新初中数学向量的线性运算分类汇编含答案解析(1)

新初中数学向量的线性运算分类汇编含答案解析(1)
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +r
r 等于（ ）
A ．BD u u u r
B ．A
C u u u r
C ．DB u u u r
D ．CA u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r
，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ，
∵AD b =u u u r r ，
∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ，
∴a b +r r =AB u u u
r +BC uuu r =AC u u u r ．
故选B ．
2．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，
=，
=，
=，则
（ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--= D ．--+=
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项． 【详解】
根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；
；
而 ；
∴B 正确. 故选B. 【点睛】
此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.
3．下列各式中错误的是( ) A ．()0a a r r
+-= B ．|AB BA |0+=u u u r u u u r
C ．()
-=+-r
r
r
r
a b a b
D ．()()++=++r r r r r r a b c a b c
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】
解：A. ()0a a v
v v +-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确，
故选：A. 【点睛】
本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.
4．已知233m a b =-r r r ，1124
n b a =+r r r ，那么4m n -r r
等于（ ）
A ．823a b -r r
B ．443a b r r -
C ．423
a b -r r
D ．843
a b -r r
【答案】A 【解析】
根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．
解：∵233m a b =-r r r ，1124
n b a =+r r r
，
∴4m n -r r =2112834()32232433
a b b a a b b a a b --+=---=-r
r r r r r r r r r ．
故选A ．
5．若AB u u u r
是非零向量，则下列等式正确的是（ ）
A ．A
B BA =u u u r u u u r ；
B ．AB BA u u u v u u u v =；
C ．0AB BA +=u u u r u u u r
；
D ．0AB BA +=u u u r u u u r
.
【答案】B 【解析】 【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量,本题根据向量的长度及方向易得结果 【详解】 ∵AB u u u r
是非零向量, ∴AB BA =u u u v u u u v
故选B 【点睛】
此题考查平面向量，难度不大
6．已知1,3a b ==r r ，而且b r 和a r
的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A ．3a b =r r
B ．3a b =-r r
C ．3b a =r r
D ．3b a =-r r . 【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】
∵1,3a b ==v v
，而且b v 和a v 的方向相反 ∴3b a v v =-.
故选D ． 【点睛】
本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
7．已知矩形的对角线AC 、BD 相交于点O ，若BC a =u u u r
r
，DC b =u u u r r
，则（ ）
A ．()
12BO a b =+u u u r r r ； B ．()
1
2BO a b =-u u u r r r ；
C ．()
12BO b a =-+u u u r r r ； D ．(
)
12
BO b a =
-u u u r r r ．
【答案】D 【解析】
1,.2
1(b-a)2
BCD BO BD BD DC CB CB BC
BO D
∆==+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r r r
在中，所以故选
8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r
，则下列选项
与1122
a b -+r
r 相等的向量是（ ）．
A ．MA u u u r
B ．MB u u u r
C ．MC u u u u r
D ．MD u u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】
解:∵在平行四边形ABCD 中, AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r
， ∴AC AB AD a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ,BD AD AB b a =-=-u u u r u u u r u u u r r r
,M 分别为AC 、BD 的中点,
∴()
11112222
a M AC a
b A b =+==----u u u r u u u r r r
r r ，故A 不符合题意；
()
11112222
MB BD b a a b =-=--=-u u u r u u u r r r
r r ，故B 不符合题意；
()
11112222a M AC a b C b =+=+=u u u u r u ur r u r r
r ，故C 不符合题意；
()
11112222MD BD b a a b ==-=-+u u u u r u u u r r r
r r ，故D 符合题意.
故选D.
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.
9．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据相等向量的定义，依次分析选项，依据图示，大小相等，方向相同的向量即可得到答案． 【详解】
根据相等向量的定义，分析可得， A. 方向不同，错误， B. 方向不同，错误， C. 方向相反，
错误，
D. 方向相同，且大小都等于线段EF 长度的一半，正确；
故选D. 【点睛】
此题考查相等向量与相反向量，解题关键在于掌握其定义.
10．下列说法中，正确的是（ ）
A ．如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0
B ．如果e r 是单位向量，那么e r
＝1
C ．如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a r
D ．已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r
，那么a r ∥b r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】
解：A 、如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0，错误，应该是k a r ＝0r
．
B 、如果e r 是单位向量，那么e r
＝1，错误．应该是e r ＝1．
C 、如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a r
，错误．模相等的向量，不一定平行．
D 、已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r ，那么a r ∥b r
，正确．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.
11．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，2b c =-r r
，那么下列说法中，错误的是
（ ）
A ．//a b r r
B ．a b =r r
C ．72
BD =
D ．a r 与b r
方向相反
【答案】C 【解析】 【分析】
利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答. 【详解】
解：已知2a c v v
＝，2b c -v
v
＝，故a b v
v ，是长度相同，方向相反的相反向量， 故A ,B ,D 正确，
向量之和是向量，C 错误， 故选C. 【点睛】
本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确.
12．已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r ，那么向量a r 与b r
的方向关系是（ ） A ．a r
∥b r
，并且a r 和b r
方向一致 B ．a r ∥b r ，并且a r 和b r
方向相反 C ．a r 和b r
方向互相垂直 D ．a r 和b r
之间夹角的正切值为5
【答案】B 【解析】
【分析】
根据平行向量的性质解决问题即可． 【详解】
∵已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r
， ∴a r ∥b r ，a r 与b r
的方向相反， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．
13．已知a r ，b r 和c r 都是非零向量，下列结论中不能判定a r ∥b r
的是（ ）
A ．a r //c r ，b r //c r
B ．1,22
a c
b
c ==r r r r
C ．2a b =r r
D ．a b =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】
解：A.∵a r //c r ，b r //c r ，∴a r ∥b r
，故本选项错误；
B.∵1,22a c b c ==r r r r ∴a r ∥b r
，故本选项错误.
C.∵2a b =r r ，∴a r ∥b r
，故本选项错误；
D.∵a b =r r ，∴a r 与b r
的模相等，但不一定平行，故本选项正确；
故选：D ． 【点睛】
本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．
14．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v
是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．
A ．1a e a
=r r r ；
B ．e a a =r r r ；
C ．b e b =r r r ；
D ．11a b a b
=r r r r ．
【答案】B 【解析】 【分析】
长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】
解：A 、左边得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；
B 、符合向量的长度及方向，正确；
C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；
D 、左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了向量的性质．
15．已知非零向量a r 、b r 和c r
，下列条件中，不能判定a b r r P 的是（ ）
A ．2a b =-r r
B ．a c =r r ，3b c =r r
C ．2a b c +=r r r ，a b c -=-r r
r D ．2a b =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求
【详解】
A 、2a b =-r r
，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误； B 、a c =r r ，3b c =r r ，则a r ∥b r ∥c r
，故本选项错误；
C 、由已知条件知2a b =-r r ，3a c -=r r ，则a r ∥b r ∥c r
，故本选项错误；
D 、2a b =r r 只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a r 与b r
不一定平
行，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．
16．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r
可以用点P 的
坐标表示为：(,)OP m n u u u v
=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那么OA u u u r 与OB uuu r
互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）
A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u r
B ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u r
C ．OG =u u u r ；(OH =u u u r
D ．4)OM =u u u u r ；(2)ON =-u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】
解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意；
B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意；
C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意；
D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】
本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.
17．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A ．m na mn a r r
（）＝（）
B ． m n a ma na ++r r r
（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r
（+）＝ D ．若0ma =r r
，那么0a =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
空间向量的线性运算的理解：
（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；
（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；
（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】
根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0
v
是有方向的，而0没有，所以错误．
解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v
．∴错误． 故选D ． 【点睛】
本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.
18．若a v ＝2e v
，向量b v
和向量a v
方向相反，且|b v
|＝2|a v
|，则下列结论中不正确的是（ ）
A ．|a v |＝2
B ．|b v
|＝4 C ．b v ＝4e v
D ．a v
＝12
b v -
【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件可以得到：b v
＝﹣4e v
，由此对选项进行判断． 【详解】
A 、由a v ＝2e v 推知|a v
|＝2，故本选项不符合题意．
B 、由b v
＝-4e v
推知|b v
|＝4，故本选项不符合题意． C 、依题意得：b v
＝﹣4e v
，故本选项符合题意．
D 、依题意得：a v ＝-12
b v
，故本选项不符合题意．
故选C ． 【点睛】
考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．
19．已知a r
、b r
、c r
都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b r
r
的是（ ）
A ．a b =r r
B ．3a b =r
r
C ．//a c r r
，//b c r r
D ．2,2a c b c ==-r
r
r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案． 【详解】
解：A 、||||a b =r r
只能说明a r 与b r 的模相等，不能判定a r ∥b r
，故本选项符合题意;
B 、3a b =r r 说明a r 与b r 的方向相同，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意;
C 、a r ∥c r ，b r ∥c r ，能判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意;
D 、2a c =r r ，2b c =-r r 说明a r 与b r 的方向相反，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意．
故选：A ． 【点睛】
此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．
20．若2a b c +=r
r ，3a b c -=r r
，而且c r ≠0，a r 与r
b 是（ ） A ．a r
与r
b 是相等向量 B ．a r 与r
b 是平行向量 C ．a r 与r
b 方向相同，长度不等 D ．a r 与r
b 方向相反，长度相等
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2
c =-r r
，由此确定a r 与b r 位置和数量关系．
【详解】
解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2
c =-r r ，
所以a r 与b r 方向相反，且|a r |＝5|b r
|． 观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握．。