高二数学人教A版选修4-5学业分层测评5 Word版含答案

学业分层测评（五）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．不等式1<|x ＋1|<3的解集为( ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4) C ．(－4,0)
D.(－4，－2)∪(0,2)
【解析】 由1<|x ＋1|<3，得 1<x ＋1<3或－3<x ＋1<－1， ∴0<x <2或－4<x <－2，
∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)． 【答案】 D
2．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2
x 的解集是( ) A ．(0,2) B ．(－∞，0)
C ．(2，＋∞)
D.(－∞，0)∪(2，＋∞) 【解析】 由绝对值的意义知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2
x 等价于x －2x <0，即x (x －2)<0，解得0<x <2.
【答案】 A
3．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 的取值为( ) A ．8 B ．2 C ．－4
D.－8
【解析】 原不等式化为－6＜ax ＋2＜6， 即－8＜ax ＜4.
又∵－1＜x ＜2，∴验证选项易知a ＝－4适合．
【答案】 C
4．若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a的解集为R，则实数a的取值范围是() A．a≥3 B．a≤3
C．a＞3 D.a＜3
【解析】令t＝|x＋1|＋|x－2|，由题意知
只要t min≥a即可，
因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以t min＝3，∴a≤3.
即实数a的取值范围是(－∞，3]，故选B.
【答案】 B
5．设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}，若A⊆B，则实数a，b必满足()
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D.|a－b|≥3
【解析】由|x－a|<1，得a－1<x<a＋1.
由|x－b|>2，得x<b－2或x>b＋2.
∵A⊆B，∴a－1≥b＋2或a＋1≤b－2，
即a－b≥3或a－b≤－3，∴|a－b|≥3.
【答案】 D
二、填空题
6．不等式|x－5|－|x＋3|≥4的解集为________.
【导学号：32750023】【解析】当x<－3时，原不等式为8≥4恒成立；当－3≤x≤5时，原不等式为(5－x)－(x＋3)≥4，解得x≤－1，所以－3≤x≤－1；当x>5时，原不等式为(x－5)－(x＋3)≥4，无解．综上可知，不等式|x－5|－|x＋3|≥4的解集为{x|x≤－1}．
【答案】{x|x≤－1}
7．若关于x 的不等式|ax －2|<3
的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
x ⎪
⎪⎪
－5
3
<x <13，则a ＝________.
【解析】 ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5. 当a >0时，－1a <x <5
a ，与已知条件不符； 当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；
当a <0时，5a <x <－1a .又不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
－53<x <13，故a ＝－3. 【答案】 －3
8．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集为∅，则a 的取值范围为________．
【解析】 法一：由|x ＋2|＋|x －1|＝|x ＋2|＋|1－x |≥|x ＋2＋1－x |＝3，知a ≤3时，原不等式无解．
法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.
所以当a ≤3时，原不等式的解集为∅. 【答案】 (－∞，3] 三、解答题
9．已知关于x 的不等式|x |＞ax ＋1的解集为{x |x ≤0}的子集，求a 的取值范围．
【解】 设y 1＝|x |，y 2＝ax ＋1. 则y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ，x ≥0，
－x ，x ＜0.
在同一直角坐标系中作出两函数图象，如图所示．
|x |＞ax ＋1，只需考虑函数y 1＝|x |的图象位于y 2＝ax ＋1的图象上方的部分，可知a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞)．
10．已知函数f (x )＝|x －3|＋|x －2|＋k . (1)若f (x )≥3恒成立，求k 的取值范围； (2)当k ＝1时，求不等式f (x )<3x 的解集．
【解】 (1)|x －3|＋|x －2|＋k ≥3，对任意x ∈R 恒成立，即(|x －3|＋|x －2|)min ≥3－k .
又|x －3|＋|x －2|≥|x －3－x ＋2|＝1，(|x －3|＋|x －2|)min ＝1≥3－k ，解得k ≥2. (2)当x ≤2时，5x >6，解得x >65，∴6
5<x ≤2. 当2<x <3时，3x >2，解得x >2
3，∴2<x <3. 当x ≥3时，x >－4，∴x ≥3. 综上，解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
65，＋∞.
[能力提升]
1．如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，3]∪[5，＋∞)
B ．[－5，－3]
C ．[3,5]
D ．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)
【解析】 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3. 【答案】 D
2．若关于x 的不等式|x ＋1|≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[－1,0] C ．[0,1]
D.[0，＋∞)
【解析】 作出y ＝|x ＋1|与y ＝kx 的图象，如图，当k ＜0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k ＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k ＞0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1.
综上可知k ∈[0,1]． 【答案】 C
3．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≥a 的解集为R (其中R 是实数集)，则实数a 的取值范围是________．
【解析】 不等式|x －1|＋|x －a |≥a 恒成立， a 不大于|x －1|＋|x －a |的最小值， ∵|x －1|＋|x －a |≥|1－a |，
∴|1－a |≥a,1－a ≥a 或1－a ≤－a ， 解得a ≤1
2.
【答案】 ⎝ ⎛
⎦
⎥⎤－∞，12
4．已知a ∈R ，设关于x 的不等式|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4的解集为A . (1)若a ＝1，求A ；
(2)若A ＝R ，求a 的取值范围.
【导学号：32750024】
【解】 (1)当x ≤－3时，原不等式化为－3x －2≥2x ＋4，得x ≤－3.
当－3＜x≤1
2
时，原不等式化为4－x≥2x＋4，得－3＜x≤0.
当x＞1
2
时，原不等式化为3x＋2≥2x＋4，得x≥2.
综上，A＝{x|x≤0或x≥2}．
(2)当x≤－2时，|2x－a|＋|x＋3|≥0≥2x＋4成立．
当x＞－2时，|2x－a|＋|x＋3|＝|2x－a|＋x＋3≥2x＋4，
得x≥a＋1或x≤a－1 3
，
所以a＋1≤－2或a＋1≤a－1
3
，得a≤－2.
综上，a的取值范围为(－∞，－2]．。