庄河市第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

庄河市第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． “1＜m ＜3”是“方程+
=1表示椭圆”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2． 已知x ，y 满足时，z=x ﹣y 的最大值为（ ） A ．4
B ．﹣4
C ．0
D ．2
3． 若函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A ．a ＞1且b ＜1 B ．a ＞1且b ＞0 C ．0＜a ＜1且b ＞0
D ．0＜a ＜1且b ＜0
4． 设a ，b 为正实数，11a b
+≤23
()4()a b ab -=，则log a b =（ ）
A.0
B.1-
C.1 D .1-或0
【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 5． 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x +=-,且在区间[0,2]上是增函数，则 A 、(25)(11)(80)f f f -<< B 、(80)(11)(25)f f f <<- C 、(11)(80)(25)f f f <<- D 、(25)(80)(11)f f f -<< 6． 若命题“p ∧q ”为假，且“¬q ”为假，则（ ） A ．“p ∨q ”为假
B ．p 假
C ．p 真
D ．不能判断q 的真假
7． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ） A ．M ∪N
B ．（∁U M ）∩N
C ．M ∩（∁U N ）
D ．（∁U M ）∩（∁U N ）
8． 已知函数f （x ）=3cos （2x ﹣），则下列结论正确的是（ ）
A ．导函数为
B ．函数f （x ）的图象关于直线对称
C ．函数f （x ）在区间（﹣
，
）上是增函数
D ．函数f （x ）的图象可由函数y=3co s2x 的图象向右平移
个单位长度得到
9． 函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）图象恒过定点（ ）
A ．（0，1）
B ．（2，1）
C ．（2，0）
D ．（0，2）
10．定义在R 上的奇函数f （x ），满足，且在（0，+∞）上单调递减，则xf （x ）＞0的解集为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（ ） A ．120° B ．60° C ．45° D ．30°
12．集合U=R ，A={x|x 2﹣x ﹣2＜0}，B={x|y=ln （1﹣x ）}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A ．{x|x ≥1}
B ．{x|1≤x ＜2}
C ．{x|0＜x ≤1}
D ．{x|x ≤1}
二、填空题
13．已知过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若
1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）
A ．5-
B
C ．6- D
【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．
14．二面角α﹣l ﹣β内一点P 到平面α，β和棱l 的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是
度．
15．已知α为钝角，sin （+α）=，则sin （
﹣α）= ．
16．设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣3y的最小值是．
17．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为．18．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=m．
三、解答题
19．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝|x－a|＋|x＋b|，（a≥0，b≥0）．
（1）求f（x）的最小值，并求取最小值时x的范围；
（2）若f（x）的最小值为2，求证：f（x）≥a＋b.
20．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若c2
=b2+a2，求B．
21．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，求抛物线的方程．
22．已知函数f（x）=ax2﹣2lnx．
（Ⅰ）若f（x）在x=e处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若x∈（0，e]，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设a＞，g（x）=﹣5+ln，∃x1，x2∈（0，e]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜9成立，求a的取值范围．
23．．
（1）求证：
（2），若．
24．如图，在四边形ABCD 中,,,3,2,45AD DC AD BC AD CD AB DAB ⊥===∠=, 四 边形绕着直线AD 旋转一周.
（1）求所成的封闭几何体的表面积； （2）求所成的封闭几何体的体积.
庄河市第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：若方程+=1表示椭圆，
则满足，即，
即1＜m＜3且m≠2，此时1＜m＜3成立，即必要性成立，
当m=2时，满足1＜m＜3，但此时方程+=1等价为为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立
故“1＜m＜3”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键．
2．【答案】A
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，得A（6，2），
化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，
由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．
故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
3． 【答案】B
【解析】解：∵函数y=a x
﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，
∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0
﹣b ﹣1＜0，
即a ＞1，b ＞0， 故选：B
4． 【答案】B.
【解析】2
3
2
3
()4()()44()a b ab a b ab ab -=⇒+=+，故
11a b a b ab
++≤⇒≤
2322
()44()11
84()82()()a b ab ab ab ab ab ab ab ab
++⇒≤⇒=+≤⇒+≤，而事实上12ab ab +≥=， ∴1ab =，∴log 1a b =-，故选B.
5． 【答案】D
【解析】∵(4)()f x f x +=-，∴(8)(4)f x f x +=-+，∴(8)()f x f x +=， ∴()f x 的周期为8，∴(25)(1)f f -=-，)0()80(f f =，
(11)(3)(14)(1)(1)f f f f f ==-+=--=，
又∵奇函数)(x f 在区间[0,2]上是增函数，∴)(x f 在区间[2,2]-上是增函数， ∴(25)(80)(11)f f f -<<，故选D. 6． 【答案】B
【解析】解：∵命题“p ∧q ”为假，且“¬q ”为假， ∴q 为真，p 为假； 则p ∨q 为真， 故选B ．
【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题．
7． 【答案】B
【解析】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}， ∴∁U M={0，1}， ∴N ∩（∁U M ）={0，1}， 故选：B ．
【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．
8．【答案】B
【解析】解：对于A，函数f′（x）=﹣3sin（2x﹣）•2=﹣6sin（2x﹣），A错误；对于B，当x=时，f（）=3cos（2×﹣）=﹣3取得最小值，
所以函数f（x）的图象关于直线对称，B正确；
对于C，当x∈（﹣，）时，2x﹣∈（﹣，），
函数f（x）=3cos（2x﹣）不是单调函数，C错误；
对于D，函数y=3co s2x的图象向右平移个单位长度，
得到函数y=3co s2（x﹣）=3co s（2x﹣）的图象，
这不是函数f（x）的图象，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
9．【答案】D
【解析】解：令x=0，则函数f（0）=a0+3=1+1=2．
∴函数f（x）=a x+1的图象必过定点（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数的性质和a0=1（a＞0且a≠1），属于基础题．
10．【答案】B
【解析】解：∵函数f（x）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f （）=0，
∴f （﹣）=0，且在区间（﹣∞，0）上单调递减，
∵当x＜0，当﹣＜x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0
当x＞0，当0＜x＜时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0
综上xf（x）＞0的解集为
故选B
11．【答案】A
【解析】解：根据余弦定理可知cosA=
∵a2=b2+bc+c2，
∴bc=﹣（b2+c2﹣a2）
∴cosA=﹣
∴A=120°
故选A
12．【答案】B
【解析】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩（∁U B）．A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，
则∁U B={x|x≥1}，
则A∩（∁U B）={x|1≤x＜2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．
二、填空题
13．【答案】B
【解析】
14．【答案】75度．
【解析】解：点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P在二面角α﹣l﹣β的内部
时，如图，A、C、B、P四点共面，∠ACB为二面角的平面角，
由题设条件，点P到α，β和棱l的距离之比为1：：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．
故答案为：75．
【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关键．
15．【答案】﹣．
【解析】解：∵sin（+α）=，
∴cos（﹣α）=cos[﹣（+α）]
=sin（+α）=，
∵α为钝角，即＜α＜π，
∴＜﹣，
∴sin（﹣α）＜0，
∴sin（﹣α）=﹣
=﹣
=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．
16．【答案】﹣6．
【解析】解：由约束条件，得可行域如图，
使目标函数z=2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），
∴目标函数z=2x﹣3y的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6．
故答案为：﹣6．
17．【答案】3x﹣y﹣11=0．
【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点
为A（x1，y1），B（x2，y2），
即有y12=6x1，y22=6x2，
相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2），
即有k AB====3，
则直线方程为y﹣1=3（x﹣4），
即为3x﹣y﹣11=0．
将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得
9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0，
故所求直线为3x﹣y﹣11=0．
故答案为：3x﹣y﹣11=0．
18．【答案】150
【解析】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100m．
在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，
由正弦定理得，，因此AM=100m．
在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，由
得MN=100×=150m．
故答案为：150．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由|x－a|＋|x＋b|≥|（x－a）－（x＋b）|
＝|a＋b|得，
当且仅当（x－a）（x＋b）≤0，即－b≤x≤a时，f（x）取得最小值，
∴当x∈[－b，a]时，f（x）min＝|a＋b|＝a＋b.
（2）证明：由（1）知a＋b＝2，
（a＋b）2＝a＋b＋2ab≤2（a＋b）＝4，
∴a＋b≤2，
∴f（x）≥a＋b＝2≥a＋b，
即f（x）≥a＋b.
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2
AsinB+sinBcos2A=sinA，
即sinB（sin2
A+cos2A）=sinA
∴sinB=sinA，=
（Ⅱ）由余弦定理和C2
=b2+a2，得cosB=
由（Ⅰ）知b2
=2a2，故c2=（2+）a2，
可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=
所以B=45°
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．
21．【答案】
【解析】解：由题意可知过焦点的直线方程为y=x﹣，联立，
得，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
根据抛物线的定义，得|AB|=x1+x2+p=4p=8，
解得p=2．
∴抛物线的方程为y2=4x．
【点评】本题给出直线与抛物线相交，在已知被截得弦长的情况下求焦参数p的值．着重考查了抛物线的标准方程和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f′（x）=2ax﹣=由已知f′（e）=2ae﹣=0，解得a=．
经检验，a=符合题意．
（Ⅱ）
1）当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上是减函数．
2）当a＞0时，
①若＜e，即，则f（x）在（0，）上是减函数，在（，e]上是增函数；
②若≥e，即0＜a≤，则f（x）在[0，e]上是减函数．
综上所述，当a≤时，f（x）的减区间是（0，e]，
当a＞时，f（x）的减区间是，增区间是．
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知f（x）的最小值是f（）=1+lna；
易知g（x）在（0，e]上的最大值是g（e）=﹣4﹣lna；
注意到（1+lna）﹣（﹣4﹣lna）=5+2lna＞0，
故由题设知，
解得＜a＜e2．
故a 的取值范围是（，e 2）
23．【答案】
【解析】解：（1）∵，
∴a n+1=f （a n ）=，
则，
∴{
}是首项为1，公差为3的等差数列；
（2）由（1）得， =3n ﹣2，
∵{b n }的前n 项和为
，
∴当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣2n ﹣1=2n ﹣1
， 而b 1=S 1=1，也满足上式，则b n =2n ﹣1
，
∴=
=（3n ﹣2）2n ﹣1，
∴
=20+4•21+7•22+…+（3n ﹣2）2n ﹣1，①
则2T n =21+4•22+7•23+…+（3n ﹣2）2n
，②
①﹣②得：﹣T n =1+3•21+3•22+3•23+…+3•2n ﹣1﹣（3n ﹣2）2n ，
∴T n =（3n ﹣5）2n
+5．
24．【答案】（1）(8π+；（2）20
3
π． 【解析】
考点：旋转体的概念；旋转体的表面积、体积.。