2020高考数学刷题首选单元测试三三角函数解三角形与平面向量文含解析

单元质量测试(三)
时间：120分钟
满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数f (x )＝1－2sin 2
x
2的最小正周期为( )
A ．2π
B ．π
C ．π
2 D ．4π
答案 A
解析 f (x )＝1－2sin 2x
2＝cos x ，最小正周期T ＝2π，故选A ．
2．已知sin θ<0，tan θ>0，则 1－sin 2
θ 化简的结果为( ) A ．cos θ B ．－cos θ C ．±cos θ D ．以上都不对 答案 B
解析 由已知可判断出θ是第三象限角，所以1－sin 2
θ＝|cos θ|＝－cos θ．故选B ．
3．(2018·福建4月质检)已知向量AB →＝(1,1)，AC →＝(2,3)，则下列向量与BC →
垂直的是( )
A ．a ＝(3,6)
B ．b ＝(8，－6)
C ．c ＝(6,8)
D ．d ＝(－6,3) 答案 D
解析 BC →＝AC →－AB →
＝(1,2)，因为(1,2)·(－6,3)＝1×(－6)＋2×3＝0．故选D ． 4．(2018·长沙统考)已知a ，b 为单位向量，且a ⊥(a ＋2b )，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B．60° C．120° D．150° 答案 C
解析 由题意，a ·(a ＋2b )＝a 2
＋2a ·b ＝|a |2
＋2|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝1＋2cos 〈a ，
b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝－1
2
，又0°≤〈a ，b 〉≤180°，所以〈a ，b 〉＝120°．故选
C ．
5．(2018·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos C －2c cos B ＝a ，且B ＝2C ，则△ABC 的形状是( )
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
答案 B
解析 ∵2b cos C －2c cos B ＝a ，∴2sin B cos C －2sin C cos B ＝sin A ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＝3cos B sin C ，∴tan B ＝3tan C ，又B ＝2C ，∴
2tan C 1－tan 2
C ＝3tan C ，得tan C ＝3
3
，C ＝π6，B ＝2C ＝π3，A ＝π
2
，故△ABC 为直角三角形．故选B ．
6．(2018·广东广州调研)如图所示，在△ABC 中，AN →＝13
AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝
mAB →
＋211
AC →，则实数m 的值为( )
A ．911
B ．511
C ．311
D ．211 答案 B
解析 因为N ，P ，B 三点共线，所以AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →
，从而m ＋611＝1⇒m ＝
5
11
．故选B ． 7．(2018·湖南长郡中学调研)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a b
等于( )
A ．2
B ．3
C ． 2
D ． 3 答案 A
解析 由2b sin2A ＝a sin B ，得4b sin A cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝14，由余弦定理，得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2
＝
4b 2
，∴a b
＝2．故选A ．
8．(2018·江西九校联考)已知5sin2α＝6cos α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α2＝( )
A ．－23
B ．13
C ．35
D ．2
3
答案 B
解析 由题意知10sin αcos α＝6cos α，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，cos α＝45，tan
α2＝sin α2cos α2＝2sin 2α
22sin α2cos
α2＝1－cos αsin α＝1－
4535
＝13．
9．(2018·东北三省四市二联)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)|φ|＜π2的图象向右平移
π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在0，π
2
上的最小值为( )
A ．
32 B ．12 C ．－12 D ．－32
答案 D
解析 f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移
π12个单位得到函数g (x )＝sin2x －π
12
＋φ＝sin2x －π6＋φ，此函数图象关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则－π6＋φ＝π
2＋k π，k ∈Z ，由|φ|＜π2，可得φ＝－π3，所以f (x )＝sin2x －π3，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －
π3≤2π3，所以f (x )的最小值为sin －π3＝－3
2
．故选D ． 10．(2018·湖北宜昌二模)已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →
，则实数λ的值为( )
A ．2215
B ．103
C ．6
D ．127 答案 A
解析 因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2
＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos120°－9λ＋16＝0，解得λ＝22
15
，故选A ．
11．(2018·河北石家庄一模)已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，a ·b ＝0，则|a ＋b －c |的取值范围是( )
A ．[2－1，2＋1]
B ．[1，2]
C ．[2，3]
D ．[2－1,1] 答案 A
解析 由题意不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，
c ＝(cos θ，sin θ)(0≤θ<2π)．
则a ＋b －c ＝(1－cos θ，1－sin θ)， |a ＋b －c |＝(1－cos θ)2
＋(1－sin θ)2
＝
3－22sin θ＋π4，令t ＝3－22sin θ＋π
4
，
则3－22≤t ≤3＋22， 故|a ＋b －c |∈[2－1，2＋1]．
12．(2018·湖南长沙长郡中学摸底)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<
π
2
的最小正周期为π，且其图象向左平移π
3
个单位长度后得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，则函数
f (x )的图象( )
A ．关于直线x ＝π12对称
B ．关于直线x ＝5π
12对称
C ．关于点π12，0对称
D ．关于点5π
12，0对称
答案 C
解析 由题意T ＝2πω＝π，得ω＝2，把g (x )＝cos2x 的图象向右平移π
3
个单位长度得
f (x )＝cos2x －π
3＝cos2x －
2π3＝sin π2－2x ＋2π3＝sin －2x ＋7π6＝sin2x －π6的图象，f π12
＝0，f 5π12＝32，因此函数f (x )的图象关于点π
12
，0对称．故选C ．
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2018·合肥质检一)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．
答案 －12
解析 依题意，有|a ＋b |2
＝(a ＋b )2
＝a 2
＋2a ·b ＋b 2
＝1＋2×1×2cos〈a ，b 〉＋4＝3，解得cos 〈a ，b 〉＝－12，则a 在b 方向上的投影等于|a |cos 〈a ，b 〉＝－1
2
．
14．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________．
答案 75° 解析 由正弦定理得
3sin60°＝6sin B ，∴sin B ＝2
2
．
又∵c ＞b ，∴B ＝45°，∴A ＝75°．
15．(2018·河北石家庄质检)已知AB →与AC →的夹角为90°，|AB →|＝2，|AC →|＝1，AM →＝λAB →
＋μAC →(λ，μ∈R )，且AM →·BC →
＝0，则λμ
的值为________．
答案 1
4
解析
根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB →
＝(0,2)，AC →＝(1,0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC →
＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，即x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →
，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝1
2y x ＝1
4
．
16．(2018·广州调研) 如图所示，某炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面
C 处和
D 处，已知CD ＝6000 m ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°，则炮兵阵地到目标的距离是
________ m ．(结果保留根号)
答案 100042
解析 在△ACD 中，∵∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°， ∴∠CAD ＝60°，
由正弦定理可得AD sin45°＝CD
sin60°
，
∴AD ＝6000×
2232
＝20006(m)．
在△BCD 中，由正弦定理得
BD sin30°＝CD
sin135°
，
∴BD ＝1
2×600022
＝30002(m)，
在Rt △ABD 中，由勾股定理可得AB 2
＝BD 2
＋AD 2
， ∴AB ＝ (30002)2
＋(20006)2
＝100042(m)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知α∈⎝
⎛⎭
⎪⎫π2，π，sin α＝55．
(1)求sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α的值；
(2)求cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π6
－2α的值． 解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2
α＝－255．
故sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α
＝
22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22
×55＝－10
10． (2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α ＝2×
55×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－255＝－45， cos2α＝1－2sin 2
α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝3
5
， 所以cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α
＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－
32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－45＝－4＋3310．
18．(2018·浙江温州统考)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12sin ωx ＋
3
2
cos ωx (ω>0)的最小正周期为π．
(1)求ω的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象；
(2)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？ 解 (1)函数可化为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， 因为T ＝π，所以2π
ω＝π，即ω＝2，
所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3． 列表如下：
画出图象如图所示：
(2)将函数y ＝sin x (x ∈R )图象上的所有点向左平移
π
3
个单位长度，得到函数y ＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，
可得函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的图象．
19．(2018·河南洛阳二模)(本小题满分12分)如图，已知扇形的圆心角∠AOB ＝2π
3
，半径为42，若点C 是AB 上的一动点(不与点A ，B 重合)．
(1)若弦BC ＝4(3－1)，求BC 的长； (2)求四边形OACB 面积的最大值．
解 (1)在△OBC 中，BC ＝4(3－1)，OB ＝OC ＝42， 所以由余弦定理得
cos ∠BOC ＝OB 2＋OC 2－BC 22OB ·OC ＝3
2
，
所以∠BOC ＝π6，于是BC 的长为π6×42＝22π
3．
(2)设∠AOC ＝θ，θ∈0，2π3，则∠BOC ＝2π
3
－θ，
S 四边形OACB ＝S △AOC ＋S △BOC
＝12×42×42sin θ＋12×42×42sin 2π
3－θ＝24sin θ＋83cos θ＝163sin θ＋π6
， 由于θ∈0，2π3，所以θ＋π6∈π6，5π
6
，
当θ＝π
3
时，四边形OACB 的面积取得最大值163．
20．(2018·河南濮阳三模)(本小题满分12分)△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且2R (sin 2
B －sin 2
A )＝(b －c )sin C ，c ＝3．
(1)求角A 的大小；
(2)若AD 是BC 边上的中线，AD ＝
19
2
，求△ABC 的面积．
解 (1)因为2R (sin 2B －sin 2
A )＝(b －c )sin C ， 所以2R sin
B sin B －2R sin A sin A ＝(b －c )sin
C ， 所以b sin B －a sin A ＝b sin C －c sin C ， 即b 2
－a 2
＝bc －c 2
，即b 2
＋c 2
－a 2
＝bc ，
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2
，A ＝60°．
(2)以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC ， 在△ABE 中，∠ABE ＝120°，AE ＝19， 由余弦定理得AE 2
＝AB 2
＋BE 2
－2AB ·BE cos120°， 即19＝9＋BE 2
－2×3×BE ×－12，
解得BE ＝2(负值舍去)，所以AC ＝2． 故S △ABC ＝1
2AB ·AC sin ∠BAC
＝12×3×2×32＝332
． 21．(2018·荆门调研)(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin x ，cos x )，n ＝(－cos x ，3cos x )，f (x )＝m ·n －
3
2
． (1)求函数f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；
(2)若方程f (x )＝a 在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．
解 (1)f (x )＝m ·n －32＝－3sin x cos x ＋3cos 2
x －32＝－32sin2x ＋32
(1＋cos2x )－3
2
＝－32sin2x ＋32cos2x ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6． 当2x ＋5π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π－π
6，k ∈Z 时，
函数f (x )取得最大值3．
(2)由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，11π6．
而函数g (x )＝3sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，3π2上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3π2，11π6上单调递增．
又g ⎝
⎛⎭⎪⎫11π6＝－32，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＝－3，g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6＝32
．
结合图象(如图)，所以方程f (x )＝a 在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实数根时，a ∈
⎝
⎛
⎦⎥⎤－3，－32．
22．(2018·广东茂名二模)(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A ＝2sin C,2b ＝3c ．
(1)求cos C ；
(2)若∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且△ABC 的面积为315
4
，求BD 的长． 解 (1)∵sin A ＝2sin C ，∴a ＝2c ．
于是，cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ＝(2c )2
＋32c 2－c 22×2c ×32c
＝7
8
．
(2)由(1)知cos C ＝78，∴sin C ＝15
8．
∵S △ABC ＝12·2c ·32c ·158＝315
4，
∴c 2
＝4，c ＝2，则a ＝4，b ＝3． ∵BD 为∠ABC 的平分线， ∴a c ＝CD AD
＝2，∴CD ＝2AD ． 又CD ＋AD ＝3，∴CD ＝2，AD ＝1．
在△BCD 中，由余弦定理可得BD 2＝42＋22
－2×4×2×78＝6，
∴BD ＝6．。