2018-2019学年山东省济宁市汶上县八年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2018-2019学年山东省济宁市汶上县八年级（上）期中数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的
几何原理是()
A. 三角形的稳定性
B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 垂线段最短
2.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=()
A. 35°
B. 95°
C. 85°
D. 75°
3.小宏从镜子里看到墙上钟表的时刻如图所示，而实际时间为()
A. 2：05
B. 9：55
C. 10：55
D. 3：55
4.已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则这个等腰三角形的周长为()
A. 12
B. 12或15
C. 15
D. 9
5.如图，△ABC中，AB=AC，EB=EC，则由“SSS”可以
判定()
A. △ABD≅△ACD
B. △ABE≅△ACE
C. △BDE≅△CDE
D. 以上答案都不对
6.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图
形是()
A. 甲和乙
B. 乙和丙
C. 只有乙
D. 只有丙
7.如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE//AB，DF⊥AB，
若AE=8，则DF等于()
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
8.如图，小亮从A点出发前进10m，向右转一角度，再
前进10m，又向右转一相同角度，…，这样一直走下
去，他回到出发点A时，一共走了180m，则他每次转动的角度是()
A. 15°
B. 18°
C. 20°
D. 不能确定
9.平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，
CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为()
A. 110°
B. 125°
C. 130°
D. 155°
10.如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射
线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A6B6A7的边长为()
A. 16
B. 32
C. 64
D. 128
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.点M(−5,3)关于x轴的对称点的坐标是______．
12.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则
∠BAC=______ °.
13.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，
CD=4，则△ABC的周长是______．
14.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+
∠β=______．
15.已知A(0,1)、B(3,1)、C(4,3)，如果在y轴的左侧存
在一点D，使得△ABD与△ABC全等，那么点D的坐
标为______．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）
16.如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB于点E，交AC
于点D，若△ABC的周长为26，BC=6，求△BCD的周长．
17.如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一
个平面图形．若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，
BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D
是否相等，并说明理由．
18.如图，在平面直角坐标系中，A(−3,2)，B(−4,−3)，C(−1,−1)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标：
A1______，B1______，C1______；
(2)△A1B1C1的面积为______；
(3)在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
19.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．
(1)若∠ABC=40°、∠ACB=50°，则∠BOC=______ ；
(2)若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BOC=______ ；
(3)若∠A=76°，则∠BOC=______ ；
(4)若∠BOC=120°，则∠A=______ ；
(5)请写出∠A与∠BOC之间的数量关系______ (不必写出理由)．
20.已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，即OF⊥AB，OE⊥AC，
OF=OE，且OB=OC．
(1)如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC；
(2)如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
(3)若点O在△ABC的外部，在图3中画出图形并直接猜想：AB=AC还成立吗？(不
必说明理由)
21.阅读探索：
(1)如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径画弧，分别交射线ON、
OM于C、B两点，在射线OP上任取一点A(点O除外)，连接AB、AC.补全图形并求证：△AOB≌△AOC．
(2)请你参考以上方法，解答下列问题：
如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系并证明．小明为解决上面的问题作了如下思考：利用(1)中的方法，在BC上截取CE=CA，连接DE，得到一对全等的三角形，从而将问题解决．请根据小明的思考写出该问题完整的证明过程．
22.(1)问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为______；②线段AD，BE之间的数量关系为______．
(2)拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在
同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选：A．
根据三角形的稳定性即可解决问题．
本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可．
【解答】
解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，
∴∠ACD=2∠ACE=120°，
∵∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A=∠ACD−∠B=120°−35°=85°，
故选C．
3.【答案】B
【解析】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻成轴对称，所以此时实际时刻为：9：55．
故选：B．
根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．
本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
4.【答案】C
【解析】解：①当3为底时，其它两边都为6，
3、6、6可以构成三角形，
周长为15；
②当3为腰时，
其它两边为3和6，
∵3+3=6
∴不能构成三角形，故舍去．
∴这个等腰三角形的周长为15．
故选：C．
因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，EB=EC，AE=AE
∴△ABE≌△ACE
故选B．
由AE为公共边易得△ABE≌△ACE.注意题目的要求SSS，要按要求做题．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6.【答案】B
【解析】解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等；
图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；
图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；
故选：B．
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查三角形的外角性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
过D作DG⊥AC于G，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出
∠DEG=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DG的长度是4，又DE//AB，所以∠BAD=∠ADE，所以∠BAD=∠CAD，所以AD是∠BAC的平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，得DF=DG．
【解答】
解：如图，过D作DG⊥AC于G，
∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DEG=∠DAE+∠ADE=15°+15°=30°，
DE=AE=8，
则DG=1
2DE=1
2
×8=4，
∵DE//AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DF⊥AB，DG⊥AC，∴DF=DG=4．
故选：B．
8.【答案】C
【解析】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个的正多边形，
∴正多边形的边数为：180÷10=18，
根据多边形的外角和为360°，
∴则他每次转动的角度为：360°÷18=20°，
故选：C．
第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个的正多边形，用180÷10=18，求得边数，再根据多边形的外角和为360°，即可求解．
本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是明确第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．
9.【答案】C
【解析】解：在△ACD和△BCE中，
{AC=BC CD=CE AD=BE
，
∴△ACD≌△BCE(SSS)，
∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCA=∠ECD，
∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，
∴∠BCA+∠ECD=100°，
∴∠BCA=∠ECD=50°，
∵∠ACE=55°，
∴∠ACD=105°
∴∠A+∠D=75°，
∴∠B+∠D=75°，
∵∠BCD=155°，
∴∠BPD=360°−75°−155°=130°，
故选：C．
易证△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质可知：∠A=∠B，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD的度数．
本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，
解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D=75°．
10.【答案】C
【解析】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，
∴∠A1B1O=∠B1A1A2−∠MON=60°−30°=30°，
∴∠A1B1O=∠MON，
∴A1B1=OA1，
∴A1B1=A1A2=OA1，
同理可得A2B2=A2A3=OA2=2OA1，
∴A3B3=A3A4=OA3=2OA2=22⋅OA1，
A4B4=A4A5=OA4=2OA3=23⋅OA1，
…
∴A n B n=A n A n+1=2n−1⋅OA1=2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6=26=64，
故选：C．
由等边三角形的性质得到∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O=30°，则A1B1=A1A2=OA1，同理得A2B2=A2A3=OA2=2OA1，A3B3= A3A4=22⋅OA1，A4B4=A4A5=23⋅OA1，由此得出规律A n B n=A n A n+1=2n−1⋅OA1=2n，即可求解．
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、规律型等知识，熟练掌握等边三角形的性质，找出规律是解题的关键．
11.【答案】(−5,−3)
【解析】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点M(−5,3)关于x轴的对称点的坐标是(−5,−3)，
故答案为：(−5,−3)．
根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．
本题主要考查了两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，比较简单．
12.【答案】69
【解析】解：在△ABC中，AB=AD=DC，在三角形ABD中，∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB=(180°−32°)×1
2
=74°，在三角形ADC中，又∵AD=DC，
∴∠CAD=1
2∠ADB=74°×1
2
=37°．
∴∠BAC=32°+37°=69°．
故答案为：69．
由题意，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，根据等腰三角形的性质可以求出底角，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠CAD，再相加即可求出∠BAC的度数．
本题考查等腰三角形的性质及应用等腰三角形两底角相等，还考查了三角形的内角和定理及内角与外角的关系．利用三角形的内角求角的度数是一种常用的方法，要熟练掌握．
13.【答案】20
【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD⊥BC于点D
∴BD=CD
∵AB=6，CD=4
∴△ABC的周长=6+4+4+6=20．
故答案为：20．
运用等腰三角形的性质，可得BD=CD，再求出△ABC的周长．
本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中的三线合一是解题的关键．
14.【答案】240°
【解析】解：∵等边三角形的顶角为60°，
∴两底角和=180°−60°=120°；
∴∠α+∠β=360°−120°=240°
故答案是：240°．
本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数．
本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等知识，难度不大，属于基础题．
15.【答案】(−1,3)或(−1,−1)
【解析】解：如图所示：
点D的坐标是(−1,3)或(−1,−1)，
故答案为：(−1,3)或(−1,−1)．
根据三边对应相等的三角形全等可确定D的位置，再根
据平面直角坐标系可得D的坐标．
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两
个三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
16.【答案】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵AB=AC，△ABC的周长为26，BC=6，
∴AB=AC=(26−6)÷2=10，
∴△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=6+10=16．
【解析】根据线段垂直平分线性质求出AD=BD，根据三角形ABC周长求出AC，推出
△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+AC，代入求出即可．
本题考查了线段垂直平分线性质和等腰三角形的应用，解此题的关键是求出AC长和得
出△BCD的周长为BC+AC，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
17.【答案】解：相等．理由如下：
连接AC，
在△ACD和△ACB中，
∵{AC=AC AD=AB CD=BC
，
∴△ACD≌△ACB(SSS)，
∴∠B=∠D．
【解析】连接AC，根据SSS证明两个三角形全等即可．
本题主要考查全等三角形的应用，一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
18.【答案】(3,2)(4,−3)(1,−1) 6.5
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，A1(3,2)、B1(4,−3)、C1(1,−1)；
故答案为：(3,2)，(4,−3)，(1,−1)；
(2)S△A
1B1C1=3×5−1
2
×2×3−1
2
×2×3−1
2
×1×5=6.5；
故答案为：6.5．
(3)如图，点P即为所求．
(1)利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
(2)利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
(3)连接BC1交y轴于点P，点P即为所求．
本题考查作图−轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是周围轴对称变换的性质，学会有分割法求三角形面积．
19.【答案】(1)135°；
(2)122°；
(3)128°；
(4)60°；
(5)∠A=2∠BOC−180°．
【解析】解：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC+∠OCB=1
2
(∠ABC+∠ACB)，
(1)当∠ABC=40°、∠ACB=50°时，
∠OBC+∠OCB=1
2
×(40°+50°)=45°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=135°．
故答案是：135°；
(2)若∠ABC+∠ACB=116°，则∠OBC+∠OCB=1
2
×116°=58°，∴在△BOC中，∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=122°．
故答案是：122°；
(3)在△ABC中，∠A=76°，则∠ABC+∠ACB=180°−76°=104°．∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC+∠OCB=1
2
(∠ABC+∠ACB)=52°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=128°．
故答案是：128°；
(4)若∠BOC=120°，则∠OBC+∠OCB=60°，
∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=120°，
∴在△ABC中，∠A=180°−120°=60°．
故填：60°；
(5)设∠BOC=α，
∴∠OBC+∠OCB=180°−α，
∵∠OBC=1
2∠ABC，∠OCB=1
2
∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=2(180°−α)=360°−2α，
∴∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)=180°−(360°−2α)=2α−180°，
故∠BOC与∠A之间的数量关系是：∠A=2∠BOC−180°．
故答案是：∠A=2∠BOC−180°．
(1)在△BOC中利用三角形内角和定理来求∠BOC的度数；
(2)首先在△ABC中利用三角形内角和定理求得(∠ABC+∠ACB)的度数，然后在△BOC 中利用三角形内角和定理来求∠BOC的度数；
(3)首先在△BOC中利用三角形内角和定理来求(∠OBC+∠OCB)的度数；然后利用角平分线的性质和△ABC的内角和定理来求∠A的度数．
(4)根据以上计算结果填空．
本题主要考查了三角形的角平分线的定义，以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题关键．
20.【答案】证明：(1)∵OF⊥AB，OE⊥AC，
∴∠OEC=∠OFB=90°，
在Rt△OEC和Rt△OFB中，
{OB=OC
OF=OE，
∴Rt△OEC≌Rt△OFB(HL)，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
(2)由(1)同理可得Rt△OEC≌Rt△OFB，
∴∠OBF=∠OCE，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBF+∠OBC=∠OCE+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
(3)猜想AB=AC仍成立．
证明：如图：
由(1)同理可得Rt△OEC≌Rt△OFB，
∴∠OBF=∠OCE，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
又∵∠ABC=180°−∠OBF−∠OBC，
∠ACB=1800−∠OCE−∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
【解析】(1)先利用斜边直角边定理证明△OEC和△OFB全等，根据全等三角形对应角相等得到∠B=∠C，再根据等角对等边的性质即可得到AB=AC；
(2)与(1)的证明思路基本相同．
(3)猜想AB=AC仍成立．证明∠ABC=∠ACB即可解决问题．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的判定与性质，等角对等边的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：如图可知OB=OC，
∵OP是∠MON的平分线，
∴∠AOB=∠AOC，
在△AOB和△AOC中，
{OB=OC
∠AOB=∠AOC OA=OA
，
∴△AOB≌△AOC(SAS)；
(2)解：BC=AC+AD，
证明：如图2，在BC上截取CE=CA，连接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD与△ECD中，
{CA=CE
∠ACD=∠ECD CD=CD
，
∴△ACD≌△ECD(SAS)，
∴AD=DE，∠A=∠CED=60°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠EDB=∠CED−∠B=30°，
∴∠B=∠EDB=30°，
∴DE=EB=AD，
∵BC=CE+BE，
∴BC=AC+AD．
【解析】(1)根据以O为圆心任意长为半径作弧，交射线ON，OM为C，B两点，OP是∠MON 的平分线，运用SAS判定△AOB≌△AOC即可；
(2)先在BC上截取CE=CA，连接DE，根据SAS判定△ACD≌△ECD，得出AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，进而得出结论BC=AC+AD．
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据线段的和差关系
进行推导．
22.【答案】(1)①60°②AD=BE
(2)∠AEB=90°，AE=BE+2CM，
理由：如图2，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
{CA=CB
∠ACD=∠BCE CD=CE
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵点A、D、E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
【解析】
解：(1)∵∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB，∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
{AC=BC
∠ACD=∠BCE CD=CE
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°−∠CDE=120°，
∴∠AEB=∠CEB−∠CED=60°；
(2)见答案．
【分析】
(1)易证∠ACD=∠BCE，即可求证△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的大小；
(2)易证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，进而可以求得∠AEB=90°，即可求得DM=ME=CM，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD≌△BCE是解题的关键．
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