必修5课件2.2.3等差数列前n项和
人教版高中数学必修5(A版) 等差数列的前n项和 PPT课件

10 9 S10 10 500 50 7250 (万元 ) 2
答:从2001到2010年,该市在“校校通”工程中的总投入 是7250元。
等差数列的前 n 项和公式:
n(a1 an ) Sn 2 n(n 1) S n na1 d 2
问题:1.两个公式中共有几个量?
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn, 其中p, q为常数, 且p 0, 那么这个数列一定是等 差数列吗?
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn r (r 0), 其中p, q 为常数,且 p 0, 那么这个数列一定是等 差数列吗?
小结:
1.知识点小结:1)等差数列的前
例1:2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校
校通”工程的通知》,某市计划从2001年起用10年的时间,在 全市中小学建成不同标准的校园网。据测算,2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施, 计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起 的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 解:由题可知,从2001年起各年投入的资金构成等差数列, 设为{an },则 a1 500, d 50 则到2010年,投入的资金总额为
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等差数列的前 n 项和公式:
n(n 1) S n na1 d 2
d 2 d n (a1 )n 2 2
当
d 0 时, Sn 是 n的二
次函数形式,且常数项为 0
例2:已知一个等差数列{an }前10项的和是310,前20项的和是
解:由题意知 代入公式 得
1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?
人教A版2019年高中数学必修5讲义:第二章 2.3 等差数列的前n项和_含答案
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等差数列的前n 项和[新知初探]1.数列的前n 项和对于数列{a n },一般地称a 1+a 2+…+a n 为数列{a n }的前n 项和,用S n 表示,即S n =a 1+a 2+…+a n .2.等差数列的前n 项和公式 [小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起,一直到第n 项a n 所有项的和( ) (2)a n =S n -S n -1(n ≥2)化简后关于n 与a n 的函数式即为数列{a n }的通项公式( ) (3)在等差数列{a n }中,当项数m 为偶数2n 时,则S 偶-S 奇=a n +1( ) 解析:(1)正确.由前n 项和的定义可知正确. (2)错误.例如数列{a n }中,S n =n 2+2.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-(n -1)2=2n -1. 又∵a 1=S 1=3,∴a 1不满足a n =S n -S n -1=2n -1,故命题错误. (3)错误.当项数m 为偶数2n 时,则S 偶-S 奇=nd . 答案:(1)√ (2)× (3)×预习课本P42~45,思考并完成以下问题2.等差数列{a n }中,a 1=1,d =1,则S n 等于( ) A .n B .n (n +1) C .n (n -1)D.n (n +1)2解析:选D 因为a 1=1,d =1,所以S n =n +n (n -1)2×1=2n +n 2-n 2=n 2+n 2=n (n +1)2,故选D.3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=12,S 4=20,则S 6等于( )A .16B .24C .36D .48解析:选D 设等差数列{a n }的公差为d , 由已知得4a 1+4×32d =20, 即4×12+4×32d =20,解得d =3,∴S 6=6×12+6×52×3=3+45=48.4.在等差数列{a n }中,S 4=2,S 8=6,则S 12=________.解析:由等差数列的性质,S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等差数列,所以2(S 8-S 4)=S 4+(S 12-S 8),S 12=3(S 8-S 4)=12.答案:12[典例] 已知等差数列{a n }.(1)a 1=56,a 15=-32,S n =-5,求d 和n ;(2)a 1=4,S 8=172,求a 8和d .[解] (1)∵a 15=56+(15-1)d =-32,∴d =-16.又S n =na 1+n (n -1)2d =-5, 解得n =15或n =-4(舍).(2)由已知,得S8=8(a1+a8)2=8(4+a8)2=172,解得a8=39,又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和,已知a2=3,a8=11,则S9等于() A.13B.35C.49 D.63解析:选D∵{a n}为等差数列,∴a1+a9=a2+a8,∴S9=9(a2+a8)2=9×142=63.[典例]已知数列{a n}的前n项和S n=-2n2+n+2.(1)求{a n}的通项公式;(2)判断{a n}是否为等差数列?[解](1)∵S n=-2n2+n+2,∴当n≥2时,S n-1=-2(n-1)2+(n-1)+2=-2n2+5n-1,∴a n=S n-S n-1=(-2n2+n+2)-(-2n2+5n-1)=-4n +3.又a 1=S 1=1,不满足a n =-4n +3,∴数列{a n }的通项公式是a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,-4n +3,n ≥2.(2)由(1)知,当n ≥2时,a n +1-a n =[-4(n +1)+3]-(-4n +3)=-4, 但a 2-a 1=-5-1=-6≠-4,∴{a n }不满足等差数列的定义,{a n }不是等差数列.[活学活用]1.已知数列{a n }的前n 项和为S n =-n 2,则( ) A .a n =2n +1 B .a n =-2n +1 C .a n =-2n -1D .a n =2n -1解析:选B 当n =1时,a 1=S 1=-1;n ≥2时,a n =S n -S n -1=-n 2+(n -1)2=-2n +1,此时满足a 1=-1.综上可知a n =-2n +1.2.已知S n 是数列{a n }的前n 项和,根据条件求a n . (1)S n =2n 2+3n +2; (2)S n =3n -1.解:(1)当n =1时,a 1=S 1=7,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2n 2+3n +2)-[2(n -1)2+3(n -1)+2]=4n +1,又a 1=7不适合上式,所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧7,n =1,4n +1,n ≥2.(2)当n =1时,a 1=S 1=2,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(3n -1)-(3n -1-1)=2×3n -1,显然a 1适合上式,所以a n =2×3n -1(n ∈N *).[典例] (1)等差数列前n 项的和为30,前2n 项的和为100,则它的前3n 项的和为( ) A .130 B .170 C .210D .260(2)等差数列{a n }共有2n +1项,所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和为120,则n 等于________.(3)已知{a n },{b n }均为等差数列,其前n 项和分别为S n ,T n ,且S n T n =2n +2n +3,则a 5b 5=________.[解析] (1)利用等差数列的性质: S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等差数列. 所以S n +(S 3n -S 2n )=2(S 2n -S n ), 即30+(S 3n -100)=2(100-30), 解得S 3n =210.(2)因为等差数列共有2n +1项,所以S 奇-S 偶=a n +1=S 2n +12n +1,即132-120=132+1202n +1,解得n =10.(3)由等差数列的性质,知a 5b 5=a 1+a 92b 1+b 92=a 1+a 92×9b 1+b 92×9=S 9T 9=2×9+29+3=53. [答案] (1)C (2)10 (3)53[活学活用]1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4=8,S 8=20,则a 11+a 12+a 13+a 14=( ) A .18B .17C .16D .15解析:选A 设{a n }的公差为d ,则a 5+a 6+a 7+a 8=S 8-S 4=12,(a 5+a 6+a 7+a 8)-S 4=16d ,解得d =14,a 11+a 12+a 13+a 14=S 4+40d =18.2.等差数列{a n }的通项公式是a n =2n +1,其前n 项和为S n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________.解析:因为a n =2n +1,所以a 1=3, 所以S n =n (3+2n +1)2=n 2+2n , 所以S nn =n +2,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1,首项为3的等差数列,所以前10项和为3×10+10×92×1=75.答案:75[典例] 在等差数列{a n }中,a 1=25,S 17=S 9,求前n 项和S n 的最大值. [解] 由S 17=S 9,得 25×17+17×(17-1)2d =25×9+9×(9-1)2d , 解得d =-2, [法一 公式法] S n =25n +n (n -1)2×(-2)=-(n -13)2+169. 由二次函数性质得,当n =13时,S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1=25>0,由⎩⎪⎨⎪⎧a n =25-2(n -1)≥0,a n +1=25-2n ≤0,得⎩⎨⎧n ≤1312,n ≥1212,即1212≤n ≤1312.又n ∈N *,∴当n =13时,S n 有最大值169.[活学活用]已知{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它的前n 项和S n 有最大值,那么当S n 取得最小正值时,n =( )A .11B .17C .19D .21解析:选C ∵S n 有最大值,∴d <0,则a 10>a 11,又a 11a 10<-1,∴a 11<0<a 10,a 10+a 11<0,S 20=10(a 1+a 20)=10(a 10+a 11)<0,S 19=19a 10>0,∴S 19为最小正值.故选C.层级一 学业水平达标1.已知数列{a n }的通项公式为a n =2-3n ,则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A .-32n 2+n 2B .-32n 2-n 2C.32n 2+n 2D.32n 2-n 2解析:选A ∵a n =2-3n ,∴a 1=2-3=-1,∴S n =n (-1+2-3n )2=-32n 2+n 2.2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 7>0,a 8<0,则下列结论正确的是( ) A .S 7<S 8 B .S 15<S 16 C .S 13>0D .S 15>0解析:选C 由等差数列的性质及求和公式得,S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7>0,S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8<0,故选C.3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于( ) A .63 B .45 C .36D .27解析:选B ∵a 7+a 8+a 9=S 9-S 6,而由等差数列的性质可知,S 3,S 6-S 3,S 9-S 6构成等差数列,所以S 3+(S 9-S 6)=2(S 6-S 3),即a 7+a 8+a 9=S 9-S 6=2S 6-3S 3=2×36-3×9=45.4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5+5a 9=0,且a 9>a 5,则S n 取得最小值时n 的值为( )A .5B .6C .7D .8解析:选B 由7a 5+5a 9=0,得a 1d =-173.又a 9>a 5,所以d >0,a 1<0.因为函数y =d 2x 2+⎝⎛⎭⎫a 1-d 2x 的图象的对称轴为x =12-a 1d =12+173=376,取最接近的整数6,故S n 取得最小值时n 的值为6.5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 5a 3=59,则S 9S 5等于( )A .1B .-1C .2D.12解析:选A S 9S 5=92(a 1+a 9)52(a 1+a 5)=9×2a 55×2a 3=9a 55a 3=95×59=1. 6.若等差数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ,则该数列的公差为________. 解析:数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ,所以当n ≥2时,a n =S n -S n -1=An 2+Bn -A (n -1)2-B (n -1)=2An +B -A ,当n =1时满足,所以d =2A .答案:2A7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S m =-2,S m +1=0,S m +2=3,则m =________.解析:因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列,所以S m m +S m +2m +2=2S m +1m +1,即-2m +3m +2=0,解得m =4. 答案:48.设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是________,项数是________.解析:设等差数列{a n }的项数为2n +1, S 奇=a 1+a 3+…+a 2n +1 =(n +1)(a 1+a 2n +1)2=(n +1)a n +1,S 偶=a 2+a 4+a 6+…+a 2n =n (a 2+a 2n )2=na n +1, 所以S 奇S 偶=n +1n =4433,解得n =3,所以项数2n +1=7,S 奇-S 偶=a n +1,即a 4=44-33=11为所求中间项. 答案:11 79.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足log 2(S n +1)=n +1,求数列{a n }的通项公式. 解:由已知条件,可得S n +1=2n +1,则S n =2n +1-1.当n =1时,a 1=S 1=3,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2n +1-1)-(2n -1)=2n ,又当n =1时,3≠21,故a n =⎩⎪⎨⎪⎧3,n =1,2n ,n ≥2.10.在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项的和,已知a 1+a 3=22,S 5=45. (1)求a n ,S n ;(2)设数列{S n }中最大项为S k ,求k .解:(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2=22,5a 3=45,即⎩⎪⎨⎪⎧a 2=11,a 3=9, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=13,d =-2,所以a n =-2n +15,S n =-n 2+14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7,所以S 7最大,k =7.层级二 应试能力达标1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4=40,S n =210,S n -4=130,则n =( ) A .12 B .14 C .16D .18解析:选B 因为S n -S n -4=a n +a n -1+a n -2+a n -3=80,S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=40,所以4(a 1+a n )=120,a 1+a n =30,由S n =n (a 1+a n )2=210,得n =14.2.在等差数列{a n }中,S n 是其前n 项和,且S 2 011=S 2 014,S k =S 2 009,则正整数k 为( ) A .2 014 B .2 015 C .2 016D .2 017解析:选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数,所以由二次函数的对称性及S 2 011=S 2 014,S k =S 2 009,可得2 011+2 0142=2 009+k 2,解得k =2 016.故选C.3.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 1<0,2S 21+S 25=0,则S n 取最小值时,n 的值为( )A .11B .12C .13D .14解析:选A 设等差数列{a n }的公差为d ,由2S 21+S 25=0得,67a 1+720d =0,又d >0,∴67a 11=67(a 1+10d )=67a 1+670d <0,67a 12=67(a 1+11d )=67a 1+737d >0,即a 11<0,a 12>0.故选A.4.已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3,则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A .2B .3C .4D .5解析:选D ∵a nb n=a 1+a 2n -12b 1+b 2n -12=a 1+a 2n -12(2n -1)b 1+b 2n -12(2n -1)=A 2n -1B 2n -1=7(2n -1)+452n -1+3=14n +382n +2=7+12n +1,∴当n 取1,2,3,5,11时,符合条件,∴符合条件的n 的个数是5. 5.若数列{a n }是等差数列,首项a 1<0,a 203+a 204>0,a 203·a 204<0,则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________.解析:由a 203+a 204>0⇒a 1+a 406>0⇒S 406>0,又由a 1<0且a 203·a 204<0,知a 203<0,a 204>0,所以公差d >0,则数列{a n }的前203项都是负数,那么2a 203=a 1+a 405<0,所以S 405<0,所以使前n 项和S n <0的最大自然数n =405.答案:4056.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4≤4,S 5≥15,则a 4的最小值为________. 解析:S 4=2(a 1+a 4)≤4⇒2a 3-d ≤2,S 5=5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3-d ≤2,所以d -2a 3≥-2,又因为a 3≥3,所以2a 3≥6,所以d ≥4,所以a 4=a 3+d ≥7,所以a 4的最小值为7.答案:77.已知等差数列{a n }的公差d >0,前n 项和为S n ,且a 2a 3=45,S 4=28. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =S n n +c(c 为非零常数),且数列{b n }也是等差数列,求c 的值. 解:(1)∵S 4=28,∴(a 1+a 4)×42=28,a 1+a 4=14,a 2+a 3=14, 又a 2a 3=45,公差d >0,∴a 2<a 3,∴a 2=5,a 3=9,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+d =5,a 1+2d =9,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =4,∴a n =4n -3. (2)由(1),知S n =2n 2-n ,∴b n =S n n +c =2n 2-n n +c , ∴b 1=11+c ,b 2=62+c ,b 3=153+c. 又{b n }也是等差数列,∴b 1+b 3=2b 2,即2×62+c =11+c +153+c, 解得c =-12(c =0舍去).8.在等差数列{a n }中,a 10=23,a 25=-22.(1)数列{a n }前多少项和最大?(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+9d =23,a 1+24d =-22,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=50,d =-3, ∴a n =a 1+(n -1)d =-3n +53.令a n >0,得n <533, ∴当n ≤17,n ∈N *时,a n >0;当n ≥18,n ∈N *时,a n <0,∴{a n }的前17项和最大.(2)当n ≤17,n ∈N *时,|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =na 1+n (n -1)2d =-32n 2+1032n . 当n ≥18,n ∈N *时,|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 17-a 18-a 19-…-a n=2(a 1+a 2+…+a 17)-(a 1+a 2+…+a n )=2⎝⎛⎭⎫-32×172+1032×17-⎝⎛⎭⎫-32n 2+1032n =32n 2-1032n +884. ∴S n=⎩⎨⎧-32n 2+1032n ,n ≤17,n ∈N *,32n 2-1032n +884,n ≥18,n ∈N *.。
优秀课件高中数学必修5:2.3等差数列及其前n项和 课件 (共16张PPT)
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n(n 1) d. 如已知首项和公差选用 Sn na1 2 n ( a1 a n ) 若已知通项公式,则使用 S n 2
同时注意与性质 a1 an a2 an1 a3 an2 的结合应用.
题型二: 等差数列的判定和证明 例 2.已知数列 {an } 前 n 项和 Sn 2n 2 30n, 这个数列是等差数列吗?求出它的通项公式 .
等差数列及其前 n 项和
一、 考试说明: 1、 理解等差数列的概念; 2、 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式; 3、 能在具体问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关的知识解决相应的问题; 4、 了解等差数列与一次函数的关系 . 二、解读考试说明: 等差数列的性质、通项公式及前 n 项和公式是等差数列的重要内容,也是高考的热点, 经常以选择和填空形式出现,也有解答题, 主要考查性质的灵活运用及对概念的理解、函数方程、等价转化等思想方法 . 等差数列的通项公式和前 n 项和公式中五个量 a1 , an , n, d , Sn “知三求二”,常用到解 方程或方程组的方法.
2
变式 1:已知等差数列 {an } 满足 a2 0 , a6 a8 10 (1)求数列的通 {an } 项公式; (2)求 S13 .
a1 d 0 d 解: ( 1)设 an 的首项为 a1 ,公差为 ,由已知条件得 : a1 5d a1 7d 10
解得:பைடு நூலகம்
a1 1 d 1
所以 an 2 n
nn 1 3 1 2 d n n , S13 65 (2) 方法 1: Sn na1 2 2 2
方法 2: a13 2 13 11, S13
方法 3: S13
高中数学 第一部分 第二章 2.3 第三课时 等比数列的前n项和课件 苏教版必修5

(1)列方程组求出a1和q即可.
(2)bn可以转化为两个等比数列的通项公式和一个
常数数列通项公式相加,求和时重新组合即可.
[精解详析]
(1)设等比数列{an}的公比为 q,则 an=a1qn-1,
1 1 a1+a1q=2a1+a1q, 由已知 a1q2+a1q3+a1q4=64 1 2+ 1 3+ 1 4, a1q a1q a1q
①-②得,(1-x)Sn=x+x2+x3+…+xn-nxn+1
x1-xn + = -nxn 1, 1- x x ∴ Sn= [nxn+1-(n+1)xn+1], 2· 1-x nn+1 2 ∴Sn=0 x=0 x n+1 [ nx -n+1xn+1] 2 1-x x=1
1 1 2 2 2 2 2n-1 ①-②得:2Sn=2+22+23+24+…+2n- n+1 2
2n-1 1 1 1 1 =2+2+22+…+ n-1- n+1 2 2 1 1 1 - n-1· 2 2 2 2n-1 3 2n-1 1 1 =2+ 1 - 2n+1 =2-2n-1- 2n+1 1- 2 3 2n+3 =2- n+1 , 2 2n+3 ∴Sn=3- 2n .
2 a1q=2, 化简得 2 6 a1q =64.
又 a1>0,故 q=2,a1=1. 所以 an=2n-1.
1 2 1 1 2 n-1 (2)由(1)知 bn=(an+a ) =an+a2 +2=4 + n-1+2. 4 n n 因此 Tn=(1+4+…+4
n-1
1 1 )+(1+4+…+ n-1)+2n 4
(2)设公比为 q,由通项公式及已知条件得
2 2 a + a q = 10 a 1 + q =10 1 1 1 3 5 ,即 3 5 5 2 a q +a1q =4 a q 1+q =4 1 1
等差数列的前n项和PPT优秀课件5

S n a 1 ( a 1 d ) ( a 1 2 d ) [ a 1 ( n 1 ) d ] S n a n ( a n d ) ( a n 2 d ) [ a n ( n 1 ) d ]
n 个 2 S n ( a 1 a n ) ( a 1 a n ) ( a 1 a n )
(2) 求正整数列中前n个偶数的和.
n(22n) Sn 2 n(n1).
3. 等差数列 5,4,3,2, ···前多少项和是 –
30?
解: a1=5 , d = -1 , Sn = -30
Sn
5nn(n1)(1)30 2
n15或n4(舍)
课堂小结
1.等差数列前n项和Sn公式的推导: 倒序相加法
2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用;
Sn
n(a1 an) 2
Snna1n(n21)d
说明:(1)正确合理的选择公式. (2).注意与通项公式相结合.
课后作业:
1:作业本:§2.3等差数列的前n项和(1) 2: 预习 课本P44,例3,例4
再见
85.每一年,我都更加相信生命的浪费是在于:我们没有献出爱,我们没有使用力量,我们表现出自私的谨慎,不去冒险,避开痛苦,也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑,昂首阔步,作深呼吸,嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌,吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来,你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
题
分析:由于 a1a2a3 34an2an1an146
所以 3(a1an)180
解
从而
Sn
n(a1an) 2
390得n
=
推荐-高二数学人教A版必修5课件2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用

=nd;若项数为2n-1(n∈N*),则S2n-1=(2n-1)an(an为中间项),且S奇-S偶
=an,S偶∶S奇=(n-1)∶n.
(3)设{an},{bn}均为等差数列,An 为数列{an}的前 n 项和,Bn 为数列{bn}
的前 n 项和,则������������������������ = ������������22������������--11.
S6=
.
解析:(1)设公差为d,由题意得S偶-S奇=30-15=5d,故d=3.
(2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,
∴4+(S6-9)=2×5,∴S6=15.
答案:(1)C (2)15
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3
即当 n≤34 时,an>0;
当 n≥35 时,an<0.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)当 n≤34 时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-32n2+2025n. (2)当 n≥35 时,
分析解答本题可用多种方法,根据S17=S9找出a1与d的关系,转化 为Sn的二次函数求最值,也可以用通项公式找到通项的变号点,再 求解.
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高二数学必修5第二章 数列2-3课件(共22张PPT)

2.3 等差数列前n项和公式
第一页,编辑于星期一:一点 二十分。
本节主要学习等差数列前n项和公式及其简单应用。以泰姬陵中的 宝石数为引子,研究求和公式。用高斯小时候的故事来讲解求和公式。 问题探究一:用倒序相加法得出公式并总结变形公式。用例1加以巩 固。问题探究二:公式的灵活应用,知三求二,用变式2、3加以巩固。
第十一页,编辑于星期一:一点 二十分。
第十二页,编辑于星期一:一点 二十分。
(II)在等差数列 an中,已知: d 4 , n 20 , sn 460
求
a1
及
a 20
.
解: 利用 公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1= -15
再根据
a20= 61
第十三页,编辑于星期一:一点 二十分。
例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校 通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校
通”工程中的总投入是多少?
第十四页,编辑于星期一:一点 二十分。
解:根据题意,从2001~2010年,该市每年投入“校校通”工程的经 费都比上一年增加50万元。所以,可以建立一个等差数列{an},表示从 2001年起各年投入的资金,其中 那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为
答:从2001~2010年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。
问题1:图案中,第1层到第21层一共有多少颗宝石?
高中数学必修5第2章 第3节 第1课时等差数列的前n项和

【答案】 C
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2.等差数列{an}中,a1=1,d=1,则 Sn=
.
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【解析】 因为 a1=1,d=1, nn-1 所以 Sn=n+ 2 ×1 2n+n2-n = 2 n2+n nn+1 = 2 = 2 .
【答案】 nn+1 2
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已知等差数列{an}中, (1)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求 d; (2)S5=24,求 a2+a4.
【精彩点拨】 由等差数列的前 n 项和公式及通项公式列方程组求解即可, 同时注意等差数列性质的应用.
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【自主解答】
na1+an n-512+1 (1)由 Sn= = =-1 022,解之得 n=4. 2 2
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5a1+a5 48 法二 由 S5= =24,得 a1+a5= 5 . 2 48 ∴a2+a4=a1+a5= 5 .
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1.在等差数列的通项公式和前 n 项和公式中共涉及五个量:a1,d,n,an, Sn,其中首项 a1 和公差 d 为基本量,且“知三求二”. 2.求解过程中注意利用等差数列的性质以简化计算过程,同时在具体求解 过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.
【提示】
在原来放置的钢管中,从最上面一层开始,往下每一层的钢管
数分别记为 a1,a2,…,a6,则数列{an}构成一个以 a1=4 为首项,以 d=1 为公 差的等差数列,设此时钢管总数为 S6,现再倒放上同样一堆钢管,则这堆钢管 每层有 a1+a6=a2+a5=a3+a4=…=a6+a1=13(根), 此时钢管总数为 2S6=(a1+a6)×6=13×6=78(根), a1+a6 原来钢管总数为 S6= 2 ×6=39(根).
【数学】2.3.2《等差数列前N项和公式》课件(新人教A必修5)

2.已知an 1024 lg 21 n , 2 0.3010),n N ,问: (lg
中,S n为前n项和,公差d 2 3.在等差数列 an
且S 4 1 ,求:a17 a18 a19 a20的值
?
1 1、已知数列a n 且a n 0,n N ,前n项的和s n 满足s n (a n 4) 2 8 ( )求该数列的通项,并 1 判断该数列是否为等差 数列
一.等差数列an 的首项a1 0, 公差d 0时,前n项和S n 有最大值
1、利用S n:S n d n 2 (a1 d )n.借助二次函数最值问题 2 2
2、利用 an:借助通项公式 an的正负情况与前 n项和S n的 变化情况, an 0且an 1 0
二.等差数列anቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的首项a1 0, 公差d 0时,前n项和S n 有最小值
例1:已知数列an 的前n项和为S n n 2 1 n, 求这个数列的通项公式 , 2 并判断这个数列是等差 数列吗?如果是,它的 首项与公差各是多少?
解:根据 Sn a1 a2 an 1 an与Sn 1 a1 a2 an 1 (n1)
1 (2)若有bn a n 30,求数列bn 的前n项和Tn的最值与此时的n值。 2
练习2:已知数列an 的前n项的和为: S n 1 n 2 2 n 3, 4 3 求数列通项公式。
解:根据 S n 1 n 2 2 n 3与S n 1 1 (n 1) 2 2 (n 1) 3(n1) 4 3 4 3
所以数列an 的通项公式为: an 2n 1 2
由此题,如何通过 数列前n项和来求 数列通项公式?
2015年新课标A版高中数学必修五课件:2-3-等差数列的前n项和1

(2)若项数为2n,则 S偶-S奇=a2+a4+a6+…+a2n-a1-a3-a5-…-a2n-1=d+ d+…+d=nd, SS奇 偶=n2n2aa1+2+aa2n2-n1=22aan+n 1=aan+n 1.
第十一页,编辑于星期五:十点 三十八分。
(3)若项数为2n-1,则
第二十五页,编辑于星期五:十点 三十八分。
解得AB= =- 15473. , ∴S28=-73S12+154S20=1092.
第二十六页,编辑于星期五:十点 三十八分。
解法4:∵{an}为等差数列, ∴Sn=na1+nn-2 1d. ∴Snn=a1-d2+d2n. ∴{Snn}是等差数列. ∵12,20,28成等差数列, ∴S1122,S2200,S2288成等差数列. ∴2×S2200=S1122+S2288,解得S28=1092.
规律技巧 应用基本量法求出a1和d是解决此类问题的基本 方法,应熟练掌握.根据等差数列的性质探寻其他解法,可以开 阔思路,有时可以简化计算.
第二十九页,编辑于星期五:十点 三十八分。
三 求数列{|an|}的前n项 【例3】 在等差数列{an}中,已知a1=-60,a11=-30,
求数列{|an|}的前n项和. 【分析】 本题实际上是求数列{an}各项绝对值的和.由
第二十四页,编辑于星期五:十点 三十八分。
解法3:设S28=AS12+BS20,其中A,B∈R. ∵28a1+28×2 27d=A(12a1+12×2 11d)+ B·20a1+20×2 19d, ∴28a1+14×27d=(12A+20B)a1+(66A+190B)d. 比较两边对应项的系数,得1626AA++2109B0B==283,78,
高中数学人教A版必修5课件 2-3 等差数列的前n项和 第10课时《等差数列前n项和的性质与应用》

【练习 2】 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求 Sn 的最大值.
解:解法一:利用前 n 项和公式和二次函数的性质. 由 S17=S9,得 25×17+127×(17-1)d=25×9+92×(9-1)d, 解得 d=-2. ∴Sn=25n+n2(n-1)(-2)=-(n-13)2+169. ∴由二次函数的性质,得当 n=13 时,Sn 有最大值 169.
法三:因为等差数列前 n 项和 Sn=an2+bn=a·nn+ba,根据已知, 可令 An=(7n+2)kn,Bn=(n+3)kn.
∴a5=A5-A4 =(7×5+2)k×5-(7×4+2)k×4=65k,
b5=B5-B4=(5+3)k×5-(4+3)k×4=12k.
∴ab55=6152kk=6152. 法四:由AB22nn--11=abnn,有ba55=AB99=7×9+9+3 2=6152.
解法二:由解法一,得 d=-2. ∵a1=25>0,
由aann=+1=252-5-2n2-n≤10≥,0, 得nn≤≥11321212
.
∴当 n=13 时,Sn 有最大值,最大值为 S13=13×25+13×2 12×(-
2)=169.
解法三:由 S17=S9,得 a10+a11+…+a17=0, 而 a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14, 故 a13+a14=0. 由解法一,得 d=-2<0,a1>0, ∴a13>0,a14<0. 故 n=13 时,Sn 有最大值,最大值为 S13=13×25+13×2 12×(-
2020版新学优数学同步人教A必修五课件:2.3 第1课时 等差数列的前n项和

如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通
项公式要分段表示为 an=
������1,������ = 1, ������������ -������������-1,������ ≥
2.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
课堂篇探究学习
变式训练2已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则 k=( )
前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本
方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
课堂篇探究学习
变式训练1(1)设等差数列{an}的前n项之和为Sn,已知a2=3,a5=9,则S5 等于( )
A.15
B.20
C.25
D.30
(2)若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( )
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
延伸探究在本例中,若条件变为“数列{an}的各项均为正数,前n项和 为Sn,且满足8Sn=(an+2)2”,求数列{an}的通项公式. 解:当n=1时,8a1=(a1+2)2, 解得a1=2. 当n≥2时,8Sn-1=(an-1+2)2, 即 8Sn-1=���������2���-1+4an-1+4,而 8Sn=���������2��� +4an+4, 两式相减,得 8an=���������2��� − ���������2���-1+4an-4an-1, 即���������2��� − ���������2���-1-4an-4an-1=0,
高中数学必修五第二章数列

设等差数列
的前n项和为sn,已知a3=12,s12>0,s13<0,
(1)求公差d的取值范围
(2)指出s1,s2,s3……,s12中哪一个的值最大,并说明理由
2.4等比数列
定义:一般的,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前 一项的比等于同意常数,那么这个数列叫做等比数列,这个 常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+……+【an-(n-1)d】 两式相加得 2sn=n(a1+an) 由此可得 sn=n(a1+an)/2 带入通项公式得 sn=na1+n(n-1)d/2
例题一
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通 知》。
某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间在全 市中小学建成不同标准的校园网。据测算,2001年该市用于“校校通”工程 的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上 一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程 中的总投入是多少?
(1)求AB,BC,CD的长
(2)已AB,BC,CD的长为等差数列的前三项,以第十项为边长的正方形 面积为多少?
AB C
D
2.3等差数列的前n项和
定义:一般的,我们称a1+a2+a3+……+an 为数列 表示,即sn=a1+a2+……+an
的前n项和,用Sn
推理过程: 因为 Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……+【a1+(n-1)d】
高中数学人教A版必修5课件:2.3.1 等差数列的前n项和

-4-
第1课时 等差数列的 前n项和
1 2
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2.等差数列{an}的前 n 项和 设等差数列{an}的公差是 d,则 Sn=
������(������1+������������ ) 2
������(������1 +������������ ) 2
=
������ 6-2 2
53
= −5, 解得n=15.∴a15 =
=
8(4+������8 ) 2
= 172, 解得a8=39.
又 a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. (3)由 ������������ = ������1 + (������-1)������, ������������ = ������������1 + ������ = 7, ������ = 5, 解方程组得 或 ������1 = 3 ������1 = -1.
-12-
第1课时 等差数列的 前n项和
题型一 题型二 题型三
M 目标导航
题型四
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HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点
������
������������ ������, ������
D典例透析
IANLI TOUXI
【变式训练1】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3· 2n+1,则 an= . 解析:当n=1时,a1=S1=7; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3· 2n+1-3· 2n-1-1=3· 2n-3· 2n-1=3· 2n-1(21)=3· 2n-1. 当n=1时,不满足上式. 7,������ = 1, ∴an= 3· 2������ -1 ,������ ≥ 2. 7,������ = 1, 答案: 3· 2������ -1 ,������ ≥ 2
2.3等差数列的前n项和(1)课件(人教A版必修5)

设 Sn,Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前 n 项和, 当 n≤20
nn-1 时,Sn′=-Sn=--60n+ × 3 2
3 2 123 =-2n + 2 n;8 分 当 n>20 时,Sn′=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20
nn-1 20×19 =-60n+ 2 ×3-2×-60×20+ × 3 2
由题目可获取以下主要信息: na1+an 由 Sn= ,an=a1+(n-1)d,联立列方程组. 2 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式,利用 等差数列的性质解题.
[解题过程]
nn-1 (1)∵an=a1+(n-1)d,Sn=na1+ 2 d,
又 a1=1,an=-512,Sn=-1 022, 1+n-1d=-512, ∴ 1 n+ nn-1d=-1 022. 2 解得 n=4,d=-171.
解析: a1+a3+a5=3a3=9,∴a3=3. 又∵a6=9,a3=3,∴d=2,a1=-1. 6×6-1 ∴S6=6×(-1)+ ×2=24. 2
• 已知数列{an}是等差数列, • (1)若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求公差 d; • (2)若a2+a5=19,S5=40,求a10; • (3)若S10=310,S20=1 220,求Sn.
d2 a1- 2
2d
1 a1 d d1 a12 2 =2n-2- d -22- d .
由二次函数的最大值、最小值知识及 n∈N*知,当 n 取 1 a1 最接近2- d 的正整数时,Sn 取到最大值(或最小值),值得注 1 a1 意的是最接近2- d 的正整数有时 1 个,有时 2 个. (2)根据项的正负来定. 若 a1>0,d<0,则数列的所有正数项之和最大; 若 a1<0,d>0,则数列的所有负数项之和最小. ,
等差数列前n项和公式PPT课件

sn
(a1
an)n 2
(补成平行四边形)
.
11
例1. 某长跑运动员7天里每天的训 练量(单位:m)是:
7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米? 解:这位长跑运动员每天的训练量成等差数列,
记为{an}, 其中 a1=7500, a7=10500.
an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有:
an=am+ (n-m) d (2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N*),那么: am+ an = ap+aq
.
2
问题呈现
问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的 主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大奇 迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案之细致令 人叫绝。
的前n项和,则有a1=-10, d=-6-(-10)=4
设该数列前n 项和为54
n(n- 1) 根据等差数列前n项和公式: sn=na1+ 2 d
×4=54成立
整 理 后 ,得 n 2-6 n -2 7=0
解得 n1=9, n2=-3(舍去) 因此等差数列-10,-6,-2,2,...前9项的和是 54.
.
14
小结:
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想.
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量,可以求其余两个 -------知三求二
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因为各圈半径组成首项 20.05 , 公差为0.1 的等差 为 数列, 设圈数为n , 则 59.95 20.05 n 1 0.1 , 解得 n 400 . 显然, 各圈的周长组成首项为 .1 , 公差为 0.2 , 40 项数为 的等差数列 400 .
根据等差数列的求和公 , 得 式
一般地, 等差数列 an 的前n 项和为Sn ,于是
Sn a1 a2 a3 an a1 a1 d a1 n 1d 把项的次序反过来 Sn 又可以写成 , Sn an an1 a1 an an d an n 1d
例3 在等差数列 an 中,已知第1 项到第10 项的和为310 ,
第11 项到第20 项的和为910 , 求第21 项到第30 项的和.
解 设在等差数列 的首项为a1 , 公差为d ,由题意, 得
S10 310 , 即 S 20 S10 910 ,
解得
10 9 10a1 d 310, 2 20 19 20a1 d 310 910, 2
36 35 0 0 555 36 36 2.1 00 2.1 00 2 20756元.
答 欲在 3 年后一次支取本息20000元 , 每月大约 存入 535元 .3 年 期 教育储蓄每月至多存入555元 , 3 年后本息合计约20756元 .
20000 年期教育储蓄每月至多可存入 555元 . 36
400 400 1 S 400 400 40.1 0.2 2 32000 mm.
32000 mm 100 m
答 满盘时卫生纸和长度约 100 m . 为
例 6 教育储蓄是一种零存整 取定期储蓄存款 它享 , 受整存整取利率 利息免税.教育储蓄的对象为在校 , 小学四年级(含四年级) 以上的学生.假设零存整取3 年期教育储蓄的月利率 2.1 ‰. 为 1 欲在 3 年后一次支取本息合计 万元 , 每月大约存 2 入多少元? 2 零存整取3 年期教育储蓄每月至多 存入多少元? 此时 3 年后本息合计约为多少 精确到1 元 ?
根据等差数列 的通项公式an a1 n 1d , 又可得到 nn 1 S n na1 d. 2
例1 在等差数列 an 中,
Hale Waihona Puke 1已知 a1 3 , a50 101 , 求 S50 ;
1 2已知 a1 3 , d , 求 S10 . 2 解 1 根据等差数列前n 项和公式, 得
2 n 15 , 2 2 解 由已知, 得 1 3 a1 n 1 . 2 2
a1
① ②
1 由② , 得 a1 n 2 , 代入 ① 后化简, 得 2 n2 7n 30 0 .所以n 10或 3 舍去, 从而a1 3.
在等差数列的通项公式 与前 n 项和公式中, 含有 a1 , d , n , an , S n 五个量, 只要已知其中三个量就可以求 , 出余下的两个量 .
教育储蓄可选择1 年、年、年这三种存期, 起存金额 50 3 6 元 , 存款总额不超过2 万元. 存款是按月存的3 年存 36 次 , 最后一次有一个月的利 . , 息
解
1 设每月存 A 元 , 则有 A1 2.1 0 00 A1 2 2.1 0 00 A1 36 2.1 0 00 20000 .
a1 4 , d 6.
所以a21 4 20 6 124, 于是
10 9 a21 a22 a30 10 124 6 1510 , 2
即第21 项到第30 项的和为 1510 .
思考 在例3中, 我们发现S10 , S20 S10 , S30 S20 也成等差数.你能得到更一般的结论 ? 吗 例 4 某剧场有20 排座位, 后一排比前一排多 2 个座位, 最后一排有60 个座位, 这个剧场共有多 少个座位? 解 这个剧场各排的座位数 组成等差数列 其中 , 公差 d 2 , 项数 n 20 , 且第20 项是 a20 60 .
2Sn a1 an a1 an a1 an na1 an ,
将上面两个等式的左右 两边分别相加 得 ,
由此可得等差数列 an 的前n 项和公式
na1 an Sn 2
等差数列前n 项的和等于首 末两项和的一半的 倍 . n
由等差数列的通项公式得 60 a1 20 1 2 , , , 所以 a1 22 . 由等差数列的求和公式得 20 22 60 S 20 820 . 2 答 这个剧场共有 个座位. 820
例5 某种卷筒卫生纸绕在盘 , 空 上 盘时盘芯直径40 mm , 满 盘 时 直 径 120 mm (如图) . 已知卫生纸的厚度为 0.1 mm ,问: 满盘时卫生纸的总长度 大约是多少米( 精确到1 米 ) ? 解 卫生纸的厚度为 .1mm, 可以把绕在盘上的卫生 0 纸近似地看做是一组同 心圆, 然后分别计算各圆的周 长, 再求总和. 由内向外各圈的半径分 别为 各圈的半径为该层纸 20.05 , 20.15 , , 59.95 . 的中心线至盘芯中心 因此, 各圈的周长分别为 的距离. 40.1 ,40.3 , , 119.9 .
36 35 0 0 A 36 36 2.1 00 2.1 00 20000 , 2 解得 A 535元 .
利用等差数列求和公式, 得
2由于教育储蓄的存款总额不超过 2 万元 , 所以3
这样,3年后的本息和为 5551 2.1 0 00 5551 2 2.1 0 00 5551 36 2.1 0 00
3 101 S50 50 2600 . 2
根据等差数列前n 项和公式, 得
10 9 1 105 S10 10 3 . 2 2 2
1 3 15 例 2 在等差数列 an 中,已知 d , an , S n , 2 2 2 求 a1 及 n . 3
2. 2. 3 等 差 数 列 的 前 n 项 和
先考察左图这是某仓库堆放的一堆 . 钢管, 最上面的 一层有4 根钢管, 下面每一层比上一层多 一根, 最下 面的一层有9 根, 怎样计算这堆钢管的总 数呢 ?
假设在这堆钢管旁边倒 放着同样一堆钢管 ,如右图.
这样, 每层钢管数都等于 9 , 共有6 层 .从而原来 4 6 4 9 一堆钢管的总数为 S 39 . 2