稳态导热例题

“稳态导热”例题
例题1：某加热炉炉墙由厚460mm 的硅砖、厚230mm 的轻质粘土砖和厚5mm 的钢板组成，炉墙内表面温度为1600℃，外表面温度为80℃，三层材料的导系数分别为 1.85 W/(m ∙
K)、0.45 W/(m ∙
K)和40 W/(m ∙
K)。

已知轻质粘土砖最高使用温度为1300℃，求该炉墙散热的热流密度？并确定轻质粘土砖是否安全？
解： (1) 3
322114131
4
1λδλδλδλδ++-=
-=Φ=
∑=w w i i i
w w t t t t A
q 2
W/m 200040
/05.045.0/23.085.1/46.080
1600=++-=
(2) 1
12
1λδw w t t q -=
1300110285
.146.0200016001112<=⨯-=-=⇒λδq
t t w w ℃
因此，轻质粘土砖是安全的。

例题2：某炉壁由厚度=1
δ250mm 的耐火粘土制品层和厚度=2
δ500mm 的红砖层组成。

内壁温度=w1t 1000℃，外壁温度=w3
t 50℃。

已知耐火粘土制品的导热系数可表示为
t
000233.028.01+=λ，红砖的导热系数近似为
7.02
=λW/(m ∙
K)。

试求稳定运行时，该炉壁单位面积上的散热损失和层间接触界面的温度。

解：由于接触界面温度w2
t 未知，因此无法计算耐火粘土制品层的平均温度，进而无法求得该层的导热系数。

现用工程计算中广泛应用的试算法求解。

假设接触界面温度600w2
=t ℃，则耐火粘土制品层的导热系数为
)
K W/(m 466.0 ]2/)6001000[(000233.028.0 ]
2/)[(000233.028.0000233.028.0w2w11∙=+⨯+=++=+=t t t λ
两层炉壁单位面积的散热损失为
2
3
32
2
11w3
w1 W/m 760 7
.010500466.01025050
1000=⨯+
⨯-=
+-=
--λδλδt t q
校核所假设接触界面的温度w2
t ，得
1
1w2
w1/λδt t q '-=
℃ 593 466
.01025076010003
11w1w2
=⨯⨯
-=-='-λδq t t
593w2
='t ℃与假设600
w2
=t
℃相差不大，可认为上述
计算有效，即炉壁单位面积上的散热损失
=q 760 W/m 2
；层间接触界面的温度=w2
t 593℃。

例题3：某过热器出口处管道内壁面温度为550℃，外壁面温度为557℃，管壁外径为42mm ，壁厚为5mm ，该壁面导热系数为23 W/(m ∙
K)，求每米长管道所传递的热量？如果管内结水垢为1mm ，其导热系数为 1.16 W/(m ∙
K)，若水垢内表面温度仍为550℃，单位管长的热流量还想保持不变，求此时管道的外壁面温度？并据此结果说明其危害性。

解：(1)结垢前： W/m 3718524242ln 2314.321550
557ln
21
1
2121=⨯-⨯⨯-=-=Φ=d d t t L
q w w l
πλ
(2)结垢后：2
3
212121ln 21
ln 21d d d d t t q w w
l
πλπλ+-'=
)ln 21
ln
21(2
32121
21d d d d q t t l w w
πλπλ++='⇒
即
590
)1
252425
242ln 16.114.321524242ln 2314.321(3718550 1=⨯-⨯-⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+='w
t ℃
由计算可知，管内壁结垢后其温度在为升高，长期如此，易使管壁过热而爆管，影响安全运行。

例题4：一主蒸气管道，蒸气温度为540℃，管子外直径为273mm ，管外包裹厚度为δ的水泥蛭石保温层，外侧再包裹厚度为15mm 的保护层。

按规定，保护层外侧温度为48℃，管道单位长度的散热损失不超过442W 。

已知水泥蛭石保温层和保护层的导热系数分别为0.15 W/(m ∙
K)和0.192 W/(m ∙
K)，试求水泥蛭石保温层的最小厚度min
δ。

解:该蒸气管道单位长度的散热损失可表示为
0.192
3.142)]
2273/()1522273ln[(105.014.32]273/)2273ln[(48405 2)
ln(2)ln(2)ln(2)ln(2
23112w3
w1223112w3w1L ⨯⨯+⨯+++
⨯⨯+-=
+-=
+-=
δδδπλπλπλπλ/d d /d d t t /r r /r r t t q
采用试算法求水泥蛭石保温层的最小厚度δ。

假设m m 150=δ，代入上式得 W/m 442 W/m 421L
<=q
再假设m m 140=δ，代入上式得
W/m
5.441L =q
这与规定的442W/m 相近似，因此取水泥蛭石保温层的最小厚度mm 140min
=δ。

例题5：一蒸气管道外敷设两层保温材料，其厚度δ相等，第二层的平均直径是第一层平均直径的2倍，而第二层的导热系数是第一层的1/2。

若把两层保温材料互换位置，其他条件不变，试问每米管长的散热损失改变多少？
解：利用多层长圆管壁热流量的简化计算式可得
L d r L d r t t A r A r t t Φ222
111w3
w1m222m111w3w1A '∆+'∆-=
'∆+'∆-=
πλπλλλ L d r L d r t t A r A r t t Φ212
1
21w3
w1m222m121w3w1B '∆+'∆-=
'∆+'∆-=
πλπλλλ
因此比较上面两式可得
1
22
12
121B
A 1d d d d ΦΦ''+''+
=
λλλλ
根据题意，有1
2
2d d '='及2
/12
λλ
=，代入上式得
25.1)
2/1(212
/12B A =⨯++=ΦΦ
因此，导热系数小的保温材料安置在内层有利于提高保温效果。

例题 6. 一具有内热源的无限大平壁，导热系数为50K)W/(m ∙
，厚度为50mm 。

稳态下，该大平壁内一维温度场的表达式为2
bx a t +=，其中系数200=a ℃，2000-=b ℃/m 2，x 的单位为m 。

试求：(1) 该平壁内热源的热量? (2) 大平壁的热流密度与内热源的关系。

例题7. 储存60-℃低温液体的球形罐直径为
2m ，其外包覆有厚0.4m 、导热系数为0.04K)W/(m ∙
的软木保温层，环境温度为30℃。

低温液体与内壁金属壳体间换热的表面传热系数为850)K W/(m 2
⋅，球形罐外表面与环境换热的表面传热系数为15)K W/(m 2
⋅。

由于软木保温层的密封性不好，环境中的水蒸气渗入软木层，并且在某位置处结冰。

假设软木保温层的导热系数不受水蒸气及所形成的冰层的影响，且该球形罐壳体的厚度及其热阻均可不计，试确定软木层中冰层(达到0℃)的位置？
解：(1)已知条件：m r 11=，m r 4.14.012=+=，90)60(3012=--=-=∆f f t t t ℃，
04.0=λW/(m ﹒K)，8501=h W/(m 2﹒K)，152=h W/(m 2﹒K)。

该球形罐的传热过程热阻
式为：
W
157.6 154.114.341
850114.34104.014.344.1/11/190
41
414/1/1222
2212121=⨯⨯⨯+
⨯⨯⨯+⨯⨯-=
+
+-∆=
Φh r h r r r t
πππλ
(2)根据串联热路特点，求球形罐内、外壁面温度：
内壁面温度1t ： 985.59 )60(850114.346
.1574 4121
12111
2111-=-+⨯⨯⨯=+Φ=⇒-=
Φf f t h r t h r t t ππ℃ 外壁面温度2t ：
573.2915
4.114.346
.157304 412222222
2222=⨯⨯⨯-=Φ-=⇒-=
Φh r t t h r t t f f ππ℃ (3)根据球壳一维稳态温度场表达式，求保温材料中冰层，即0℃所在位置：
⇒--=--212212/1/1/1/1r r r r t t t t 2
212121
)11(1r r r t t t t r +---= 8086
.04.11
)4.111 1 (573.29985.59573.290=+
----=
237.1=⇒r m
因此，从外层算起，冰层位置163.0237.14.12=-=-=r r δm
例题8. 一厚度为7cm 的大平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为30℃的流体中，其内热源热量为5103⨯W/m 3。

已知该平壁材料的导热系数为18K)W/(m ∙，平壁与流体间的对流表面传热系数为450)K W/(m 2⋅，试确定该平壁中的最高温度位置及其温度值？
解：(1) 该题为具有内热源的一维平壁稳态导热问题，导热微分方程式为：
02
2=Φ
+λ dx
t d 边界条件为：0=x ，
0=dx
dt
； δ=x ，∞+Φ==t t t w λ
2 （根据热平衡求得：δΦ=-∞ )(t t h w ) 解方程，并代入边界条件得温度场为：
∞+Φ+-Φ=t h
x t δδλ )(222 (2) 该平壁中最高温度在0=x 处(即
0=dx
dt
)： 117.5 30450
)107()103()107(182103225252=+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+Φ+Φ=--∞t h t δδλ ℃。