浅析向量法求解二面角
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法 向量 一个 指向二面 角的内部而另一个
个半平面 的法 向量一个指 向二面 角的内 部 ，另一个指 向二面角 的外部 ，这是二 参 考 文献 ： 面 角 ０＝＜ 一 ｎ １ ， 一 Ｒ ２ ＞。为 方 便记 忆 概 ［ １ ］ 杨 华 ． 对用法 向量求 二面角 的
括为 “ 同进 同出互补 ， 一进一 出相等 ” 。
时，
・ 莉
＞ ０且
角直接 表示二面 角。用坐标法计算降低
随 着新 课 程标 准 的不 断推 进 ，空 间 向量 作 为研 究 空 间几何 的强 有 力工
具 ，给 空 间 几 何 问 题 的 研 究 注 入 了
了对平面 向量基 向量运算的思维过程 的 均指 向二面 角外部时 有 ・ 两 ＜ ０ 且 要 求 ， 使整个解题思路更加直接 清晰 ， 解
技巧 ，把抽 象的几何 问题代 数化，并有很 强的规律 性和可操作 性。本 文通过对平 面法 向量方 向的判断 和 利用平面 法向量的夹角来表 示二面角的平面角 以
Ａ， ，则线 段 Ａ Ｂ的中 点 量积 ”等进 行求解 ，用这两个向量的夹
及 在两个半平Βιβλιοθήκη 面内用垂直公共棱 的两个 向量之 间夹
（ 作 者单 位 ：湖 北省 成 宁市 通城 县第一 中学 ）
指 向二面 角 的 外部 时 ０＝Ｏ ｔ 对 于法 向
角来表 示二面角的平面角对 二面角 问题 的求解进行
阐述。
角 ，没有求 二面 角的两个 半平 面的法向
量 ，而是在 二面 角两个半平面内找个两 个 与棱 垂直的向量 ，用这两个 向量 的夹
的 方 向 均 指 向 二 面 角 内 部
一
关 键 词 ：二 面 角 ；法 向量 ；方 向 ；基 向 量 ；平 面 角
向二面角 的内部 （ 或外部 ），这是二面 有法眼 ， 破解诡秘 有法 术。 我们 自有 “ 一 角 ０ ＝１ Ｔ 一＜ 一 ｎ ｌ ，一 ｎ ２ ＞。 举突破 ” 之招术 ， “ 一气呵成 ” 之招数 ， “ 一 法 向 量 的 方 向 指 向 二 面 角 内 锤定音 ” 之招 法 ， 将 几何 问题代数化 ， 立 部， 的方 向指 向 二面 角外 部 时 ，有 体 问题 坐标化 ，我们解 答空间几何问题 就 能按 图索骥 ， 得 心应手 ， 运 筹帷幄 ， 决 ｎ ｌ ・ 丽 与 ・ 莉 异 号 时 ，二 面 角 两 胜 千 里 。
了对逻辑 推理 能力和空间想象能力 的要
求 ，但 增加 了计 算量 ，方法可行但不方
浅析 向量法 求解 二面角
圃赵 雄
量的方 向的判 断一直是个 便 。为回避 求平面 法向量 和判 断法 向量 难点 ，具体 问题中如何判 方 向 ，我们 可以在 二面 角的两个半平面
断法 向量 的方 向 ，具体方 法如下 ：
内找 与公 共棱 垂直的两个向量的夹 角来 表示二面 角的平面 角 。
用 基底 向量法 即 选取 空 间 任意 不
在 二 面 角 的 公 共 棱
上 任 取 一 点 Ｍ，在 二 面
共面 的三个向量作为基向量 ，根据空间 向量的基本定理 ，将 所需的向量用基底 表示出来 ， 再利 用向量 的“ 线性运算” “ 数 角直接 表示 二面 角。
・
一
法 将抽 象 的几何 问题 代数 化 ，以算 代 证 ，将 问题 具 体 化 ，并有 很 强 的规 律
性 和 可操 作 性 。因此 ，在 解 决空 间几
丽
＞ ０且 一 ｎ ２ ・ 丽
＜ ０ ，
即
何 问题 中普遍 使 用 ，尤其 是 用法 向量 求 解 二面 角大 大 降低 了综 合 法 的解 题 技 巧 ，使得 解 题 思维 更 直接 清 晰 ，解 题过程 更简洁流畅 。 借 助平 面 法 向量 求 二面 角 时 ，二 面 角的平面 角 ０的大 小与法 向量 的所 成角 Ｏ ｔ（Ｏ ｔ ＝＜ 一 ｎ １ ，一 ｎ ２ ＞ ）相 等 或 互 的 内部或 外 部 时 ， ０＝盯一 ；当两 个
点 评 ：用 坐 标 向量 法 求 解 二 面
角 内部任 取一 点 Ⅳ （ 分别
摘 要 ：用 向量法求解二面 角降低 了综合法 的解题
在两个半平面 内各取一 点 （ Ⅳ） 在 二面 角的内部 ） ， 构 造 向 量 丽 ， 根 据 向 量 的 数 量 积 和 向 量 的 夹 角
的 定 义 ， 法 向 量 ，
旬 ），２ ０ １ ２（ ７）：５ ３ ＿ － ５ ４ ．
［ ２ ］ 齐相 国 ． 法 向量 求 二面 角 时法 向量
方 向的判 断方法 ［ Ｊ ］ ． 数 学通讯 ， ２ ０ ０ ９
（ ４）：２ ２ —２ ３ ．
补 ，当二面 角两个法向量都指向二面角 Ａ Ｂ ＝ ２ Ａ Ｄ，Ｐ Ｄ 上底面 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ。
ｎ ２ ・ —Ｎ＜ ０）即 ・ Ｍ 丽 与一 ｎ ２ ・ 丽
一
Ｒ ２ ・ —Ｎ ＞ ０（ 若 ， Ｍ 瓦 同
题 过程 更加 流畅 与完整 。 空间图形奇异多姿 ，然而透视奇异
号时 ，二面角两个半平面 的法 向量都指
新 的 生机 和 活 力 ，开 辟 了很 多解 题 的
新 途 径 ，新 方 法 ，新 思路 。空 间 向 量
例题 ：如图 ，四棱锥 Ｐ ＿ － Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ， 底面Ａ Ｂ Ｃ Ｄ为平行四边形 ，／Ｄ Ａ Ｂ － － ６ ０ ｏ，
（Ｉ） 证 明 ：Ｐ Ａ 上Ｂ Ｄ； （Ⅱ ） 若Ｐ Ｄ＝ Ａ Ｄ， 求二面角 Ａ — Ｐ Ｂ—
Ｃ的 余 弦 值 。
思考 ［ Ｊ ］ ． 中 学 数 学 教 学 参 考 （上
此 法是 先 通过 空 间 向量 的 坐标 形
式 求出两个 法向量的夹角的余弦值 ，再 通过利用 丽 ・ 一 ｎ ｌ 和 一 ＭＮ・ 一 ｎ ２ 的 值 的符
号 来判断法 向量 的方 向进 而确 定二而角 平面 角的余弦值。 此 法 思路 清晰 直接 ，通 过 代数 计 算代替综合 法的 “ 作 ，证 ，求” ，降低
个半平面 的法 向量一个指 向二面 角的内 部 ，另一个指 向二面角 的外部 ，这是二 参 考 文献 ： 面 角 ０＝＜ 一 ｎ １ ， 一 Ｒ ２ ＞。为 方 便记 忆 概 ［ １ ］ 杨 华 ． 对用法 向量求 二面角 的
括为 “ 同进 同出互补 ， 一进一 出相等 ” 。
时，
・ 莉
＞ ０且
角直接 表示二面 角。用坐标法计算降低
随 着新 课 程标 准 的不 断推 进 ，空 间 向量 作 为研 究 空 间几何 的强 有 力工
具 ，给 空 间 几 何 问 题 的 研 究 注 入 了
了对平面 向量基 向量运算的思维过程 的 均指 向二面 角外部时 有 ・ 两 ＜ ０ 且 要 求 ， 使整个解题思路更加直接 清晰 ， 解
技巧 ，把抽 象的几何 问题代 数化，并有很 强的规律 性和可操作 性。本 文通过对平 面法 向量方 向的判断 和 利用平面 法向量的夹角来表 示二面角的平面角 以
Ａ， ，则线 段 Ａ Ｂ的中 点 量积 ”等进 行求解 ，用这两个向量的夹
及 在两个半平Βιβλιοθήκη 面内用垂直公共棱 的两个 向量之 间夹
（ 作 者单 位 ：湖 北省 成 宁市 通城 县第一 中学 ）
指 向二面 角 的 外部 时 ０＝Ｏ ｔ 对 于法 向
角来表 示二面角的平面角对 二面角 问题 的求解进行
阐述。
角 ，没有求 二面 角的两个 半平 面的法向
量 ，而是在 二面 角两个半平面内找个两 个 与棱 垂直的向量 ，用这两个 向量 的夹
的 方 向 均 指 向 二 面 角 内 部
一
关 键 词 ：二 面 角 ；法 向量 ；方 向 ；基 向 量 ；平 面 角
向二面角 的内部 （ 或外部 ），这是二面 有法眼 ， 破解诡秘 有法 术。 我们 自有 “ 一 角 ０ ＝１ Ｔ 一＜ 一 ｎ ｌ ，一 ｎ ２ ＞。 举突破 ” 之招术 ， “ 一气呵成 ” 之招数 ， “ 一 法 向 量 的 方 向 指 向 二 面 角 内 锤定音 ” 之招 法 ， 将 几何 问题代数化 ， 立 部， 的方 向指 向 二面 角外 部 时 ，有 体 问题 坐标化 ，我们解 答空间几何问题 就 能按 图索骥 ， 得 心应手 ， 运 筹帷幄 ， 决 ｎ ｌ ・ 丽 与 ・ 莉 异 号 时 ，二 面 角 两 胜 千 里 。
了对逻辑 推理 能力和空间想象能力 的要
求 ，但 增加 了计 算量 ，方法可行但不方
浅析 向量法 求解 二面角
圃赵 雄
量的方 向的判 断一直是个 便 。为回避 求平面 法向量 和判 断法 向量 难点 ，具体 问题中如何判 方 向 ，我们 可以在 二面 角的两个半平面
断法 向量 的方 向 ，具体方 法如下 ：
内找 与公 共棱 垂直的两个向量的夹 角来 表示二面 角的平面 角 。
用 基底 向量法 即 选取 空 间 任意 不
在 二 面 角 的 公 共 棱
上 任 取 一 点 Ｍ，在 二 面
共面 的三个向量作为基向量 ，根据空间 向量的基本定理 ，将 所需的向量用基底 表示出来 ， 再利 用向量 的“ 线性运算” “ 数 角直接 表示 二面 角。
・
一
法 将抽 象 的几何 问题 代数 化 ，以算 代 证 ，将 问题 具 体 化 ，并有 很 强 的规 律
性 和 可操 作 性 。因此 ，在 解 决空 间几
丽
＞ ０且 一 ｎ ２ ・ 丽
＜ ０ ，
即
何 问题 中普遍 使 用 ，尤其 是 用法 向量 求 解 二面 角大 大 降低 了综 合 法 的解 题 技 巧 ，使得 解 题 思维 更 直接 清 晰 ，解 题过程 更简洁流畅 。 借 助平 面 法 向量 求 二面 角 时 ，二 面 角的平面 角 ０的大 小与法 向量 的所 成角 Ｏ ｔ（Ｏ ｔ ＝＜ 一 ｎ １ ，一 ｎ ２ ＞ ）相 等 或 互 的 内部或 外 部 时 ， ０＝盯一 ；当两 个
点 评 ：用 坐 标 向量 法 求 解 二 面
角 内部任 取一 点 Ⅳ （ 分别
摘 要 ：用 向量法求解二面 角降低 了综合法 的解题
在两个半平面 内各取一 点 （ Ⅳ） 在 二面 角的内部 ） ， 构 造 向 量 丽 ， 根 据 向 量 的 数 量 积 和 向 量 的 夹 角
的 定 义 ， 法 向 量 ，
旬 ），２ ０ １ ２（ ７）：５ ３ ＿ － ５ ４ ．
［ ２ ］ 齐相 国 ． 法 向量 求 二面 角 时法 向量
方 向的判 断方法 ［ Ｊ ］ ． 数 学通讯 ， ２ ０ ０ ９
（ ４）：２ ２ —２ ３ ．
补 ，当二面 角两个法向量都指向二面角 Ａ Ｂ ＝ ２ Ａ Ｄ，Ｐ Ｄ 上底面 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ。
ｎ ２ ・ —Ｎ＜ ０）即 ・ Ｍ 丽 与一 ｎ ２ ・ 丽
一
Ｒ ２ ・ —Ｎ ＞ ０（ 若 ， Ｍ 瓦 同
题 过程 更加 流畅 与完整 。 空间图形奇异多姿 ，然而透视奇异
号时 ，二面角两个半平面 的法 向量都指
新 的 生机 和 活 力 ，开 辟 了很 多解 题 的
新 途 径 ，新 方 法 ，新 思路 。空 间 向 量
例题 ：如图 ，四棱锥 Ｐ ＿ － Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ， 底面Ａ Ｂ Ｃ Ｄ为平行四边形 ，／Ｄ Ａ Ｂ － － ６ ０ ｏ，
（Ｉ） 证 明 ：Ｐ Ａ 上Ｂ Ｄ； （Ⅱ ） 若Ｐ Ｄ＝ Ａ Ｄ， 求二面角 Ａ — Ｐ Ｂ—
Ｃ的 余 弦 值 。
思考 ［ Ｊ ］ ． 中 学 数 学 教 学 参 考 （上
此 法是 先 通过 空 间 向量 的 坐标 形
式 求出两个 法向量的夹角的余弦值 ，再 通过利用 丽 ・ 一 ｎ ｌ 和 一 ＭＮ・ 一 ｎ ２ 的 值 的符
号 来判断法 向量 的方 向进 而确 定二而角 平面 角的余弦值。 此 法 思路 清晰 直接 ，通 过 代数 计 算代替综合 法的 “ 作 ，证 ，求” ，降低