高考数学题2023最后一题

高考数学题2023最后一题
22.（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<；
（2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．
【答案】（1）证明见详解（2）()
,-∞+∞【解析】【分析】（1）分别构建()()sin ,0,1F x x x x =-∈，()()2sin ,0,1G x x x x x =-+∈，求导，
利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；
（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究()f x 在()0,1上的单调性，求导，分类讨论202a <<和22a ≥，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【详解】（1）构建()()sin ,0,1F x x x x =-∈，则()1cos 0F x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立，
则()F x 在()0,1上单调递增，可得()()00F x F >=，
所以()sin ,0,1x x x >∈；
构建()()()22sin sin ,0,1G x x x x x x x x =--=-+∈，
则()()21cos ,0,1G x x x x '=-+∈，
构建()()(),0,1g x G x x '=∈，则()2sin 0g x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立，则()g x 在()0,1上单调递增，可得()()00g x g >=，
即()0G x '
>对()0,1x ∀∈恒成立，则()G x 在()0,1上单调递增，可得()()00G x G >=，
所以()2
sin ,0,1x x x x >-∈；综上所述：sin x x x x 2-<<.
（2）令210x ->，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-，
若0a =，则()()()2ln 1,1,1f x x x =--∈-，
因为ln y u =-在定义域内单调递减，21y x =-在()1,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，则()()2ln 1f x x =--在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，故0x =是()f x 的极小值点，不合题意，所以0a ≠.
当0a ≠时，令0
b a =>因为()()()()()222
cos ln 1cos ln 1cos ln 1f x ax x a x x bx x =--=--=--，且()()()()
()22cos ln 1cos ln 1f x bx x bx x f x ⎡⎤-=----=--=⎣⎦，所以函数()f x 在定义域内为偶函数，
由题意可得：()()22sin ,1,11
x f x b bx x x =--∈'--，（i ）当202b <≤时，取1min ,1m b ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭，()0,x m ∈，则()0,1bx ∈，
由（1）可得()()()2222222222sin 111x b x b x x f x b bx b x x x x
+-'=-->--=---，且22220,20,10b x b x >-≥->，
所以()()
2222201x b x b f x x +-'>>-，
即当()()0,0,1x m ∈⊆时，()0f x ¢>，则()f x 在()0,m 上单调递增，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0m -上单调递减，
所以0x =是()f x 的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当22b >时，取()10,0,1x b ⎛
⎫∈⊆ ⎪⎝⎭
，则()0,1bx ∈，由（1）可得()()()2233223222222sin 2111x x x f x b bx b bx b x b x b x b x b x x x '=--
<---=-+++----，构建()33223212,0,h x b x b x b x b x b ⎛
⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭
，则()3223132,0,h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭
，
且()33100,0h b h b b b ⎛⎫''=>=-> ⎪⎝⎭，则()0h x '>对10,x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭
恒成立，可知()h x 在10,b ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭上单调递增，且()21020,20h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以()h x 在10,b ⎛
⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点10,n b ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，当()0,x n ∈时，则()0h x <，且20,10x x >->，
则()()3322322201x f x b x b x b x b x
'<-+++-<-，即当()()0,0,1x n ∈⊆时，()0f x '<，则()f x 在()0,n 上单调递减，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0n -上单调递增，
所以0x =是()f x 的极大值点，符合题意；
综上所述：22b >，即22a >，解得a >a <，
故a 的取值范围为(),-∞+∞.【点睛】关键点睛：
1.当202a <≤时，利用()sin ,0,1x x x <∈，换元放缩；
2.当22a ≥时，利用()sin ,0,1x x x x 2-<∈，换元放缩。