新北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》测试卷(有答案解析)(1)
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一、选择题
1.若函数2
()f x x x a =-
-有四个零点,则关于x 的方程210ax x ++=的实根个数为( ) A .0
B .1
C .2
D .不确定
2.已知函数()24x
f x =-,()()()1
g x a x a x a =-++同时满足:①x ∀∈R ,都有
()0f x <或()0g x <,②(],1x ∃∈-∞-,()()0f x g x <,则实数a 的取值范围为
( ) A .(-3,0) B .13,2⎛⎫--
⎪⎝⎭
C .(-3,-1)
D .(-3,-1]
3.已知函数24
,?
0()7,?
0x f x x x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩,()()g x f x x a =+-,若()g x 存在两个零点,则a
的取值范围是( ) A .(﹣4,0] B .(-∞,﹣9) C .(-∞,﹣9)
(﹣4,0]
D .(﹣9,0]
4.流行病学基本参数:基本再生数0R 指一个感染者传染的平均人数,世代间隔T 指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可用模型:0()rt
I t N e =(其中
0N 是开始确诊病例数)描述累计感染病例()I t 随时间t (单位:天)的变化规律,指数增
长率r 与0R ,T 满足01R rT =+,有学者估计出0 3.4,6R T ==.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,当0()2I t N =时,t 的值为(ln 20.69≈)( ) A .1.2
B .1.7
C .2.0
D .2.5
5.如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米,若行车道总宽度AB 为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为( )
A .4.25米
B .4.5米
C .3.9米
D .4.05米
6.对于函数()f x 和()g x ,设(){}0x R f x α∈∈=,(){}
0x R g x β∈∈=,若存在
α、β,使得1αβ-≤,则称()f x 与()g x 互为“零点关联函数”.若函数
()12x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点关联函数”,则实数a 的取值范围
为( )
A .7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B .72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C .[]2,3
D .[]
2,4
7.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
A .y =lnx
B .21y x =+
C .y =sinx
D .y =cosx
8.用二分法求方程x 2–2=0在(1,2)内近似解,设f (x )=x 2–2,得f (1)<0,f (1.5)>0, f (1.25)<0,则方程的根在区间( ) A .(1.25,1.5)
B .(1,1.25)
C .(1, 1.5)
D .不能确定
9.已知()11x
f x e =-+,若函数2()[()](2)()2
g x f x a f x a =+--有三个零点,则实数a 的取值范围是( ) A .(2,1)--
B .(1,0)-
C .(0,1)
D .(1,2)
10.一个放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年就有3
4
的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%,则至少需要的年数是( ) A .6
B .5
C .4
D .3
11.若函数()2
2f x x x a =--有4个零点,则实数a 的取值范围为( ) A .01a <≤
B .10a -<<
C .0a =或1a >
D .01a <<
12.已知函数21,0
()log ,0
x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩,若123123()()(),(,,f x f x f x x x x ==互不相等),则
123x x x ++的取值范围是( )
A .(2,0]-
B .(1,0)-
C .(1,0]-
D .(2,0)-
二、填空题
13.已知函数()21f x x =-+,().g x kx =若方程()()f x g x =有两个不等实数根,则实数k 的取值范围是______.
14.已知函数()y f x =,x ∈R 满足:对任意的x ∈R ,()()22f x f x +=-,且当
[]0,2x ∈时,()1|1|f x x =--.函数()()4g x k x =+,x ∈R .若函数()()
y f x g x =-在区间[]
6,8-上共有5个不同的零点,则实数k 的取值范围是________.
15.已知函数()f x 定义域为D ,若存在0x D ∈,使()()()0011f x f x f +=+成立,则称()f x 具有性质P .现给出下列四个函数:
① ()1f x x
=
; ②()
2x
f x =; ③()()2lo
g 2f x x =+; ④()sin f x x π= 其中具有性质P 的函数为_____________(注:填上你认为正确的所有函数序号) 16.若关于x 的方程()4230x x f x k k =-⋅++=只有一个实数解,则实数k 的取值范围是______.
17.方程()2
332log log 30x x +-=的解是______.
18.(文)已知函数2cos ,1()21,1x
x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩
,则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是________个.
19.已知函数22()1()x x
f x x e a x e a R =++∈有四个零点,则实数a 的取值范围是
________.
20.函数13
()3log 1x
f x x =-的零点个数为______
三、解答题
21.如图,电路中电源的电动势为E ,内电阻为r ,1R 为固定电阻,2R 是一个滑动变阻器.其中电功率与外电阻2R 满足关系式2212
(
)E
P R r R R =++.
(1)若 6.0=E V , 1.0r =Ω,10.5R =Ω,求 5.625P W =时的滑动电阻值2R . (2)当2R 调至何值时,消耗的电功率P 最大?最大电功率是多少?
22.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙,飞往繁殖地产卵,科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100
x v x =
-,单位是km /min ,其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数,常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.(参考数据
lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==)
(1)若05x =,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少个单位?
(2)若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ,雌鸟的飞行速度为1km/min ,那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍?
23.某药物研究所开发的一种新药,据监测,成人按规定剂量服药一次后,每毫升血液中
含药量y (微克)与时间t (小时)之间的关系可由函数1
12,01
()12,1t t t y f t a t -<≤⎧==⎨>⎩
拟合(01a <<).
(1)当0.25a =时,求使得3y ≥的t 的取值范围;
(2)研究人员按照y
q t
=
的值来评估该药的疗效,并测定2q ≥时此药有效,若某次服药后测得3t =时每毫升血液中的含药量为6微克,求此次服药产生疗效的时长.
24.中国“一带一路”倡议提出后,某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发生产一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为500万元,每生产x 台需要另投入成本()C x (万元).当年产量不足80台时,2
1()402
C x x x =+(万元),当年产量不小于80台时,8100
()1012180C x x x
=+
-(万元),若每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.
(1)求年利润y (万元)关于年产量x (台)的函数关系式.
(2)年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大?并求出这个最大利润.
25.已知函数4()log (41)x f x kx =++与44()log (2)3
x g x a a =⋅-,其中()f x 是偶函数. (Ⅰ)求实数k 的值; (Ⅱ)求函数()g x 的定义域;
(Ⅲ)若函数()()()F x f x g x =-只有一个零点,求实数a 的取值范围.
26.此前,美国政府颁布了针对中国企业华为的禁令,禁止各国及各国企业向华为出售含有美国技术或软件设计的产品,否则出售者本身也会受到制裁.这一禁令在9月15日正式生效,迫于这一禁令的压力,很多家企业被迫停止向华为供货,对华为电子设备的发展产生不良影响.为适应发展的需要,某企业计划加大对芯片研发部的投入,据了解,该企业研发部原有100名技术人员,年人均投入a 万元,现把原有技术人员分成两部分:技术人员和研发人员,其中技术人员x 名(x ∈N 且4575x ≤≤),调整后研发人员的年人均投入增加4x %,技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
万元. (1)要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入,求调整后的技术人员的人数最多多少人?
(2)是否存在这样的实数m ,使得技术人员在已知范围内调整后,同时满足以下两个条件:①技术人员的年均投入始终不减少;②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入,存在,求出m 的范围;若不存在,说明理由.
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一、选择题 1.C 解析:C 【分析】
由()0f x =可得出2
x x a =-,将问题转化为曲线2y
x 与曲线y x a =-有4个交点,
数形结合可求得实数a 的取值范围,进而结合判别式可判断出方程210ax x ++=的实数根个数. 【详解】
由()0f x =可得出2
x x a =-,作出函数2y
x 与函数y x a =-的图象如下图所示:
,,x a x a y x a x a x a
-≥⎧=-=⎨-+<⎩,若使得函数()2
f x x x a =--有4个零点,
则直线y x a =-与y x a =-+均与函数2
y x 的图象有两个交点, 联立2y x a y x =-⎧⎨=⎩可得20x x a -+=,1140a ∆=->,解得14a <, 联立2y x a y x =-+⎧⎨=⎩
可得20x x a +-=,2140a ∆=+>,解得14a >-, 当0a =时,则()()2
1f x x x x
x =-=-,令()0f x =,可得0x =或1x =±,
此时,函数()y f x =只有3个零点,不合乎题意. 综上所述,实数a 的取值范围是11,00,44⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 对于二次方程210ax x ++=,140a ∆=->, 因此,关于x 的二次方程210ax x ++=有两个实根. 故选:C. 【点睛】
方法点睛:本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围,一般可采用1.直接法:直
接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解,此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况,特别注意边界值的取舍.
2.C
解析:C 【分析】
先判断当2x <时()0f x <,当2x ≥时()0f x ≥,问题转化为当2x ≥时,()0g x <恒成立且当1x ≤-时,()0g x >有解,分类讨论列出不等式可解出a 的范围. 【详解】
∵()24x
f x =-,
∴当2x <时()0f x <,当2x ≥时()0f x ≥.
因为x ∀∈R ,都有()0f x <或()0g x <且 (]
,1x ∃∈-∞-,()()0f x g x < 所以函数()g x 需满足:
①当2x ≥时,()0g x <恒成立; ②当1x ≤-时,()0g x >有解.
(1)当0a ≥时,显然()g x 不满足条件①;
(2)当0a <时,方程()0g x =的两根为1x a =,21x a =--, ∵0a <,∴11a -->-, ∴1
12a a <-⎧⎨
--<⎩
,
解得31a -<<-. 故选:C . 【点睛】
转化是数学解题的灵魂,合理的转化不仅仅使问题得到了解决,还可以使解决问题的难度大大降低,本题将问题转化为当2x ≥时,()0g x <恒成立且当1x ≤-时,()0g x >有解是解题的关键.
3.C
解析:C 【分析】
令()()0g x f x x a =+-=,将()g x 存在两个零点,转化为两函数
24
,?
0,6,?
0x x y a y x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-≥⎩有两个交点,在同一坐标系中,作出两个函数的图象,利用数
形结合法求解. 【详解】
令()()0g x f x x a =+-=,
得24
,?
06,?0x x a x
x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩, 令24
,?
0,6,?
0x x y a y x
x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-≥⎩, 在同一坐标系中,作出两个函数的图象,如图所示:
因为()g x 存在两个零点, 由图象可得:a <﹣9或﹣4<a ≤0, 故选:C 【点睛】
方法点睛:函数零点问题:若方程可解,通过解方程即可得出参数的范围,若方程不易解或不可解,则将问题转化为构造两个函数,利用两个函数图象的关系求解,这样会使得问题变得直观、简单,这也体现了数形结合思想的应用.
4.B
解析:B 【分析】
根据所给模型求得0.4r =,代入已知模型,再由0()2I t N =,得002rt
N e N =,求解t 值
得答案 【详解】
解:把0 3.4,6R T ==代入01R rT =+,得3.416r =+,解得0.4r =,
所以0.40()t
I t N e =,
由0()2I t N =,得0.4002t
N e
N =,则0.42t e =,
两边取对数得,0.4ln 2t =,得ln 20.69
1.70.40.4
t =≈≈, 故选:B
【点睛】
关键点点睛:此题考查函数模型的实际应用,考查计算能力,解题的关键是准确理解题意,弄清函数模型中各个量的关系,属于中档题
5.D
解析:D 【分析】
可设抛物线的方程为2
(0)x ny n =<,将(5,5)-代入可得n ,可得抛物线的方程,再令
3.5x =,求得y ,计算70.5y --,可得所求值.
【详解】
解:如右图,设抛物线的方程为2
(0)x ny n =<,
将点(5,5)-代入抛物线的方程可得,255n =-,解得5n =-, 即抛物线的方程为2
5x y =-,
令 3.5x =,可得23.55y =-,解得 2.45y =-,
则通过隧道的车辆限制高度为7 2.450.5 4.05--=(米). 故选:D .
【点睛】
利用坐标法思想,建立适当的直角坐标系,得到抛物线的方程,从而解决问题.
6.C
解析:C 【分析】
先求得函数()f x 的零点为1x =,进而可得()g x 的零点β满足02β≤≤,由二次函数的图象与性质即可得解. 【详解】
由题意,函数()1
2x f x e
x -=+-单调递增,且()10f =,
所以函数()f x 的零点为1x =, 设()2
3g x x ax a =--+的零点为β,
则11β-≤,则02β≤≤,
由于()2
3g x x ax a =--+必过点()1,4A -,
故要使其零点在区间[]0,2上,则()()020g g ⋅≤或()()00200022g g a ⎧>⎪
>⎪⎪
⎨∆≥⎪
⎪≤≤⎪⎩,
即()()3730a a -+-≤或()230
370430022a a a a a -+>⎧⎪-+>⎪⎪
⎨--+≥⎪
⎪≤≤⎪⎩
,所以23a ≤≤,
故选:C. 【点睛】
关键点点睛:解决本题的关键是将题目条件转化为函数()g x 零点的范围,再由二次函数的图象与性质即可得解.
7.D
解析:D 【详解】
选项A :ln y x =的定义域为(0,+∞),故ln y x =不具备奇偶性,故A 错误;
选项B :2
1y x =+是偶函数,但2
10y x =+=无解,即不存在零点,故B 错误;
选项C :sin y x =是奇函数,故C 错; 选项D :cos y x =是偶函数, 且cos 02
y x x k π
π==⇒=
+,k z ∈,故D 项正确.
考点:本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.
8.A
解析:A 【分析】
根据零点存在定理,结合条件,即可得出结论. 【详解】
已知(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><, 所以(1,25)(1.5)0f f ⋅<,
可得方程的根落在区间(1.25,1.5)内, 故选A. 【点睛】
该题考查的是有关判断函数零点所在区间的问题,涉及到的知识点有二分法,函数零点存
在性定理,属于简单题目.
9.A
解析:A 【分析】
利用十字相乘法解()0g x =,得()2f x =或()f x a =-,利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可. 【详解】
解:若2()[()](2)()2[()2][()]g x f x a f x a f x f x a =+--=-+有三个零点, 即()[()2][()]0g x f x f x a =-+=有三个根, 即()2f x =或()f x a =-.
当()2f x =时,由|1|12x e -+=,即|1|1x e -=,则11x e -=或11x e -=-, 即2x e =或0x e =,
则2x ln =或x 无解,此时方程只有一个解, 则()f x a =-.有两个不同的根, 作出()f x 的图象如图:
由图象知,则12a <-<,即21a -<<-, 即实数a 的取值范围是(2,1)--, 故选:A .
【点睛】
本题主要考查函数零点个数的应用,利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题是解决本题的关键.
10.C
解析:C 【分析】
设这种放射性物质最初的质量为1,经过x ()x N ∈年后,剩留量是y ,则有1()4
x
y =,
然后根据物质的剩留量不超过原来的1%,建立不等关系,利用对数运算性质进行求解即可. 【详解】
设这种放射性物质最初的质量为1,经过x ()x N ∈年后,剩留量是y ,
则有1()4
x
y =, 依题意得11
()4
100
x
≤,整理得22100x ≥, 解得4x ≥,
所以至少需要的年数是4, 故选C. 【点睛】
该题考查的是有关放射性物质的剩留量的求解问题,在解题的过程中,注意根据条件,列出相应的关系式,之后将其转化为指数不等式,结合指数函数的性质,求得结果,属于简单题目.
11.D
解析:D 【分析】 令0f x
,可得22x x a -=,作出()22g x x x =-的图象,令直线y a =与()g x 的
图象有4个交点,可求出实数a 的取值范围. 【详解】 令0f x
,则22x x a -=,
构造函数()2
2g x x x =-,作出()g x 的图象,如下图,
()g x 在()0,2上的最大值为()1121g =-=,
当01a <<时,直线y a =与()g x 的图象有4个交点, 所以函数()f x 有4个零点,实数a 的取值范围为01a <<. 故选:D. 【点睛】
本题考查函数的零点,注意利用数形结合方法,考查学生的计算求解能力,属于中档题.
12.C
解析:C 【分析】
做出函数图像,由图象得出三个交点的横坐标关系,以及交点横坐标的取值范围,即可求
解. 【详解】
做出函数()f x 的图象如图,
设()()()123===f x f x f x a ,则01a <≤, 因此12232(1)2,
0log 1+=⨯-=-<≤x x x ,
得312<≤x 于是12310-<++≤x x x , 故选:C.
【点睛】
本题考查分段函数的图象和运用,考查函数的对称性和对数的运算性质,正确画图和通过图象观察是解题关键,属于中档题.
二、填空题
13.【解析】试题分析:当时当时函数在上递减在上递增所以在处取得最小值且所以最小值点的坐标为若方程有两个不相等的实根则函数与有两个不同交点而是过原点的直线则应大于点与原点连线的斜率且小于直线的斜率即故答案
解析:1
,12
⎛⎫
⎪⎝
⎭
【解析】
试题分析:
当2x ≥时,()1f x x =-,当2x <时,()3f x x =-+,函数()f x 在(),2-∞上递减,在2,
上递增,所以在2x =处取得最小值,且()21f =,所以最小值点的坐标为
()2,1,若方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则函数()f x 与()g x 有两个不同交
点,而()g x kx =是过原点的直线,则k 应大于点()2,1与原点连线的斜率,且小于直线1y x =-的斜率,即112
k <<,故答案为1
,12
⎛⎫
⎪⎝
⎭
.
考点:分段函数的图象与性质、数形结合判断方程根的个数.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、数形结合判断方程根的个数,属于难题.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
14.【分析】将问题转化为与在上有个不同的交点求解出分段函数在区间上的解析式进而得到函数图象;根据恒过采用数形结合的方式即可确定临界值进而得到结果【详解】在上共有个不同的零点与在上有个不同的交点当时同理可
解析:211,765⎛⎫⎧⎫
--⋃⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
【分析】
将问题转化为()f x 与()g x 在[]
6,8-上有5个不同的交点,求解出分段函数()f x 在区间
[]6,8-上的解析式,进而得到函数图象;根据()g x 恒过()4,0-,采用数形结合的方式即
可确定临界值,进而得到结果. 【详解】
()()y f x g x =-在[]6,8-上共有5个不同的零点,
()f x ∴与()g x 在[]6,8-上有5个不同的交点,
当[]2,0x ∈-时,[]20,2x +∈,()()2112f x x f x ∴+=-+=-,
()11
122
f x x ∴=-++,
同理可得:()[][][][][][][]11
5,6,488113,4,244111,2,02211,0,2223,2,4445,4,6887,6,8x x x x x x f x x x x x x x x x ⎧-++∈--⎪⎪
⎪-+∈--⎪⎪
⎪-++∈-=⎨⎪
--∈⎪⎪-+-∈⎪
--∈⎪⎪-+-∈⎩
, 由此可得()f x 在[]
6,8-上图象如下图:
,
()()4g x k x =-,()g x ∴过定点()4,0-.
由图象可知:当()12,k k k ∈或3k k =时,()f x 与()g x 在[]
6,8-上有5个不同的交点 又()1,1A ,11,2B ⎛⎫
--
⎪⎝⎭
,()3,2C -, 122347k -∴==-+,2
1
12146
k -
==--+,3
11145k ==+, 2
11,765k ⎛⎫⎧⎫
∴∈--⎨⎬ ⎪
⎝⎭⎩⎭
,
故答案为:211,765⎛⎫⎧⎫
--⋃⎨⎬ ⎪⎝
⎭⎩⎭. 【点睛】
本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题,关键是能够将零点个数的问题转化为两个函数交点个数的问题,进而通过数形结合的方式,利用函数图象来求解结果;易错点是函数解析式的求解.
15.②④【分析】构造函数解方程即可得出结论【详解】构造函数对于①令得整理得方程无实解①中的函数不具备性质;对于②令得解得②中的函数具备性质;对于③③中的函数不具备性质;对于④令得得解得④中的函数具备性质
解析:②④ 【分析】
构造函数()()()()11g x f x f x f =+--,解方程()0g x =,即可得出结论. 【详解】
构造函数()()()()11g x f x f x f =+--. 对于①,()1111g x x x =
--+,令()0g x =,得111x
x x
+=+,整理得210x x ++=, 1430,方程210x x ++=无实解,①中的函数不具备性质P ;
对于②,()1
2
2222x x x g x +=--=-,令()0g x =,得22x =,解得1x =.
②中的函数具备性质P ;
对于③,()()()()()22222log 3log 2log 1log 3log 20g x x x x x =+-+-=+-+≠, ③中的函数不具备性质P ;
对于④,()()()sin sin sin sin sin 2sin g x x x x x x ππππππππ=+--=+-=-, 令()0g x =,得sin 0x π=,得()x k k Z ππ=∈,解得()x k k Z =∈, ④中的函数具备性质P . 故答案为:②④. 【点睛】
本题考查函数新定义“性质P ”,本质上就是函数的零点问题或方程根的问题,考查化归与转化思想的应用,属于中等题.
16.【分析】换元令再根据二次函数在区间上只有一个实数解求解即可【详解】令则在区间上只有一个实数解故=0在上有两个等根或有一个正根和一个负根①故②故实数的取值范围是故答案为:【点睛】本题主要考查了根据根的 解析:(,3){6}-∞-⋃
【分析】
换元令2x t =,()0,t ∈+∞,再根据二次函数2
()30g t t k t k =-⋅++=在区间()0,t ∈+∞上
只有一个实数解求解即可. 【详解】
令2x t =,()0,t ∈+∞,则2
()30g t t k t k =-⋅++=在区间()0,t ∈+∞上只有一个实数解.
故2
()3g t t k t k =-⋅++=0在()0,t ∈+∞上有两个等根或有一个正根和一个负根.
①()()()()2430
620002
k k k k k k ⎧--+=⎧-+=⎪
⇒⎨⎨
->-
>⎩⎪⎩ .故6k = ②(0)303g k k =+<⇒<- 故实数k 的取值范围是(,3){6}-∞-⋃ 故答案为:(,3){6}-∞-⋃ 【点睛】
本题主要考查了根据根的分布求解参数范围的问题.需要根据题意换元再分两种情况讨论.属于中档题.
17.或【分析】设原方程等价转化为由此能求出原方程的解【详解】设则原方程转化为解得当即解得当即解得所以原方程的解为或故答案为:或【点睛】本题考查方程的解的求法解题时要认真审题注意换元法的合理运用属于基础题
3 【分析】
设3log x t =,原方程等价转化为2230t t +-=,由此能求出原方程的解. 【详解】
设3log x t =,则原方程转化为2230t t +-=,解得13
2
t =-,21t =, 当132t =-
,即33log 2x =-
,解得9
x =, 当21t =,即3log 1x =,解得3x =,
所以,原方程的解为
9
或3.
3. 【点睛】
本题考查方程的解的求法,解题时要认真审题,注意换元法的合理运用,属于基础题.
18.5【分析】先解方程再根据图象确定实根个数【详解】或图象如图:则由图可知实根的个数是5个故答案为:5【点睛】本题考查函数与方程考查综合分析求解能力属中档题
解析:5
【分析】
先解方程2
()3()20f x f x -+=,再根据()f x 图象确定实根个数.
【详解】
2()3()20()1f x f x f x -+=∴=或()2f x =,
2cos
,1(
)21,1x
x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩
图象如图:
则由图可知,实根的个数是5个 故答案为:5 【点睛】
本题考查函数与方程,考查综合分析求解能力,属中档题.
19.【分析】由题意可得有四个不等实根设求得导数和单调性可得极值画出图象即可得到所求范围【详解】函数有四个零点由不为零点即即有有四个不等实根设①当时令在区间上单调递增且使得则函数在区间上单调递减在区间上单 解析:1a e e -<--
【分析】
由题意可得1(||)||x
x a x e x e -=+
有四个不等实根,设1
()(||)||x x
g x x e x e =+,求得导数和单调性,可得极值,画出图象,即可得到所求范围. 【详解】
函数22()1()x x
f x x e a x e a R =++∈有四个零点
由(0)1f =,0x =不为零点
即()0f x =即有1
x
x
a x e x e -=+
有四个不等实根 设1()x
x
g x x e x e =+
①当0x >时,1
()x
x g x xe xe =+,(
)
2222(1)11()(1)x
x x x
x x e x g x x e x e x e +-+'=+-=
令22()1x h x x e =-,222()220x x h x xe x e '=+>
()h x ∴在区间(0,)+∞上单调递增,且2(0)10,(1)10h h e =-<=-> ∴0(0,1)x ∈,使得()0220010x h x x e =-=
()0g x '∴<⇒00x x <<,0()0g x x x '>⇒>
则函数()g x 在区间()00,x 上单调递减,在区间()0,x +∞上单调递增,且
()min 0()2g x g x ==
②当0x <时,1()x
x g x xe xe =--导数为()2222(1)11()(1)x x x x x x e x g x x e x e x e
+-+'=-++= 令22()1x x x e ϕ=-,2()2(1)x
x x x e ϕ'=-+
()010x x ϕ'>⇒-<<,()01x x ϕ'<⇒<-
所以函数()x ϕ在区间(),1-∞-上单调递减,在区间(1,0)-上单调递增
()min 21
()110x e
ϕϕ=-=-
>,即22()01x x x e ϕ->=在区间(,0)-∞上成立 即()010g x x '>⇒-<<,()01g x x '<⇒<-
则函数()g x 在区间(),1-∞-上单调递减,在区间(1,0)-上单调递增 且1x =-时,()g x 取得极小值1e e -+ 画出函数()g x 的图象,可得1a e e -->+
即1a e e -<--时,1
(||)||x
x
a x e x e -=+
有四个不等实根,即函数()f x 有四个零点 故答案为:1a e e -<--
【点睛】
本题考查函数的零点个数问题解法,注意运用数形结合思想方法和导数判断单调性、极值,考查运算能力,属于中档题.
20.2【分析】化简得到画出函数图像根据图像得到答案【详解】取则即画出函数图像如图所示:根据图像知有两个交点故函数有两个零点故答案为:【点睛】本题考查了函数零点问题画出函数图像是解题的关键
解析:2【分析】
化简得到
1
31
log=
3x
x ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
,画出函数图像,根据图像得到答案.
【详解】
取
1
3
()3log1=0
x
f x x
=-,则
1
3
3log=1
x x,即
1
3
1
log=
3
x
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,
画出函数图像,如图所示:根据图像知有两个交点,故函数有两个零点.
故答案为:2.
【点睛】
本题考查了函数零点问题,画出函数图像是解题的关键.
三、解答题
21.(1)0.9或2.5;(2)当2R调至1R r+时,消耗的电功率P最大,最大电功率是2
1
44
E
R r
+
.
【分析】
(1)代入数据,解方程可得答案;
(2)由已知得
2
2
1
21
2
()
2()
E
P
R r
R R r
R
=
+
+++
,再利用基本不等式可得最值.
【详解】
(1)当 6.0
=
E V, 1.0
r=Ω,
1
0.5
R=Ω, 5.625
P W
=时,
22
22222
2
456
()2068450(109)(25)0
1
81
2
R R R R R
R
=⇒-+=⇒--=
++,
解得
2
9
0.9
10
R==,或
2
5
2.5
2
R==
故2R 的值为0.9或2.5.
(2)由题意,120,0,0,0E r R R >>>>,于是
22
2
222
22
1122211212
()()2()()
2()
E R E E P R R r r R R R R R r R r R R r R ===++++++++++
2
22
1112()2()44E E R r R r R r ==
++++,当且仅当
2
122
()R r R R +=,即21R R r =+时,等号成立.
也就是说,当外电路的电阻等于内电阻时电源的输出功率最大;将电阻1R 与电源等效成等效电源考虑求解. 【点睛】
关键点点睛:解决函数模型的应用问题时,关键在于将生活中的数据转化到函数模型中的数据,注意数据所满足的实际的意义. 22.(1)466;(2)3倍. 【分析】
(1)将05x =,0v =代入函数解析式,计算得到答案.
(2)根据题意得到方程组130230
11.5log lg 2100
11log lg 2
100x x x x
⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,两式相减化简即可求出答案.
【详解】
(1)将05x =,0v =代入函数301log lg 2100
x v x =-,得:3
1log lg502100x
-=, 即()3log 2lg521lg 2 1.40100
x
==-=, 所以
1.403 4.66100
x
==, 所以466x =.
故候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为466个单位.
(2)设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ,雌鸟每分钟耗氧量为2x ,由题意可得:
130230
11.5log lg 2100
11log lg 2
100x x x x ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩,
两式相减可得:132
11log 22x x =, 所以132log 1x x =,即12
3x x =, 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.
【点睛】
方法点睛:与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
23.(1)1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
;(2)3小时. 【分析】
(1)当0.25a =时,求出函数()f t 的解析式,分段讨论当3y ≥时t 的取值范围,再求并集即可;
(2
)由题可求出2a =
,即可得出q 关于t 的函数关系时,再令2q 求出t 的值,结
合单调性可求出.
【详解】 (1)当0.25a =时,112,01()120.25,1t t t y f t t -<≤⎧==⎨⨯>⎩
, 当01t <≤时,123y t =≥,解得14t ≥,114t ∴≤≤, 当1t >,1120.235t y -⨯=≥,解得2t ≤,12t ∴<≤,
综上,使得3y ≥的t 的取值范围为1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
; (2)当3t =,2126y a ==
,解得a =
112,01()12,12t t t y f t t -<≤⎧⎪∴==⎛⎫⎨⨯> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩
,
112,01
112,1
2t t y q t t t -<≤⎧⎪∴==⎛⎫⎨⨯⨯> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩
.
令1
1122(1)2t t t -⎛⨯⨯=> ⎝⎭,解得3t =,
01t <≤时,12q =,当1t >
时,1
112t q t -=⨯⨯⎝⎭
单调递减, 故可知2q ≥的解集为(0,3]t ∈,
所以此次服药产生疗效的时长为3小时.
【点睛】
本题考查利用给定函数模型解决实际问题,解题的关键是正确理解函数关系,会利用单调性解不等式,考查学生的计算能力. 24.(1)2160500,080281001680,80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
;(2)当年产量为90台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大,最大利润为1500万元.
【分析】
(1)分别求080x <<和80x ≥时函数的解析式可得答案;
(2)当080x <<时,21(60)13002
y x =-
-+,配方法求最值、;当80x ≥时, 利用基本不等式求最值,然后再做比较.
【详解】 (1)当080x <<时,2211100405006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭
, 当80x ≥时,8100810010010121805001680y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭, 于是2160500,080281001680,80x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
. (2)由(1)可知当080x <<时,21(60)13002
y x =--+, 此时当60x =时y 取得最大值为1300(万元),
当80x ≥
时,8100168016801500y x x ⎛⎫=-+
≤-= ⎪⎝⎭, 当且仅当8100x x
=即90x =时y 取最大值为1500(万元), 综上所述,当年产量为90台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大,最大利润为1500万元.
【点睛】
易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;
(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
25.(Ⅰ)12k =-
;(Ⅱ)分类讨论,答案见解析;(Ⅲ){}()31,-⋃+∞. 【分析】
(Ⅰ)由偶函数的性质,运算即可得解;
(Ⅱ)转化条件为4203
x a a ⋅->,按照0a >、0a <分类,即可得解; (Ⅲ)由对数的运算性质转化条件得方程()()22421223
x x x a a +=-⋅有且只有一个实根,换元后,结合一元二次方程根的分布即可得解.
【详解】
(Ⅰ)∵()f x 是偶函数,∴()()f x f x =-,∴44log (41)log (41)x x kx kx -++=+-, ∴441log 241x x kx -+=-+,∴44(41)log 241
x x x x kx +==-+, 即(21)0k x +=对一切x ∈R 恒成立, ∴12
k =-; (Ⅱ)要使函数()g x 有意义,需4203x a a ⋅-
>, 当0a >时,423x >,解得24log 3x >, 当0a <时,423x <,解得24log 3
x <, 综上可知,当0a >时,()g x 的定义域为24log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
; 当0a <时,()g x 的定义域为2
4,log 3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭; (Ⅲ)∵()()()F x f x g x =-4414log (41)log 223x x x a a ⎛⎫=+-
-⋅- ⎪⎝⎭只有一个零点, ∴方程4414log (41)log 223x x x a a ⎛⎫+=
+⋅- ⎪⎝⎭有且只有一个实根, 即方程2444444log (41)log 4log 2log 2233x x x x x a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⋅-
=⋅- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦有且只有一个实根,
亦即方程()()22421223
x x x a a +=-⋅有且只有一个实根, 令2x t =(0t >),则方程24(1)103a a t t --
-=有且只有一个正根, ①当1a =时,34
t =-,不合题意; ②当1a ≠时,因为0不是方程的根,所以方程的两根异号或有两相等正根,
由0∆=可得244(1)03a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,解得34a =或3- 若34
a =,则2t =-不合题意,舍去; 若3a =-,则12
t =满足条件; 若方程有两根异号,则244(1)03101
a a a ⎧⎛⎫∆=+->⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨-⎪<⎪-⎩,∴1a >,
综上所述,实数a 的取值范围是{}()31,-⋃+∞.
【点睛】
方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.
26.(1)75人;(2)存在,m 的范围为{7}.
【分析】
(1)求出对应的100-x 名研发人员的年总投入,建立方程关系进行求解即可; (2)根据条件①②建立不等式利用参数分离法转化求最值问题即可.
【详解】
(1)由题意得:(100)(14%)100(0)x x a a a -+≥>,解得75x ≤,所以调整后的技术人员的人数最多75人.
(2)由技术人员年人均投入不减少得(ⅰ)2 25a m x a ⎛
⎫-≥ ⎪⎝⎭,得2125
x m ≥+, 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入得(ⅱ)
2(100)(14%)25x x x a x m a ⎛⎫-+≥- ⎪⎝
⎭,
两边除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,整理得100325x m x ≤++,故有2100132525
x x m x +≤≤++,
100337
25x x ++≥=,当且仅当50x =时取等号,7m ∴≤, 又因为4575x ≤≤,当75x =时,令2125
x y =+取得最大值7,7m ∴≥,77m ∴≤≤,
即存在这样的m 满足条件,其范围为{7}m ∈.
【点睛】
本题考查了函数的应用问题,结合条件建立方程和不等式,利用参数分离法进行求解是解决本题的关键.考查学生的计算能力,属于中档题.。