上海民办协和双语学校数学高三上期中阶段练习(含答案)

一、选择题
1．已知函数22()
()()
n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则
123100a a a a +++
+=
A ．0
B ．100
C ．100-
D ．10200
2．已知等比数列{}n a ，11a =，41
8
a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．12,23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．2,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
3．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810
B ．840
C ．870
D ．900
4．若不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．(]0,1
C ．41,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．(]
40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
5．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若
(){}n
f a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()()
,00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3
f x x =；
②()x
f x e
=；
③()f x =
④()ln f x x =
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
6．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）
A ．2
B ．-2
C ．
12
D ．12
-
7．设函数f (x )是定义在(0,+∞)上的单调函数，且对于任意正数x,y 有f (xy )=f (x )+f (y )，已知f (1
2)=−1，若一个各项均为正数的数列{a n }满足f (S n )=f (a n )+f (a n +1)−
1(n ∈N ∗)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }中第18项a 18=（ ） A ．1
36
B ．9
C ．18
D ．36
8．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和
n S =（ ）
A ．2744n n +
B ．2533n n
+
C ．2324
n n
+
D ．2n n +
9．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d
a b
> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d
10．若不等式1221m x x
≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．9
B ．
92
C ．5
D ．
52
11．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14
B ．21
C ．28
D ．35
12．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018
B ．2018-
C ．4036-
D ．4036
13．若函数1
()(2)2
f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ）
A ．3
B ．1
C ．1+
D ．4
14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 4 15．若0,0x y >>，且21
1x y
+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-
B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞
C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞
D ．(1,8)-
二、填空题
16．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若
3
2sin sin sin ,cos 5
B A
C B =+=
，且6ABC S ∆=，则b =__________． 17．已知命题2
0001
:,02
p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________.
18．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
则2z x y =-的最大值是____．
19．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点
(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，
111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨
--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．
20．已知12
0,0,
2a b a b
>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 21．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有
2343n n S n T n -=-，则93
5784
a a
b b b b +++的值为_______． 22．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元． 23．设2a b +=，0b >，则当a =_____时，
1||
2||a a b
+取得最小值. 24．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿ 25．正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，则{}n a 前5项和为________.
三、解答题
26．在平面四边形ABCD 中，已知34
ABC π
∠=
，AB AD ⊥，1AB =．
（1）若5AC =
，求ABC ∆的面积；
（2）若25
sin 5
CAD ∠=
，4=AD ，求CD 的长． 27．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为
130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13
A =
，3cos 5C =．
（1）求索道AB 的长；
（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？
28．已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；
(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
30．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.
(1)求B 的大小;
(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．D 7．C 8．A 9．B 10．B 11．C 12．D 13．A 14．D
二、填空题
16．4【解析】已知等式利用正弦定理化简得：可得可解得余弦定理可得可解得故答案为
17．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题
18．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC及其内部其中A（53）B（﹣13）C（20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x﹣y有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画
19．【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由题意知故可得解得当时；当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为：【点睛】本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题
20．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换
21．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an }{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题
22．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB两类产品的情况为下表所示:产品设备A类产品（件）（≥50）B类产品（件）（≥140
23．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归
24．10【解析】【分析】【详解】故则故n=10
25．93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算先求出首项和公比然后再运用等比数列前项和公式求出前项和【详解】正项等比数列满足即则有代入有又因为则故答案为【点睛】本题考查了求等比数列前项和等比数
三、解答题
26．
27．
28．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()2
2()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当
n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以
()
1231001399a a a a a a a +++
+=+++()()()2410021359999224610099100a a a +++
+=-++++-++++++=，
故选B.
考点：数列的递推公式与数列求和.
【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与
运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22()
{()
n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及
()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分
组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.
2．D
解析：D 【解析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则3
411
8a q a =
=，解得12
q =，
∴1
12n n a -=
， ∴1121
111222n n n n n a a +--=
⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为
12
，公比为1
4的等比数列，
∴1223111(1)
21224(1)134314
n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2
[,)3+∞．选D ．
3．B
解析：B 【解析】
数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为
10(3165)
8402
+= ，选B. 4．D
解析：D 【解析】 【分析】
要确定不等式组0220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出
220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】
不等式组0220y x y x y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
由0
22y x y =⎧⎨+=⎩
得()10
B ,． 若原不等式组0
220y x y x y x y a
⎧⎪+⎪
⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范
围是(]40,1,3a ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
故选：D 【点睛】
平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()
()
1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则
1
n n
a q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，
()()3
3
131
12n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，该函数为“保等比数列函数”；
对于②中的函数()x
f x e =，
()()1
11n n n n a a a n a n f a e e f a e
++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”；
对于③中的函数(
)f x =()
(
)
1n n f a f a +==
=，该函数为“保等比数
列函数”；
对于④中的函数()ln f x x =，()()1
1ln ln n n n n
a f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函
数”.故选：C. 【点睛】
本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】 把已知2
2
14S S S 用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，
【详解】
因为124S S S ，，成等比数列，所以2
214S S S ，即211111
(21)(46).2
a a a a -=-=-，
故选D. 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．
7．C
解析：C 【解析】
∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[1
2a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单
调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =1
2a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=
12
a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n =1
2
a n （a n +1）-1
2
a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0
∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以a 18=18 故选C
8．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 设公差为d 则
解得
，故选A.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】
A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；
B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；
C 项，虽然320,210>>>>，但是
32
21
>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确； 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
设f （x ）1221x x
=+-，根据形式将其化为f （x ）()1
1522
21x x x x
-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13
=时()1
122
1x x x x
-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f
（
13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（12
21x x +-）min ，由此可得实数m 的最大
值． 【详解】
解：设f （x ）11
222211x x x x
=+=+--（0＜x ＜1）
而122
1x x
+=
-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1
152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0
∴()1122
1x x x x -+≥-
=2， 当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()1
122
1x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x
+-）min 因此，可得实数m 的最大值为9
2
故选：B ． 【点睛】
本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．
11．C
解析：C 【解析】
试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则
()()17412747727282
2
a a a a a a a +⨯+++=
=
==
考点：等差数列的前n 项和
12．D
解析：D 【解析】
分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.
详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：
120171009201710092201720172017201722
a a a
S a +=
⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：
()12018
201710091010201810091009440362
a a S a a +=
⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项.
点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．A
解析：A 【解析】 【分析】
将函数()y f x =的解析式配凑为()()1
222
f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值. 【详解】
当2x >时，20x ->，则()()11
22222
f x x x x x =+=-++≥-- 4=， 当且仅当()1
222
x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】
本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
14．D
解析：D 【解析】
∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·
(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2
222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝
⎭＋－＋，
∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2，
∴()
()
120164201320162016201620162
2
a a a a S ++=
=
=.
很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.
15．A
解析：A 【解析】 【分析】
将代数式
21
x y
+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转化为解不等式()2
min 72m m x y +<+，解出即可. 【详解】
由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭
，
当且仅当
()4,0y x
x y x y
=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2
min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得81m -<<. 因此，实数m 的取值范围是(8,1)-，故选A. 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题．
二、填空题
16．4【解析】已知等式利用正弦定理化简得：可得可解得余弦定理可得可解得故答案为 解析：4 【解析】
已知等式2sin sin B A sinC =+，利用正弦定理化简得：2b a c =+，3
cos ,5
B =∴可
得4sin 5B ==，114
sin 6225
ABC S ac B ac ∆∴==⨯=，可解得15ac =，∴余弦定理可得，
2
2
2
2cos b a c ac B =+-()()2
21cos a c ac B =+-+=2
3421515b ⎛⎫-⨯⨯+ ⎪⎝⎭
，∴可解得
4b =，故答案为4.
17．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题
解析：1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果 【详解】
因为命题2
0001:,02p x R ax x ∃∈++
≤是假命题，所以21
,02
x R ax x ∀∈++>为真
所以
01 1202
a
a
a
>
⎧
∴>⎨
-<
⎩
【点睛】
本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题. 18．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC及其内部其中A（53）B（﹣13）C（20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x﹣y有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画
解析：7
【解析】
试题分析：根据约束条件画出可行域，得到△ABC及其内部，其中A（5，3），B（﹣1，3），C（2，0）．然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2x﹣y有最大值，并且可以得到这个最大值．
详解：
根据约束条件
2,
2,
03,
x y
x y
y
+≥
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪≤≤
⎩
画出可行域如图，
得到△ABC及其内部，其中A（5，3），B（﹣1，3），C（2，0）
平移直线l：z=2x﹣y，得当l经过点A（5，3）时，
∴Z最大为2×5﹣3=7．
故答案为7．
点睛：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．19．【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由题意知故可得解得当时；当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为：【点睛】本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题
解析：()
4031,404.
【解析】
【分析】
根据题意，结合累加法，求得k x 与k y ，再代值计算即可. 【详解】
由题意知11x =，11y =
211015555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211055y y T T ⎛⎫⎛⎫
=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
322115555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322155y y T T ⎛⎫⎛⎫
=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
433215555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，433255y y T T ⎛⎫⎛⎫
=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11215555k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11255k k k k y y T T ---⎛⎫⎛⎫
=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --⎛⎫⎛⎫
++
+=++
+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12121?10155k k k y y y y y y T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++
++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得155k k x k T -⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，当2016k =时，2016201654034031x =+⨯=； 115k k y T -⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，当2016k =时，20161403404y =+=. 故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404. 故答案为：()4031,404. 【点睛】
本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.
20．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换
解析：
9
2
【解析】 【分析】 先化简1112
2(2)2(2)()22a b a b a b a b +=⋅+⋅=⋅+⋅+，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 由题得11121222(2)2(2)()(5)222a b a b a b a b a b b a
+=
⋅+⋅=⋅+⋅+=++
1229(52)22
a b b a ≥
+⋅=. 当且仅当2212
2
3222a b a b
a b ⎧+=⎪==⎨⎪=⎩
即时取等. 故答案为：9
2
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换.
21．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题 解析：
1941
【解析】 【分析】
由等差数列的性质和求和公式可得原式11
11
S T =，代值计算可得． 【详解】
∵{a n }，{b n }为等差数列，
∴
9393936
57846666
222a a a a a a a b b b b b b b b ++=+==++ ∵61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341⨯-=⨯-，∴66
1941a b =， 故答案为
19
41
. 【点睛】
本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
22．2300【解析】【分析】【详解】设甲种设备需要生产天乙种设备需要生产天该公司所需租赁费为元则甲乙两种设备生产AB 两类产品的情况为下表所示:产品设备A 类产品（件）（≥50）B 类产品（件）（≥140
解析：2300 【解析】 【分析】 【详解】
设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产
天, 该公司所需租赁费为元,则
200300z x y =+，甲、乙两种设备生产A,B 两类产品的情况为下表所示:
产品 设备
A 类产品 （件）
（≥50）
B 类产品 （件）（≥140）
租赁费（元）
甲设备
5
10
200
乙设备
6
20
300
则满足的关系为5650
{10201400,0
x y x y x y +≥+≥≥≥即:6
105
{
214
0,0
x y x y x y +
≥+≥≥≥, 作出不等式表示的平面区域,
当200300z x y =+对应的直线过两直线6
10{5214
x y x y +
=+=的交点（4,5）时，目标函数200300z x y =+取得最低为2300元．
23．【解析】【分析】利用代入所求式子得再对分并结合基本不等式求最小值【详解】因为所以又因为所以因此当时的最小值是；当时的最小值是故的最小值为此时即故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求最值考查转化与化归 解析：2-
【解析】 【分析】
利用2a b +=代入所求式子得||4||4||a b a a a b
++，再对a 分0a >，0a <并结合基本不等式求最小值. 【详解】 因为2a b +=， 所以
1||||||2||4||4||4||a a b a a b a a b a b a a b
++=+=++， 又因为0b >，||0a >， 所以
||214||4||b a b a b a +⋅=， 因此当0a >时，1||2||a a b +的最小值是15
144
+=； 当0a <时，
1||2||a a b +的最小值是13144
-+=. 故1||2||a a b +的最小值为34，此时,42,0,
a
b a b
a b a ⎧=⎪
⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎪⎩
即2a =-. 故答案为：2-. 【点睛】
本题考查基本不等式求最值，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对a 的分类讨论及基本不等式求最值时，要验证等号成立的条件.
24．10【解析】【分析】【详解】故则故n=10
解析：10 【解析】 【分析】 【详解】
1351,14,a a a =+=故126d 14,2a d +=∴=，则()1n 21002
n n n S -=+
⨯=
故n=10
25．93【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算先求出首项和公比然后再运用等比数列前项和公式求出前项和【详解】正项等比数列满足即则有代入有又因为则故答案为【点睛】本题考查了求等比数列前项和等比数
解析：93 【解析】
【分析】
运用等比数列通项公式基本量的计算，先求出首项和公比，然后再运用等比数列前n 项和公式求出前5项和. 【详解】
正项等比数列{}n a 满足2418-=a a ，6290-=a a ，
即24
222218,90a q a a q a -=-=
则有(
)(
)(
)
2
2
2
22118,1190a q a q q -=-+= 代入有2
2
1=5,4q q +=
又因为0q >，则212,6,3q a a =∴==
()
553129312
S ⨯-∴=
=-
故答案为93 【点睛】
本题考查了求等比数列前n 项和等比数列通项公式的运用，需要熟记公式，并能灵活运用公式及等比数列的性质等进行解题，本题较为基础.
三、解答题 26．
（1）
1
2；（2 【解析】 【分析】
（1）在ΔABC 中，由余弦定理，求得BC =进而利用三角形的面积公式，即可求
解；
（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解sin BCA 10
∠=
，再在ΔABC 中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解. 【详解】
（1）在ΔABC 中，222AC AB BC 2AB BC COS ABC ∠=+-⋅⋅
即251BC BC =++ 2BC 40⇒+-=,解得BC =.
所以ΔABC 111S AB BC sin ABC 12222
∠=
⋅⋅=⨯=.
（2）因为0BAD 90,sin CAD ∠∠==
,所以cos BAC ∠=，
sin BAC 5
∠=
,
πsin BCA sin BAC 4所以∠∠⎛⎫=- ⎪⎝⎭
)cos BAC sin BAC 2
∠∠=-
==⎝⎭. 在ΔABC 中，AC AB sin ABC sin BCA ∠∠=
, AB sin ABC AC sin BCA
∠∠⋅∴== 222CD AC AD 2AC AD cos CAD ∠=+-⋅⋅所以
51624135=+-⨯
=
所以CD =
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 27．
（1）=1040AB m （2）
3537（3）1250625[,]4314（单位：m/min ） 【解析】
【分析】
【详解】
（1）在ABC ∆中，因为12cos 13A =，3cos 5C =， 所以5sin 13A =，4sin 5
C =， 从而[]sin sin ()B A C π=-+sin()A C =+5312463sin cos sin cos 13513565A C C A =+=
⨯+⨯=． 由正弦定理sin sin AB AC C B =，得12604sin 104063sin 565
AC AB C B =⨯=⨯=（m ）． （2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(10050)m t +，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得
22212(10050)(130)2130(10050)13d t t t t =++-⨯⨯+⨯
2200(377050)t t =-+， 由于10400130
t ≤≤，即08t ≤≤，
故当35min 37
t =时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理sin sin BC AC A B
=， 得12605sin 50063sin 1365
AC BC A B
=⨯=⨯=（m ）． 乙从B 出发时，甲已走了50(281)550⨯++=（m ），还需走710m 才能到达C ． 设乙步行的速度为/min vm ，由题意得5007103350v -≤-≤，解得12506254314v ≤≤， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（单位：/min m ）范围内． 考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用.
【方法点睛】
本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用. 28．
（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n n
n T +=-. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.
试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.
又0n a >，
解得：12,2==a q ，
所以2n n a =. （Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2
n n n n b b S n b +++++==+， 又2111,0,n n n n S b b b +++=≠
所以21n b n =+, 令n n n b c a =
, 则212
n n n c +=
， 因此
12231357212122222n n n n n n T c c c --+=++
+=+++++, 又2341135721212222
22n n n n n T +-+=+++++, 两式相减得2111
311121222222n n n n T -++⎛⎫=
++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n n
n T +=-. 【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.
【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 29．
（1）12n n
a ；（2）21122n n n -++- 【解析】
【分析】
（1）利用数列的递推关系式推出数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用分组求和法求和即可．
【详解】
（1）由已知1，n a ，n S 成等差数列得21n n a S =+①，
当1n =时，1121a S =+，∴11a =，
当2n ≥时，203m/s B B B
F m g a m μ-==② ①─②得122n n n a a a --=即12n n a a -=，因110a =≠，所以0n a ≠，
∴1
2n n a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴11122n n n a --=⨯=． （2）由12n n n a b na =+得111222n n n b n n a -=
+=+， 所以()1212
1111n n n T b b b n n a a a =+++=+++++
()()1111211211212
n n n n n n -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++=-++-． 【点睛】
数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 30． (1)2 π3B =；（2
【解析】
【试题分析】（1）先正弦定理将已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=-化为边的关系,然后运用余弦定理求解；（2）先借助正弦定理求出1sin 4BAD ∠=
，然后运用余弦二倍角求出7cos 8
BAC ∠=，进而运用平方关系求出sin BAC ∠. 解：(1) 222sin sin sin sin sin A C B A C +=-,
222a c b ac ∴+=-, 2221cos 222
a c
b a
c B ac ac +-∴==-=-, ()0,πB ∈, 2π3
B ∴=. (2) 在ABD 中,由正弦定理:sin sin AD BD B BAD =∠,
得1sin 1sin 4
BD B BAD AD ∠===, 217cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅
=,
sin BAC ∴∠===.。