湖北省监利一中2011-2012学年高二下学期周测(二)数学试题

湖北省监利一中2011-2012学年高二下学期周测（二）数学试题
一、选择题: ⒈已知f(x)=
3
x ·sinx ，则'(1)f =（ )
A 。

1cos 3
1 B. 3
1sin1+cos1 C 。

3
1sin1-cos1
D 。

sin1+cos1
⒉已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则 0
(1)(1)
3lim
x f x f x x
→--+=
( ）
A ．3
B ．23
- C ． 13
D ．32
-
⒊设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是（ ）
⒋若函数3
2()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是
( ） A 。

1
(,)3
+∞ B.
1(,)3
-∞ C 。

1
[,)3
+∞ D. 1(,]3
-∞
⒌
()
f x 与()
g x 是定义在R 上的两个可导函数，若
()
f x 与()
g x 满足
()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
Ａ．()()f x g x = Ｂ．()()f x g x -为常数函数
Ｃ．()()0f x g x == Ｄ．()()f x g x +为常数函数 ⒍已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，,且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时( ）
A ．()0()0f x g x ''>>，
B ．()0()0f x g x ''><，
C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
⒎设函数2
()(21)f x g x x =-+,曲线()(1,(1))y g x g =在点处的切线方程为21y x =+,则
曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程为( ）
A ．620x y --=
B ．620x y --=
C ．6310x y --=
D ．026=-+y x ⒏设曲线1
*()n y x
n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为
n x ,则12n x x x ⋅⋅
⋅的值为（ ）
A. 1n
B.
1
n n + C 。

1
1
n +
D. 1
⒐若2
1()ln(2)2
f x x
b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（
）
A 。

[1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D 。

(,1)-∞-
⒑函数f (x ）＝ax 3－3x ＋1对于x ∈［－1,1］总有f (x ）≥0成立，则
a 的取值为 （ )
A ．［4，＋∞)
B ．［2，＋∞）
C ．｛4｝
D ．［2，4]
二、填空题： ⒒若函数a x x
y +-
=2
3
2
3在［－1,1］上有最大值3，则该函数在[－1，1]
上的最小值是______________.
⒓．已知函数1()sin 2
f x x x =-，则()f x 在[]0,π上的值域为______________。

⒔函数2y x = 11()22
x -≤≤ 图象上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，
则直线l 的倾斜角的范围是______________。

⒕设0
()sin f x x =，'''1
211()(),()(),......()()n n f x f
x f x f x f x f x +=== n N ∈,则2012()f x
等于
______________。

⒖设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数,则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为______________.
三、解答题：
⒗（12分）当0>x 时,证明不等式2
2
11x x e
x
+
+>成立。

⒘(12分）已知函数cx bx x
x f 2)(23
+-=的导函数的图象关于直线2=x 对称。

（I ）求b 的值； （II ）若函数)(x f 无极值,求c 的取值范围。

⒙（12分）一出租车每小时耗油的费用与其车速的立方成正比，当车速为h km /80时，该车耗油的费用为元8/h ，其他费用为12元/h.甲乙
两地的公路里程为160km,在不考虑其他因素的前提下,为了使该车开往乙地的总费用最低，该车的车速应当确定为多少公里/小时？
⒚(12分)已知函数23
)(bx ax
x f +=的图象经过点)4,1(M ,曲线在点M 处的切
线恰好与直线09=+y x 垂直。

（I)求实数b a ,的值；（ II)若函数)(x f 在区间[]1,+m m 上单调递增,求m 的取值范围。

⒛（13分）已知函数3
()3.f x x
x =-
（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程;
（2)若过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围。

21。

（14分）已知函数
()2
a f x x x
=+
，()ln g x x x =+，其中0a >．
(1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值;
（2）若对任意的[]1
2
,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1
f x ≥()
2
g x 成立,求实数a 的取值范围．
监利一中2011-2012年度下学期高二年级数学周测试卷（二） 一、选择题： ⒈已知f(x ）=
3
x ·sinx ，则'(1)f =（ B )
A.1cos 3
1 B. 3
1sin1+cos1 C 。

3
1sin1—cos1
D.sin1+cos1
⒉已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则 0
(1)(1)
3lim
x f x f x x
→--+=
（ B )
A ．3
B ．23
- C ． 13
D ．32
-
⒊设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ）
⒋若函数3
2()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是
( C ） A 。

1
(,)3
+∞ B.
1(,)3
-∞ C. 1
[,)3
+∞ D 。

1(,]3
-∞
A ．
B ．
C ．
D ．
⒌
()
f x 与()
g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x 与()g x 满足()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足（ B )
Ａ．()()f x g x = Ｂ．()()f x g x -为常数函数
Ｃ．()()0f x g x == Ｄ．()()f x g x +为常数函数
⒍已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，
()0()0f x g x ''>>，，则0x <时( B ）
A ．()0()0f x g x ''>>，
B ．()0()0f x g x ''><，
C ．()0()0f x g x ''<>，
D ．()0()0f x g x ''<<，
⒎设函数2
()(21)f x g x x =-+，曲线()(1,(1))y g x g =在点处的切线方程为21y x =+，
则曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程为（ B ) A ．620x y --= B ．620x y --= C ．6310x y --= D ．026=-+y x ⒏设曲线1
*()n y x n N +=∈在点(1，
1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n
x ，
则1
2
n x x
x ⋅⋅
⋅的值为（
C ）
A. 1n
B 。

1
n
n + C 。

11
n +
D. 1
⒐若2
1()ln(2)2
f x x
b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（
C ）
A. [1,)-+∞
B. (1,)-+∞
C 。

(,1]-∞-
D 。

(,1)-∞-
⒑函数f （x ）＝ax 3－3x ＋1对于x ∈［－1，1］总有f （x )≥0成立,则a 的取值为 （ A ）
A ．［4，＋∞）
B ．［2，＋∞)
C ．｛4｝
D ．［2,4]
二、填空题： ⒒若函数a x x
y +-
=2
3
2
3在［－1，1]上有最大值3，则该函数在［－1，
1］上的最小值是______________—1/2
⒓．已知函数1()sin 2f x x x =-，则()f x 在[]0,π上的值域为 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-
2,236ππ
⒔函数2
y x =
11()22
x -≤≤ 图象上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ,
则直线l 的倾斜角的范围是_____ ⎪⎭⎫
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,0
⒕设0
()sin f x x =,'''1
211()(),()(),......()()n n f x f
x f x f x f x f x +=== n N ∈,则2012()f x
等于
_____ sinx
⒖设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数,则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为__________ 0
三、解答题：
⒗（12分）当0>x 时，证明不等式2
2
11x x e x
+
+>成立。

证明：设(),2
112
x x e x f x
-
--=则().1'x e x f x --= 令,1)(x e
x g x
--=则.1)('-=x e x g
当0>x 时，().01'>-=x
e
x g )(x g ∴在()+∞,0上单调递增，而.0)0(=g
(),0)0(=>∴g x g 0)(>∴x g 在()+∞,0上恒成立，
即0)('>x f 在()+∞,0恒成立。

)(x f ∴在()+∞,0上单调递增，又,0)0(=f ,02
112>---∴x x e x
即0>x 时，
2
2
11x x e x +
+>成立.
⒘（12分)已知函数cx bx x x f 2)(23
+-=的导函数的图象关于直线2=x 对称。

（I ）求b 的值； (II)若函数)(x f 无极值，求c 的取值范围。

解:（Ⅰ）
c bx x x f 223)(2+-='
函数)(x f '的图像关于直线2=x 对称
∴6=b
(II ）由（Ⅰ）知cx x x
x f 26)(23
+-=
122)2(32123)(22-+-=+-='c x c x x x f
当6≥c 时0)(≥'x f ，此时)(x f 无极值 12分
⒙（12分）一出租车每小时耗油的费用与其车速的立方成正比，当车速为h km /80时，该车耗油的费用为元8/h ，其他费用为12元/h.甲乙两地的公路里程为160km ，在不考虑其他因素的前提下，为了使该车开往乙地的总费用最低，该车的车速应当确定为多少公里/小时? 解：设这辆出租车得车速为h vkm /，耗油的费用为A 元/h 由甲地开往乙地需要得时间为th ，总费用为B 元 依题意，得3
kv A =
80=v 时，8=A , 160=tv
t A B )12(+=
由此可得v v B 160)1264000(3•
+=
即v v B 1920
4002+
=
232200200
19201920200v v v v B ⨯-=
-='
令0='B 即 020019203=⨯-v
得
)/(6403
h km v =
答：为了使这辆出租车由甲地开往乙地得总费用最低该车得速度应确定为h km /640
3
.
⒚（12分）已知函数23
)(bx ax
x f +=的图象经过点)4,1(M ，曲线在点M
处
的切线恰好与直线09=+y x 垂直.
(I)求实数b a ,的值；（II)若函数)(x f 在区间[]1,+m m 上单调递增，求m 的取值范围.
解：（Ⅰ)2
3)(bx ax x f += 的图像经过)4,1(m 4=+∴b a
①
由条件1
)9
1
()1(-=-•'f 即923=+b a ②
由①②,解得3.1==b a
（II ）
x x x f x x x f 63)(,3)(223+='+=,令063)(2≥+='x x x f 得0≥x 或2-≤x
由条件知函数)(x f 在区间[]1,+m m 上单调递增,则：
[]1,+m m ]([)+∞-∞-⊆,02, 0≥∴m 或21-≤+m
即0≥m 或3-≤m 为所求m 得取值范围.
⒛（13分）已知函数3
()3.f x x
x =-
（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程;
（2）若过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线,求实数m 的取值范围. 解(1）2
3()33,(2)9,(2)2322f x x
f f ''=-==-⨯=
∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为29(2)y x -=-，即9160x y --= （2）过点(1,)A m 向曲线()y f x =作切线，设切点为0
(,)x y
则320
00003,()3 3.y
x x k f x x '=-==-
则切线方程为320
000(3)(33)()y x x x x x --=--整理得32002330(*)x x m -++=
∵过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线
∴方程(*）有三个不同实数根。

记3
22()233,()666(1)g x x
x m g x x x x x '=-++=-=-
令()0,0g x x '==或1。

则,(),()x g x g x '的变化情况如下表
当0,()x g x =有极大值3;1,()m x g x +=有极小值2m +。

由()g x 的简图知，当且仅当(0)0,(1)0g g >⎧⎨<⎩
即30,3220
m m m +>⎧-<<-⎨+<⎩时， 函数()g x 有三个不同零点,过点A 可作三条不同切线. 所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)--.
21。

(14分）已知函数()2
a f x x x =+，()ln g x x x =+，其中0a >．
（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；
（2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数)都有()1f x ≥()2
g x 成立，求实数a 的取值范围．
（1）解法1：∵()22ln a h x x x x =++,其定义域为()0 +∞，，∴()2212a h x x x '=-+．
∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=． ∵
0a >,∴a =．经检验当a =,1x =是函数()h x 的极值点，∴
a =
（2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的
[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．
当x ∈［1，e ］时,()110g x x
'=+>．∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．
∴()()max 1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦
．
∵()()()2221x a x a a f x x x
+-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈[1，e ］时,()()()2
0x a x a f x x +-'=>，
∴函数
()2a f x x x =+在［1，e ］上是增函数,∴()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦. 由
21a +≥1e +，得a 01a <<，∴a 不合题意． ②当1≤a ≤e 时, 若1≤x ＜a ，则()()()20x a x a f x x +-'=<， 若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>． ∴函数
()2a f x x x =+在[)1,a 上是减函数,在(]a e ，上是增函数． ∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦。

由2a ≥1e +,得a ≥12e +, 又1≤a ≤e , ∴12e
+≤a ≤e ．
③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<， ∴函数
()2a f x x x =+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦. 由2a
e e +≥1e +，得a a e >，∴a e >． 综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
．。