五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编05 平面向量
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39．（2018·全国3（理））已知向量 ， ， ．若 ，则 ________．
40．（2017·上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点 、 、 、 以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合 ，点 ，过 作直线 ，使得不在 上的“”的点分布在 的两侧.用 和 分别表示 一侧和另一侧的“”的点到 的距离之和.若过 的直线 中有且只有一条满足 ，则 中所有这样的 为________
A． B． C． D．
7．（2019·全国2（文））已知向量 ，则
A． B．2
C．5 D．50
8．（2019·全国1（文））已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
9．（2019·全国2（理））已知 =(2,3)， =(3，t)， =1，则 =
A．-3B．-2
C．2D．3
10．（2018·北京（理））设向量 均为单位向量，则“ ”是“ ”的
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
五、平面向量
一、多选题
1．（2021·全国新高考1）已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A． B．
C． D．
二、单选题
2．（2021·浙江）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
41．（2017·北京（文））已知点 在圆 上，点 的坐标为 ， 为原点，则 的最大值为_________．
42．（2017·全国1（理））已知向量 与 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |= ______ .
43．（2017·天津（文））设抛物线 的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若 ，则圆的方程为____________ .
51．（2020·北京）已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则 _________； _________．
52．（2019·浙江）已知正方形 的边长为1，当每个 取遍 时， 的最小值是________；最大值是_______.
53．（2017·浙江）已知向量 满足 ，则 的最小值是___________，最大值是______．
A． B． C． D．
13．（2018·全国1（文））在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
14．（2018·全国2（文））已知向量 满足 ， ，则
A．4B．3C．2D．0
15．（2018·天津（文））在如图的平面图形中，已知 , 则 的值为
A． B．
C． D．0
16．（2017·浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 ， ， ，则
26．（2020·江苏）在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是________．
27．（2020·全国1（文））设向量 ，若 ，则 __________.
28．（2020·全国1（理））设 为单位向量，且 ，则 __________.
29．（2020·全国1（理））已知单位向量 , 的夹角为45°， 与 垂直，则k=__________.
19．A
【解析】
由 平方得 ，即 ，则
20．
【解析】由题意，设 ，则 ，即 ，
又向量 在 方向上的投影分别为x，y，所以 ，
所以 在 方向上的投影 ，
即 ,
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，所以 的最小值为 .
21．
【解析】∵ ∴ ∴ .
22． .
【解析】 ,
，解得 ,故答案为： .
23．
【解析】因为 ，所以由 可得，
33．（2019·全国（理））已知 为单位向量，且 =0，若 ，则 ___________.
34．（2019·天津（文））在四边形 中， ， ， ， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则 __________.
35．（2019·上海）在椭圆 上任意一点 ， 与 关于 轴对称，若有 ，则 与 的夹角范围为____________
9．C
【解析】由 ， ，得 ，则 ， ．故选C．
10．C
【解析】因为向量 均为单位向量
所以
所以“ ”是“ ”的充要条件
11．A
【解析】设 ，
则由 得 ，
由 得
因此， 的最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径1，为 选A.
12．A
【解析】连接BD,取AD中点为O,可知 为等腰三角形，而 ，
所以 为等边三角形， 。设
30． .
【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得 即 故 .
31．8.
【解析】向量 则 .
32．
【解析】 ．
33． .
【解析】因为 ， ，所以 ，
，所以 ，所以 ．
34． .
【解析】建立如图所示的直角坐标系，则 ， ．
因为 ∥ ， ，所以 ，
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
19．（2017·全国2（文））设非零向量 ， 满足 ，则
A． ⊥ B．
C． ∥ D．
三、填空题
20．（2021·浙江）已知平面向量 满足 .记向量 在 方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为___________.
21．（2021·全国甲（文））若向量 满足 ，则 _________.
，解得 ．故答案为： ．
24．
【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ，解方程可得： .
25．
【ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ析】 ， ， ，
.
26． 或0
【解析】∵ 三点共线，∴可设 ，
∵ ，∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，∵ , , ，∴ ，
设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ， ，
A．I１<I２<I３B．I１<I３<I２C．I３<I１<I２D．I２<I１<I３
17．（2017·全国2（理））已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是
A． B． C． D．
18．（2017·北京（文））设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
=
所以当 时，上式取最小值 ，选A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。
13．A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，故选A.
14．B
【解析】因为
15．C
【解析】如图所示，连结MN，
由 可知点 分别为线段 上靠近点 的三等分点，
四、解答题
54．（2017·江苏）已知向量 ．
（1）若 ，求x的值；
（2）记 ，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
五、平面向量（答案解析）
1．AC
【解析】
A： ， ，所以 ， ，故 ，正确；
B： ， ，所以 同理 ，故 不一定相等，错误；
所以 的取值范围是 ，
5．D
【解析】 ， ， ， .
，
因此， .
6．D
【解析】由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
7．A
【解析】由已知， ，所以 ，
8．B
【解析】因为 ，所以 =0，所以 ，所以 = ，所以 与 的夹角为 ，故选B．
44．（2017·天津（文））在 中， ， ， .若 ， ，且 ，则 的值为______________.
45．（2017·山东（理））已知 ， 是互相垂直的单位向量，若 与 λ 的夹角为60°，则实数λ的值是__．
46．（2017·全国3（文））已知向量 ，且 ，则 _______.
47．（2017·全国1（文））已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若 ，则m=_________．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
11．（2018·浙江）已知 、 、 是平面向量， 是单位向量．若非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足 ，则 的最小值是
A． B． C．2D．
12．（2018·天津（理））如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上的动点，则 的最小值为
30．（2019·江苏）如图，在 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点 .若 ，则 的值是_____.
31．（2019·北京（文））已知向量 =（－4，3）， =（6，m），且 ，则m=__________.
32．（2019·全国3（文））已知向量 ，则 ___________.
48．（2017·山东（文））已知向量a=（2,6）,b= ,若a∥b,则 ____________.
49．（2017·江苏）在同一个平面内，向量 的模分别为 与 的夹角为 ，且 与 的夹角为 ，若 ，则 _________．
50．（2020·天津）如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为_________．
且 • =1×1×cos∠AOB= ，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，
AB=1， + 的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，
可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d= ，
3．（2020·海南）在 中，D是AB边上的中点，则 =（）
A． B． C． D．
4．（2020·海南）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
5．（2020·全国2（理））已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
6．（2020·全国3（文））已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是（）
36．（2018·上海）已知实数 、 、 、 满足： ， ， ，则 的最大值为______．
37．（2018·江苏）在平面直角坐标系 中， 为直线 上在第一象限内的点， ，以 为直径的圆 与直线 交于另一点 ．若 ，则点 的横坐标为________．
38．（2018·北京（文））设向量 =（1,0）， =（−1,m）,若 ，则m=_________.
C：由题意得： ， ，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
2．B
【解析】
若 ，则 ，推不出 ；若 ，则 必成立，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件
3．C
【解析】
4．A
【解析】
的模为2，根据正六边形的特征，可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，
结合向量数量积的定义式，可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，
因为 ，所以 ，
所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，
直线 的斜率为 ，其方程为 ．
由 得 ， ，所以 ．
所以 ．
35．
【解析】由题意： ，
设 ， ，因为 ，则
与 结合 ，又
与 结合，消去 ，可得：
所以
36．
【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2）， =（x1，y1）， =（x2，y2），
由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2= ，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，
∵ ，∴ ，解得 ，∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
27．5
【解析】由 可得 ，又因为 ，
所以 ，即 ，故答案为：5.
28．
【解析】因为 为单位向量，所以
所以 ，解得：
所以 ，故答案为：
29．
【解析】由题意可得： ，由向量垂直的充分必要条件可得： ，即： ，解得： .故答案为： ．
22．（2021·全国甲（理））已知向量 ．若 ，则 ________．
23．（2021·全国乙（理））已知向量 ，若 ，则 __________．
24．（2021·全国乙（文））已知向量 ，若 ，则 _________．
25．（2020·浙江）设 ， 为单位向量，满足 ， ， ，设 ， 的夹角为 ，则 的最小值为_______．
则 ，
由题意可知： ， ，
结合数量积的运算法则可得：
.
本题选择C选项.
16．C
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，故选C．
17．B
【解析】建立如图所示的坐标系，以 中点为坐标原点，则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
则
当 ， 时，取得最小值 ，故选： ．
18．A
【解析】若 ，使 ，则两向量 反向，夹角是 ，那么 ；若 ，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数 ，使得 ，所以是充分而不必要条件，故选A.
40．（2017·上海）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点 、 、 、 以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合 ，点 ，过 作直线 ，使得不在 上的“”的点分布在 的两侧.用 和 分别表示 一侧和另一侧的“”的点到 的距离之和.若过 的直线 中有且只有一条满足 ，则 中所有这样的 为________
A． B． C． D．
7．（2019·全国2（文））已知向量 ，则
A． B．2
C．5 D．50
8．（2019·全国1（文））已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
9．（2019·全国2（理））已知 =(2,3)， =(3，t)， =1，则 =
A．-3B．-2
C．2D．3
10．（2018·北京（理））设向量 均为单位向量，则“ ”是“ ”的
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
五、平面向量
一、多选题
1．（2021·全国新高考1）已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A． B．
C． D．
二、单选题
2．（2021·浙江）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
41．（2017·北京（文））已知点 在圆 上，点 的坐标为 ， 为原点，则 的最大值为_________．
42．（2017·全国1（理））已知向量 与 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |= ______ .
43．（2017·天津（文））设抛物线 的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若 ，则圆的方程为____________ .
51．（2020·北京）已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则 _________； _________．
52．（2019·浙江）已知正方形 的边长为1，当每个 取遍 时， 的最小值是________；最大值是_______.
53．（2017·浙江）已知向量 满足 ，则 的最小值是___________，最大值是______．
A． B． C． D．
13．（2018·全国1（文））在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
14．（2018·全国2（文））已知向量 满足 ， ，则
A．4B．3C．2D．0
15．（2018·天津（文））在如图的平面图形中，已知 , 则 的值为
A． B．
C． D．0
16．（2017·浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记 ， ， ，则
26．（2020·江苏）在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是________．
27．（2020·全国1（文））设向量 ，若 ，则 __________.
28．（2020·全国1（理））设 为单位向量，且 ，则 __________.
29．（2020·全国1（理））已知单位向量 , 的夹角为45°， 与 垂直，则k=__________.
19．A
【解析】
由 平方得 ，即 ，则
20．
【解析】由题意，设 ，则 ，即 ，
又向量 在 方向上的投影分别为x，y，所以 ，
所以 在 方向上的投影 ，
即 ,
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，所以 的最小值为 .
21．
【解析】∵ ∴ ∴ .
22． .
【解析】 ,
，解得 ,故答案为： .
23．
【解析】因为 ，所以由 可得，
33．（2019·全国（理））已知 为单位向量，且 =0，若 ，则 ___________.
34．（2019·天津（文））在四边形 中， ， ， ， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则 __________.
35．（2019·上海）在椭圆 上任意一点 ， 与 关于 轴对称，若有 ，则 与 的夹角范围为____________
9．C
【解析】由 ， ，得 ，则 ， ．故选C．
10．C
【解析】因为向量 均为单位向量
所以
所以“ ”是“ ”的充要条件
11．A
【解析】设 ，
则由 得 ，
由 得
因此， 的最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径1，为 选A.
12．A
【解析】连接BD,取AD中点为O,可知 为等腰三角形，而 ，
所以 为等边三角形， 。设
30． .
【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得 即 故 .
31．8.
【解析】向量 则 .
32．
【解析】 ．
33． .
【解析】因为 ， ，所以 ，
，所以 ，所以 ．
34． .
【解析】建立如图所示的直角坐标系，则 ， ．
因为 ∥ ， ，所以 ，
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
19．（2017·全国2（文））设非零向量 ， 满足 ，则
A． ⊥ B．
C． ∥ D．
三、填空题
20．（2021·浙江）已知平面向量 满足 .记向量 在 方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为___________.
21．（2021·全国甲（文））若向量 满足 ，则 _________.
，解得 ．故答案为： ．
24．
【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ，解方程可得： .
25．
【ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ析】 ， ， ，
.
26． 或0
【解析】∵ 三点共线，∴可设 ，
∵ ，∴ ，即 ，
若 且 ，则 三点共线，∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，∵ , , ，∴ ，
设 ， ，则 ， .
∴根据余弦定理可得 ， ，
A．I１<I２<I３B．I１<I３<I２C．I３<I１<I２D．I２<I１<I３
17．（2017·全国2（理））已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是
A． B． C． D．
18．（2017·北京（文））设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
=
所以当 时，上式取最小值 ，选A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。
13．A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，故选A.
14．B
【解析】因为
15．C
【解析】如图所示，连结MN，
由 可知点 分别为线段 上靠近点 的三等分点，
四、解答题
54．（2017·江苏）已知向量 ．
（1）若 ，求x的值；
（2）记 ，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
五、平面向量（答案解析）
1．AC
【解析】
A： ， ，所以 ， ，故 ，正确；
B： ， ，所以 同理 ，故 不一定相等，错误；
所以 的取值范围是 ，
5．D
【解析】 ， ， ， .
，
因此， .
6．D
【解析】由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
7．A
【解析】由已知， ，所以 ，
8．B
【解析】因为 ，所以 =0，所以 ，所以 = ，所以 与 的夹角为 ，故选B．
44．（2017·天津（文））在 中， ， ， .若 ， ，且 ，则 的值为______________.
45．（2017·山东（理））已知 ， 是互相垂直的单位向量，若 与 λ 的夹角为60°，则实数λ的值是__．
46．（2017·全国3（文））已知向量 ，且 ，则 _______.
47．（2017·全国1（文））已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若 ，则m=_________．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
11．（2018·浙江）已知 、 、 是平面向量， 是单位向量．若非零向量 与 的夹角为 ，向量 满足 ，则 的最小值是
A． B． C．2D．
12．（2018·天津（理））如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上的动点，则 的最小值为
30．（2019·江苏）如图，在 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点 .若 ，则 的值是_____.
31．（2019·北京（文））已知向量 =（－4，3）， =（6，m），且 ，则m=__________.
32．（2019·全国3（文））已知向量 ，则 ___________.
48．（2017·山东（文））已知向量a=（2,6）,b= ,若a∥b,则 ____________.
49．（2017·江苏）在同一个平面内，向量 的模分别为 与 的夹角为 ，且 与 的夹角为 ，若 ，则 _________．
50．（2020·天津）如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为_________．
且 • =1×1×cos∠AOB= ，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，
AB=1， + 的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，
可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d= ，
3．（2020·海南）在 中，D是AB边上的中点，则 =（）
A． B． C． D．
4．（2020·海南）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
5．（2020·全国2（理））已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
6．（2020·全国3（文））已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是（）
36．（2018·上海）已知实数 、 、 、 满足： ， ， ，则 的最大值为______．
37．（2018·江苏）在平面直角坐标系 中， 为直线 上在第一象限内的点， ，以 为直径的圆 与直线 交于另一点 ．若 ，则点 的横坐标为________．
38．（2018·北京（文））设向量 =（1,0）， =（−1,m）,若 ，则m=_________.
C：由题意得： ， ，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
2．B
【解析】
若 ，则 ，推不出 ；若 ，则 必成立，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件
3．C
【解析】
4．A
【解析】
的模为2，根据正六边形的特征，可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，
结合向量数量积的定义式，可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，
因为 ，所以 ，
所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，
直线 的斜率为 ，其方程为 ．
由 得 ， ，所以 ．
所以 ．
35．
【解析】由题意： ，
设 ， ，因为 ，则
与 结合 ，又
与 结合，消去 ，可得：
所以
36．
【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2）， =（x1，y1）， =（x2，y2），
由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2= ，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，
∵ ，∴ ，解得 ，∴ 的长度为 .
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去.
27．5
【解析】由 可得 ，又因为 ，
所以 ，即 ，故答案为：5.
28．
【解析】因为 为单位向量，所以
所以 ，解得：
所以 ，故答案为：
29．
【解析】由题意可得： ，由向量垂直的充分必要条件可得： ，即： ，解得： .故答案为： ．
22．（2021·全国甲（理））已知向量 ．若 ，则 ________．
23．（2021·全国乙（理））已知向量 ，若 ，则 __________．
24．（2021·全国乙（文））已知向量 ，若 ，则 _________．
25．（2020·浙江）设 ， 为单位向量，满足 ， ， ，设 ， 的夹角为 ，则 的最小值为_______．
则 ，
由题意可知： ， ，
结合数量积的运算法则可得：
.
本题选择C选项.
16．C
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，故选C．
17．B
【解析】建立如图所示的坐标系，以 中点为坐标原点，则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
则
当 ， 时，取得最小值 ，故选： ．
18．A
【解析】若 ，使 ，则两向量 反向，夹角是 ，那么 ；若 ，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数 ，使得 ，所以是充分而不必要条件，故选A.