改造水渠不能填土只能挖土，还要求挖的土最少，
即 51 10 a 102 ln1 9.2，解得a 1 ，
50
100
所以f x 51 x x2 ln x .
50 100 10
因为 x t且t 1，所以6 x 12t .
2x 1222t 1即投入x的取值范围是(6，12t ]． 2t 1
解析： 2对f x求导，
得f x 51 x 1 x2 51x 50 x 1 x 50 .
的函数解析式可以表示为：y 1 x3 3 x 8 128000 80
(0 x 120)．已知甲、乙两地相距100千米．
1当汽车以40千米 / 小时的速度匀速行驶时，
从甲地到乙地要耗油多少升？
2 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地
耗油最少？最少为多少升？
解析： 1当x 40时，汽车从甲地到乙地
50 50 x
50x
50x
令f x 0，得x 50或x 1(舍去)．
当x 6,50时，f x 0，且f x在6,50上连续，
因此，f x在6,50上是增函数；
当x (50， )时，f x 0，且f x在[50， )上连续．
因此，f x在[50， )上是减函数．
所以x 50为极大值点．
当且仅当2t 1，且t＞0，即t 2 时，截面的面积
t
2
最小，此时下底的边长为 2 m. 2
评析： 导数作为一个工具在解应用题时 具有非常重要的作用，复习中应将导数的 应用提升一个高度．本例将实际问题与 抛物线、导数的几何意义结合考查，有助 于训练学生思维和创新意识．
素材3.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中 每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米 / 小时)
128000 80
x
1 x2 800 15 (0 x 120)，
1280
x4
解析：
则h
x
x 640
800 x2
x3 803 640x2
(0
x
120)．
令h x 0，得x 80.
当x 0,80时，h x 0，h x是减函数；
当x 80,120时，h x 0，h x是增函数．
所以，当x 80时，h x取到极小值h80 11.25.
所以只能沿过M 点与抛物线相切的切线挖土，由
y 3 x2 3 .得y 3x，所以过点M的切线的斜率为3t， 22
所以切线的方程为y 3t x t ( 3 t2 3)，
22
当y
0时，x1
1 2
(t
1)；当y t
3 2
时，x2
1. 2
所以截面的面积S 3 (2t 1) 3 2 . 4 t2
例3.某水渠的横截面如图所示， 它的曲边是抛物线形，口宽 AB 2 m，渠深OC 1.5 m， 水面EF距AB为0.5 m.
1求截面图中水面的宽度； 2 如果把水渠改造为横截面是等腰梯形，
并要求渠深不变，不准往回填土，只能 挖土，试求当截面梯形的下底边长为多 少时，才能使挖出的土最少？
解析：建立坐标系，设抛物线方程为x2 2 p( y 3)， 2
2 用导数方法证明不等式．其步骤一般是：构造可
导函数 — —研究单调性或最值 — —得出不等关系 — — 整理得出结论．
3与几何图形相关的最值问题．根据几何知识建立
函数关系，然后用导数方法求最值．
题型一 利用导数证明不等式
例1.(2010 全国卷)设函数f x 1 ex. 证明：当x 1时，f x x .
行驶了100 2.5小时， 40
要耗油( 1 403 3 40 8) 2.5 17.5升．
128000
80
故当汽车以40千米 / 小时的速度匀速行驶时，
从甲地到乙地耗油为17.5升．
解析： 2当速度为x千米 / 小时时，汽车从
甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h x升，
依题意得：
h x ( 1 x3 3 x 8) 100
解析： 当 12t 50，即t (1，25]时，
2t 1
2 44
投入50万元改造时取得最大增加值；
当6 12t 50，即t ( 25， )时，
2t 1
44
投入 12t 万元改造时取得最大增加值． 2t 1
评析： 收益问题备受人们的关注，它与数 学密不可分．本例注重知识迁移，通过问题 的解决，培养运用导数的意识和能力．
x 1
评析： 有关“超越型不等式”的证明，构造 函数，应用导数是常用证明方法．
素材1：已知函数f x x3 x.若x1、x2 1,1，
求证：f x1 f x2 1.
证明：求函数f x的导数，f x 3x2 1.
令f x 0，得x 3 ，当x [1， 3 )时，f x 0；
x 1
证明： 当x 1时，f x x ，当且仅当ex 1 x.
x 1
令g x ex x 1，则g x ex 1. 当x 0时g x 0，g x在[0， )上是增函数； 当x 0时g x 0，g x在(，0]上是减函数． 于是g x在x 0处达到最小值，因而当x R时， g x g 0，即ex 1 x. 所以当x 1时，f x x .
3
令g x 0，解得x 2(舍去)或x 2，
解析：又当0 x 2时，g x 0， 当2 x 3时，g x 0.
故g x在0,2上是增函数， 在2,3上是减函数．
所以当x 2时，g x取最大值，
即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广 告促销时，该公司由此获得的收益最大．
题型三 用料最少问题
所以当t 2百万元时，f t 取得最大值4百万元．
即投入2百万元的广告费时， 该公司由此获得的收益最大．
解析： 2设用于技术改造的资金为x(百万元)，
则用于广告促销的资金为3 x(百万元)，
又设由此获得增加的收益是g x，则有
g
x
(
1 3
x3
x2
3x)
3
x
2
53
x
3
1 x3 4x 3(0 x 3)，所以g x x2 4.
2 问题求解中所得出的数学结果要检验它是否符合 问题的实际意义； 3 在函数定义域内只有一个极值，
则该极值就是所求的最大(小)值．
2．近几年高考中和导数有关的综合题主要有以下几类
1 求参数的取值范围．多数给出单调性，利用导数
研究函数单调性的逆向思维问题，灵活运用等价转 化、分类讨论、数形结合等思想方法，建立关于字 母参数的不等关系．
5 1 x3 24000x 50000.
5 令y 3 x2 24000 0，得x 200.
5 所以当每月生产200吨产品时，利润达到最大， 最大利润是315万元．
4.设矩形ABCD的A、B两点在y sin x(0 x )的图
象上，C、D两点在x轴上，且D
x0, 0
(0
因为h x在0,120上只有一个极小值，所以它
是最小值．故当汽车以80千米 / 小时的速度匀速
行驶时，从甲地到乙地耗油最少，为11.25升．
备选例题 设函数f x ax3 bx2 cx d
(a、b、c、d R)的图象关于原点对称，
且x 1时f x取极小值 2 .
3
1求a、b、c、d的值；