苏教版高中数学选修4-6：质因数分解定理_课件2

p 2 2
p k k
, i

0, i
1, 2,
,k,
则
(a, b)

p 1 1
p 2 2
pkk ,
[a,b]
p p 1 2 12
p k k
,
其中 i min(i , i ),i max(i , i ), i 1, 2, , k.
定理4 质数的个数是无穷的。
典例分析
因此,原题等式为： 0.75×0.14×1.69×0.33 =0.35×0.3×1.43×0.39 或 1.69×0.33×0.3×0.35=1.43×0.39×0 .75×0.14
补充：用 (a)表示正整数a的所有正因数的个数，
n
n
若 a pii，则 (a) (i 1).
（2）
其中 pi p j (i j)
．
（2）叫做的标准分解式，为方便插入若干质 数的零次幂把表示成：
a

p p 1 2 12
p l l
,i

0, i
1, 2,
, l.
知识梳理
推论3.2 设a是一个大于1的整数，且
a

p p 1 2 12
p k k
,i

0, i
1, 2,
典例分析
例2： 将0.14，0.23，0.35，0.3，0.75， 0.39，1.43，1.69，分成两组（每组四数）， 使它们的乘积相等。
根据所给数的特点，把它们都扩大100倍 将小数化成整数：14，33，35，30，75，39， 143，169，然后，只需将这些数分成等积的 两组即可。
典例分析
典例分析
例1 ：已知质数p大于等于5，且2p+1也是质数， 证明4p+1必是合数。
证法一： 质数p≥5,所以p=3q+1或者3q+2,q是正整数。 若p= 3q+1,则2p+1=2(3q+1)+1=6q+3=3(2q+1) 是合数,不符合已知条件。 所以只有p=3q+2,此时 4p+1=4(3q+2)+1=12q+9=3(4q+3)是3和 4q+3(≥7)的倍数,当然是一个合数。
i 1
i 1
补充：用 (a)表示正整数a的所有正因数的和， 若aຫໍສະໝຸດ n i 1pi，i 则
(a)
n i1
p i i
1
1.
pi 1
补充：用1 (a )表示正整数a的所有正因数的乘积，
则 1(a) a (a) .
谢谢欣赏！
要使这两组数的乘积相等,这两组数 中的每个因数虽然不一定相等,但是它们 所含有的质因数必须相同。因此,先将这 八个整数分解质因数: 14=2×7,33=3×11,35=5×7,30=2×3×5, 75=3×5×5,39=3×13,143=11×13,169=1 3×13.
典例分析
其中质因数3,5,13各有四个,质因数 2,7,11各有两个,这样所分的每组四个数 中质因数3,5,13各两个,质因数2,7,11各 一个。 再按上述进行组合即得: 75×14×169×33=35×30×143×39.
,k,
则a的正因数d可以表示成
d

p 1 1
p 2 2
p k k
,i

i

0, i
1, 2,
,k
的形式，而且当d可以表示成上述形式时，d是a的正
因数。
知识梳理
推论3.3 设a，b是任意两个正整数，且
a

p p 1 2 12
p k k
,i

0, i
1, 2,
,k,
b

p 1 1
质因数分解定理
知识梳理
一、质数
定义 一个大于1的整数，如果它的正因数只有1
及它本身，就叫作质数（素数）；否则叫作合数 。
定理1 设a是任一大于1的整数，则a的除1外最小正 因数q是一质数，并且当a是合数时，q a.
知识梳理
定理2 若p是一质数，a是任一整数，则a能被p整除 或a与p互质。
推论2.1 设 a1 , a2 , , an 是n个整数，p是质数， 若 p a1a2 an ，则p一定能整除某一ak.
典例分析
证法二： 因为p(2p+1)(4p+1) =8p³+6p²+p =8p+0+p=0(mod3) (用到了p³=p(mod3)) 即3整除p(2p+1)(4p+1),由于p，2p+1是质数， 且都大于3，因此3整除4p+1，4p+1当然也大 于3，因此它是合数。
知识梳理
二、算术基本定理
定理3 任一大于1的整数能表示成质数的乘积， 即任一大于1的整数
a p1 p2 pn , p1 p2 pn , (1)
其中 p1, p2 , , pn 是质数，并且若
a q1q2 qm , q1 q2 qm ,
其中q1, q2 , , qm 是质数，则 m n, qi pi ,i 1, 2, , n .
知识梳理
推论3.1 任一大于1的整数a能够唯一写成