数学立体几何多选题的专项培优练习题(含答案

数学立体几何多选题的专项培优练习题(含答案
一、立体几何多选题
1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正
确的是（ ）
A ．异面直线1A
B 与1AD 所成的角是3
π
B ．1BD ⊥平面11A
C D
C ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为3
D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23
【答案】ABD 【分析】
选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体
11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线
长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】
A ：正方体1111ABCD A
B
C
D -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线
1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113
A BC π
∠=
，正确；
B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111D
C B A ，11A C ⊂平面1111
D C B A ，即111AC B B ⊥，又
11
11AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确；
C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为
1
3
4
ACB S
=
，错误；
D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()()
2
2
2
2
2
2
6++=2
的正四面体11A BDC -的高为2
2
222262213⎛
⎫--⨯= ⎪⎝
⎭，故正四面体11A BDC -的高等
于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的2
3
，正确. 故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断C 、D 的正误.
2．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为23的等边三角形，侧棱长为43，则（ ）
A ．直线1A C 与直线1B
B 之间距离的最大值为3
B ．若1A 在底面AB
C 上的投影恰为ABC ∆的中心，则直线1AA 与底面所成角为60︒ C ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与1A C 所成的角为30
D ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π 【答案】AD 【分析】
建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】
如图示，以A 为原点，AC 为y 轴正方向，Ax 为x 轴正方向，过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系，则()()()
0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()
100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++
所以()()()
1
000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---==
对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量，则有：11·0·
0AC n BB n ⎧=⎪⎨
=⎪⎩，
即()()
000000230
0x x y y zz x x y y zz ⎧-+--=⎪⎨++=⎪⎩解得：
()00,0n z x =- 设直线1A C 与直线1BB 之间距离为d ，则2
2
0112
22200009|
|||z A B n
d d x z n x z ==∴=++ 22009x d ≥∴≤，即3d ≤，故A 正确；
对于B ：若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则()
11,3,211A 底面法向量()()
10,0,1,1,3,211m AA ==，设直线 1AA 与底面所成角为θ，则：
121133
sin |cos ,|143
AA n θ==
=⨯，故B 错误； 对于C ： 三棱柱的侧棱垂直于底面时，则
(
)()()
1110,0,43,3,3,43,0,23,43,A B C
则()()1
3,3,0,0,23,43,AB AC ==-
设异面直线AB 与1A C 所成的角为θ，则
1
1
15cos |cos ,|||10||||
23215AB AC AB AC AB AC θ====⨯,故C 错误；
对于D ：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O 为上下底面中心DD 1连线的中点,所以外接球的半径()
2
22324R =+=，所以2464S R ππ==.
故D 正确
故选：AD 【点睛】
向量法解决立体几何问题的关键：
(1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.
3．在正三棱柱111ABC A B C -中，AC =11CC =，点D 为BC 中点，则以下结论正
确的是（ ） A ．1111
22
A D A
B A
C AA =
+-
B ．三棱锥11D AB
C -的体积为
6
C ．1AB BC ⊥且1//AB 平面11AC D
D ．ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分 【答案】ABD 【分析】
A ．根据空间向量的加减运算进行计算并判断；
B ．根据1111D AB
C A DB C V V --=，然后计算出对应三棱锥的高A
D 和底面积11
DB C S
，由此求解出三棱锥的体积；C ．先假设1AB BC ⊥，
然后推出矛盾；取AB 中点E ，根据四点共面判断1AB //平面11AC D 是否成立；D ．将问题转化为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”的轨迹，然后利用抛物线的定义进行判断. 【详解】
A ．()
11111111
222
A D A A AD AD AA A
B A
C AA AB AC AA =+=-=
+-=+-，故正确； B ．1111D AB C A DB C V V --=，因为D 为BC 中点且AB AC =，所以AD BC ⊥， 又因为1BB ⊥平面ABC ，所以1BB AD ⊥且1BB BC B =，所以AD ⊥平面11DB C ，
又因为AD ==
=
11
11112DB C S BB B C =
⨯⨯=
所以1111
11
1
13
3226
D AB C A DB C DB C V V AD S --==⨯⨯=⋅=
，故正确；
C ．假设1AB BC ⊥成立，又因为1BB ⊥平面ABC ，所以1BB BC ⊥且111BB AB B =，
所以BC ⊥平面1ABB ，所以BC AB ⊥，显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以1AB BC ⊥不成立；
取AB 中点E ，连接11,,ED EA AB ，如下图所示：
因为,D E 为,BC AB 中点，所以//DE AC ，且11//AC A C ，所以11//DE AC ，所以
11,,,D E A C 四点共面，
又因为1A E 与1AB 相交，所以1AB //平面11AC D 显然不成立，故错误；
D ．“ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点”即为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”，
根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，故正确； 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：求解空间中三棱锥的体积的常用方法：
（1）公式法：直接得到三棱锥的高和底面积，然后用公式进行计算；
（2）等体积法：待求三棱锥的高和底面积不易求出，采用替换顶点位置的方法，使其求解高和底面积更容易，由此求解出三棱锥的体积.
4．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c ．点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为A S ，B S ，C S ，D S ．在下列所给的命题中，正确的有（ ） A ．2A BCO D S S
S ⋅=； B ．3
3
3
3
A B C D S S S S <++；
C ．若三条侧棱与底面所成的角分别为1α，1β，1γ，则222
111sin sin sin 1αβγ++=；
D ．若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为2α，2β，2γ，则
22cos α+2222cos cos 1βγ+=．
【答案】ACD 【分析】
由Rt O OA '与Rt O AD '相似，得边长关系，进而判断A 正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得C 正确；构造长方体，建立直角坐标系，代入夹角公式计算可得D 正确；代入特殊值，可得B 错误. 【详解】
由三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，
则将三棱锥A BCD -补成长方体ABFC DGHE -，连接DO 并延长交BC 于O '， 则AO BC ⊥．
对A ：由Rt O OA '与Rt O AD '相似，则2O A O O O D '''=⨯ 又1
2
A S BC O D '=
⋅，1
2
BCO
S BC O O '=
⋅， 2
22211
24
D
S BC O A BC O A ⎛⎫''=⋅=⋅ ⎪⎝⎭
所以2
A BCO
D S S
S ⋅=，故A 正确．
对B ：当1a b c ===时，333
18
B C D S S S ===
，则333
38B C D S S S ++=，
而3
3
328A S ⎛==> ⎝⎭
，此时3333A B C D S S S S >++，故B 不正确． 对D ：分别以AB ，AC ，AD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．
设(),,M x y z ，则(),,AM x y z =，AM =
(),0,0AB a =，()0,,0AC b =，()0,0,AD c =
所以2
2
2
222
222cos cos cos AM AB AM AC AM AD AM AB
AM AC
AM AD
αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪⋅⋅⋅⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
2222
2
2
1x y z AM
AM
AM
=
+
+
=，所以D 正确．
对C ：当M 与O 重合时，AO ⊥面BCD ，
由D 有222
222cos cos cos 1αβγ++=，
由各侧棱与底面所成角与侧棱与所AO 成角互为余角，可得C 正确． 故选：ACD.
【点睛】
关键点睛：本题考查空间线面角、线线角、面积关系的问题，计算角的问题关键是建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用数量积的公式代入计算，解决这道题目还要结合线面角与线线角的关系判断.
5．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，中，E 为棱1CC 上的中点，F 为棱
1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F ，B ，E ，G ，H 为过三点B ，E ，F 的平
面BMN 与正方体1111ABCD A B C D -的棱的交点，则下列说法正确的是（ ）
A ．//HF BE
B ．三棱锥的体积14B BMN V -=
C ．直线MN 与平面11A B BA 所成的角为45︒
D ．11:1:3D G GC = 【答案】ABD 【分析】
面面平行性质定理可得出A 正确；等体积法求得B 正确；直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1B MN ∠，求其正切值不等于1即可得出C 错误；利用面面平行性质定理和中位线求出11,D G GC 长度即可得出D 正确. 【详解】
解：对于A.在正方体1111ABCD A B C D -中平面11//ADA D 平面11BCB C ， 又平面11
ADA D 平面BMN HF =，平面11BCB C ⋂平面BMN BE =，
有平面与平面平行的性质定理可得//HF BE ，故正确； 对于B.因为1:1:2A F FA =，所以1113
32
B M A B ==， 又E 为棱1C
C 上的中点，所以14B N =,
所以1111234432B BMN N B BM
V V --⎛⎫
==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
，故正确； 对于C.由题意及图形可判定直线MN 与平面11A B BA 所成的角为1B MN ∠， 结合B 选项可得1114
tan 13
B N B MN B M ∠=
=≠，故错误； 对于D.同A 选项证明方法一样可证的11//GC B M ，
因为E 为棱1CC 上的中点，1C 为棱1B N 上的中点，所以1113=
22
GC B M = 所以11
G=
2
D ，所以11:1:3D G GC =，故正确. 故选：ABD 【点睛】
求体积的常用方法：
（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；
（2）等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换；
（3）割补法：首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.
6．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，
12C E EC →
→
=，12BF FB →
→
=.动点M 在侧面11ADD A 内(包含边界)运动，且满足直线
//BM 平面1D EF ，则（ ）
A ．过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为等腰梯形
B ．三棱锥1D EFM -的体积为定值
C ．动点M 10
D ．过B ，
E ，M 的平面截正方体所得截面面积的最小值为10【答案】BCD 【分析】
由题做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，进而计算即可排除A 选项；根据//BM
平面1D EF ，由等体积转化法得1
1
1
1
D EFM M D EF B D EF D BEF
V V V V ----===即可得B 选项正确；取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知
M 的轨迹为线段HI 10，故C 选项正确；过M 点做BE 的平行线交1AA 于
P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，易知过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行
四边形BPOE ，进而得当H 位于点I 时，截面面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅= 【详解】
解：对于A 选项，如图，取BF 中点G ，连接1A G ，由点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，
12C E EC →→=，12BF FB →→
=，故四边形11A D EG 为平行四边形，故11//AG
D E ，由于在11A B G △，F 为1B G 中点，当N 为11A B 中点时，有11////NF A G D E ，故过1D ，E ，
F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，此时2
21335322D N ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
，223110EF =+=1D EFN 不是等腰梯形，故A 选项错误；
对于B 选项，三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积，由于//BM
平面
1D EF ，故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积，三棱锥1B D EF -的
体积等于三棱锥1D BEF -的体积，而三棱锥1D BEF -的体积为定值，故B 选项正确；
对于C 选项，取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知1////HB AG NF ，1//BI D F ，由于1,HI BI I NF D F F ==，故平面//BHI 平面1D EF ，故M 的轨迹为线段HI ，其长度为10，故C 选项正确；
对于D 选项，过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，则过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，易知当H 位于点I 时，平行四边形BPOE 边BP 最小，且为AB ，此时截面平行四边形BPOE 的面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅=，故D 选项正确；
故选：BCD
【点睛】
本题解题的关键在于根据题意，依次做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而讨论AD 选项，通过//BM 平面1D EF ，并结合等体积转化法得
1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确，通过构造面面平行得M 的轨迹为线段HI ，进而讨论C 选项，考查回归转化思想和空间思维能力，是中档题.
7．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，P 、Q 、R 分别是AB 、1BB 、1A C 上的动点，下列结论正确的是（ ）
A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥
B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥
C ．当1AR A C ⊥时，1AR
D R ⊥
D ．当1
13AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABCD
【分析】
本题先建立空间直角坐标系，再运用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可.
【详解】
如图所示，建立空间直角坐标系，设(2,,0)P a ，023a ⎡⎤∈⎣⎦，，(2,23,)Q b ，[]
0,2b ∈，
设11A R AC λ=，得到(22,23,22)R λλλ--，
[]
0,1λ∈. 1(2,,2)D P a =-，(2,0,)CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确； 1(22,23,2)D R λλλ=--，12(22)2D R CQ b λλ⋅=--，取22b
λ=
+时，1D R CQ ⊥，B 正确； 1AR A C ⊥，则1
(2,23,22)(2,23,2)412440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=+-+=，解得：15λ=
，此时122328232(,,)(,,)05555
AR D R ---⋅=⋅=，1AR D R ⊥，C 正确； 113AC A R =，则4234(,,)333
R ，14232(,,)333D R =-，设平面1BDC 的法向量为(,,)n x y z =，则100
n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(3,1,3)n =-，故10n D R ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确.
故选：ABCD.
【点睛】
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，是偏难题.
8．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，以下结论正确的是（ ）
A ．四边形1BFD E 不一定是平行四边形
B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等
C ．平面α与平面1DBB 不可能垂直
D ．四边形1BFD
E 面积的最大值为2
【答案】BD
【分析】
由平行平面的性质可判断A 错误;利用正方体的对称性可判断B 正确;当E ､F 为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可判断C 错误;当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积最大,且最大值为2,可判断D 正确.
【详解】
如图所示,
对于选项A,因为平面1111//ABB A CC D D ,平面1BFD E
平面11ABB A BE =,平面1BFD E 平
面111CC D D D F =, 所以1//BE D F ,同理可证1//D E BF ,所以四边形1BFD E 是平行四边形,故A 错误;
对于选项B,由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等,故B 正确; 对于选项C,在正方体1111ABCD A B C D -中,有1,AC BD AC BB ⊥⊥,
又1BD BB B ⋂=,所以AC ⊥平面1BB D ,
当E ､F 分别为棱11,AA CC 的中点时,
有//AC EF ,则EF ⊥平面1BB D ,
又因为EF ⊂平面1BFD E ,
所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ,故C 错误;
对于选项D,四边形1BFD E 在平面ABCD 内的投影是正方形ABCD ,
当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积有最大值,
此时1212S D E BE =⋅=,故D 正确;
故选:BD.
【点睛】
本题考查了正方体的几何性质与应用问题,也考查了点线面的位置关系应用问题,属于中档题.
9．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使得CN A
B ⊥
B ．翻折过程中，CN 的长是定值
C ．若AB BM =，则1AM B
D ⊥
D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π
【答案】BD
【分析】
对于选项A ，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结KN ，BK ，通过假设CN AB ⊥，推出AB ⊥平面BCNK ，得到AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，即可判断； 对于选项B ，在判断A 的图基础上，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，易得1NEC MAB ∠=∠，由余弦定理，求得CN 为定值即可；
对于选项C ，取AM 中点O ，1B O ，DO ，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断； 对于选项D ，易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，说明此时AD 中点E 为外接球球心即可.
【详解】
如图1，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，KN ，BK ,
则易知1//NE AB ，1//NF B M ，//EF AM ，//KN AD ，112
NE AB =，EC AM =
由翻折可知，1MAB MAB ∠=∠，1AB AB =，
对于选项A ，易得//KN BC ，则K 、N 、C 、B 四点共面，由题可知AB BC ⊥，若CN AB ⊥，可得AB ⊥平面BCNK ，故AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，不可能，故A 错误；
对于选项B ，易得1NEC MAB ∠=∠，
在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，
整理得2
22212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 正确；
如图2，取AD 中点E ，取AM 中点O ，连结1B E ，OE ，1B O ，DO ，，
对于选项C ，由AB BM =得1B O AM ⊥，若1AM B D ⊥，易得AM ⊥平面1B OD ，故有AM OD ⊥，从而AD MD =，显然不可能，故C 错误；
对于选项D ，由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得122
BO =，2DM =22
2211221
22B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，表面积为4π，故D 正确.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系，考查了空间想象能力，属于较难题.
10．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）
A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个
B ．若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧
C ．若P
D ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2 D ．若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为
94
π 【答案】ABD
【分析】 若3PD =，由于P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一；()313PD =∈，，则
12PD =，即点P 的轨迹是一段圆弧；当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为3=，可判断C ；平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为32
=
，可得D . 【详解】
如图：
∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2， ∴1122B D =11AA =， ∴()2212213DB =+=，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确； ∵()313PD =，，11DD =，则12PD P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确； 连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为()22213+=C 错误；
由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接2221322122++=，面积为94
π，故D 正确．
故选：ABD ．
【点睛】
本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能
力，属于较难题.。