福建省福州2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案

福州2023-2024学年第一学期第二学段期末考试
高三数学期末考试卷（答案在最后）
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U =R ，集合{
}e 2,x A y y x ==+∈R
∣，集合{lg(1)}B x y x ==-∣，则图中阴影部分所表示
的集合为（
）
A.[1,2]
B.(1,2]
C.(1,2)
D.[1,2)
2.复数z 满足(2i)i +=z ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（）
A.
2
i 5
B.
25
C.2i 5
-
D.25
-
3.已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若513a a a =，且4a 与5a 的等差中项为3，则5S 等于（
）
A.
31
2
B.
314
C.
152
D.
154
4.已知正三棱台111ABC A B C -的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为
60 ，则此三棱台的体积为（
）
A. B.
C. D.5.设直线()()110R a x ay a +--=∈与圆224x y +=交于A ，B 两点，则AB 的取值范围为（
）
A.⎤⎦
B.⎤⎦
C.
[]
2,4 D.⎡⎤⎣⎦
6.我国油纸伞的制作工艺非常巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角BAC ∠，且AB AC =，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈D 已滑到D ¢的位置，且,,A B D '三点共线，40cm,AD B ='为AD '的中点，当伞从完全张开到完全收拢，半圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为25cm ，则当伞完全张开时，BAC ∠的余弦值是（
）
A.2332
-
B.1932
-
C.58
-
D.38
-
7.已知O 为坐标原点，双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线l
与E 的右支交于点P ，Q 设12PF F △与12QF F 的内切圆圆心分别是M ，N ，直线OM ，ON 的斜率分别是12,k k ，则12223k k =-，则双曲线E 的离心率为（）A.22
B.
21+ C.
2
D.
6
2
8.设函数()(1)e e (0)x x f x a x ax a a =+-+->，若关于x 的不等式()0f x <有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（
）
A.323
2e e ,4e 23e 1⎛⎫
⎪--⎝⎭ B.323
2e e ,4e 23e 1⎡⎫
⎪⎢--⎣⎭C.221e ,2e 3e 1⎛⎫
⎪-⎝
⎭ D.221e ,2e 3e 1⎡⎫⎪⎢-⎣⎭
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（
）
A.向量1,32AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭uu u r 在向量(2,1)AC = 上的投影向量的坐标为42,55⎛⎫ ⎪
⎝⎭
B.“2m =”是“直线2(1)40x m y +++=与直线320mx y +-=平行”的充要条件
C.若正数a ，b 满足2a b +=，且a b >，则ln ln 0
a b +<D.已知,αβ为两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥10.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11
,2
n n n a b a S =
=+，若数列{}n b 既是等差数列，又是等比数列，则
（）
A.{}n b 常数数列
B.
{}n a 是等比数列
C.
{}n S 为递减数列
D.ln n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列11.在三棱锥A BCD -中，已知BC BD ⊥，棱AC ，BC ，AD 的中点分别是E ，F ，G ，
2AB AC AD CD ====，则（
）
A.过点E ，F ，G 的平面截三棱锥所得截面是菱形B .
平面ADC ⊥平面BCD
C.异面直线AC ，BD 互相垂直
D.三棱锥A BCD -外接球的表面积为
16π
3
12.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点(2,)E t 到点F 的距离为4，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为P ，则（）
A.PM PN ⊥
B.sin PMN ∠的取值范围为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C.若2AF
FB =
，则直线l D.tan AOB ∠有最大值43
-
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知π2
cos 63α⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭，则5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝
⎭__________．14.写出一个同时满足下列性质①②③的椭圆的标准方程为___________．①中心在原点，焦点在y 轴上；②离心率为1
2；③焦距大于8．
15.已知O 的半径是1，点P 满足||OP =
，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C
两点，D 为BC 的中点，设π04APC αα⎛
⎫
∠=<<
⎪
⎝
⎭
，则当α=___________时，PA PD ⋅ 取得最大值．16.已知正四面体ABCD 的棱长为2，P 为AC 的中点，E 为AB 中点，M 是棱DP 上的动点，N 是平面ECD 内的动点，则当||||AM MN +取得最小值时，线段DN 的长度等于___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，17题10分，其他小题各12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan tan cos b A b B A
+=．（1）求B ∠的大小；
（2）若4,3a c ==，直线PQ 分别交AB ，BC 于P ，Q 两点，且PQ 把ABC 的面积分成相等的两部分，求PQ 的最小值．
18.己知数列{}n a 的前n 项积为n b ，且21
1n n
b a +=．（1）证明：{}n b 是等差数列；
（2）从{}n b 中依次取出第1项，第2项，第4项……第12n -项，按原来顺序组成一个新数列{}n c ，求数列(){}
1n n c -的前n 项和．
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，1
12
PA AB BC ===，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．
（1）求证：AE PC ⊥；
（2）试求BF 的长，使平面AEF 与平面PCD 夹角的余弦值为
105
．20.某公司食堂每天中午给员工准备套餐，套餐只有A 、B 、C 三种，公司规定：每位员工第一天在3个套餐中任意选一种，从第二天起，每天都是从前一天没有吃过的2种套餐中任意选一种．（1）若员工甲连续吃了3天的套餐，求第三天吃的是“套餐A ”的概率；
（2）设员工甲连续吃了5天的套餐，其中选择“套餐B ”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．
21.己知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上、下顶点分别是A ，B ，点E （异于A ，B 两点）在椭圆C 上，
直线EA 与EB 的斜率之积为1
2
-，椭圆C 的短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个
交点分别为P ，N ，若11
||||
PQ QN +为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．
22.已知函数()ln ()f x x ax x a =-+∈R 有两个不同的零点，分别记为m ，n ，且m n <．（1）求实数a 的取值范围；
（2）若不等式1e k k mn +>恒成立（e 为自然对数的底数），求正数k 的取值范围．
福州2023-2024学年第一学期第二学段期末考试
高三数学期末考试卷
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U =R ，集合{
}e 2,x A y y x ==+∈R
∣，集合{lg(1)}B x y x ==-∣，则图中阴影部分所表示
的集合为（
）
A.[1,2]
B.(1,2]
C.(1,2)
D.[1,2)
【答案】B 【解析】
【分析】先化简两个集合，根据阴影部分可求答案.【详解】由题意图中阴影部分为U B A ⋂ð，而()()2,,1,A B ∞∞=+=+，(]
,2U A ∞=-ð，所以(1,2]U B A = ð.故选：B.
2.复数z 满足(2i)i +=z ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（）
A.
2
i 5
B.
25
C.2i 5-
D.25
-
【答案】D 【解析】
【分析】由复数除法运算以及共轭复数、虚部的概念即可求解.【详解】由题意()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 5z -+===++-，所以12i 5z -=的虚部为25
-.故选：D.
3.已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若513a a a =，且4a 与5a 的等差中项为3，则5S 等于（
）
A.
312
B.
314
C.
152
D.
154
【答案】B 【解析】
【分析】根据基本量法求出1a 和q ，然后由求和公式可得.【详解】记等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，
由题可知，2
1533
456
a a a a a a ⎧==⎨+=⎩，即2134
116a q a q aq ⎧=⎨+=⎩，解得1142a q ⎧
=⎪⎨⎪=⎩或1
193a q ⎧=⎪⎨
⎪=-⎩（舍去），所以
()
5
51
12314124
S -==
-.故选：B
4.已知正三棱台111ABC A B C -的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为
60 ，则此三棱台的体积为（
）
A.
B.
C.
D.【答案】C 【解析】
【分析】利用正三棱台的几何特征求出棱台的高，再求出上下底面积，利用棱台的体积公式求解即可.【详解】由题意可知正三棱台111ABC A B C -
的上底面面积为
16622
⨯⨯⨯=
，下底面面积为1121222
⨯⨯⨯=
设11,AB A B 中点为1,D D ，1,H H 为下、上底面中心，连接11,,DD CD HH ，过1D 作1D E ⊥底面ABC 交CD 于E ，
由正三棱台的性质可知1DD AB ⊥，CD AB ⊥，
因为平面11A B BA ⋂平面ABC AB =，所以1D DC ∠为棱台的侧面与底面所成的二面角的平面角，即
160D DC ∠=︒，
因为1112332DH DC =
=⨯⨯=，1111116332
D H D C ==⨯=，
所以11DE DH D H =-=，1tan 603D E DE =⋅︒=，
所以此三棱台的体积(1
33
V =⨯+⨯=，故选：C
5.设直线()()110R a x ay a +--=∈与圆224x y +=交于A ，B 两点，则AB 的取值范围为（
）
A.⎤⎦
B.⎤⎦
C.
[]
2,4 D.⎡⎤⎣⎦
【答案】D 【解析】
【分析】由条件可知直线过定点()1,1D ，直线CD l ⊥时，弦AB 最短，直线l 过圆心时，弦AB 最长，求解即可.
【详解】设直线()()110R a x ay a +--=∈为l ，
方程变形为()10a x y x -+-=，所以直线恒过定点()1,1D ，因为圆的方程为224x y +=，所以圆心()0,0C ，半径2r =，
2<，所以D 在圆的内部，当直线CD l ⊥时，弦AB 最短，
因为CD ==
，所以AB ==，
当直线l 过圆心时，弦AB 最长为24r =，
故AB 的取值范围为4⎡⎤⎣⎦.
故选：D .
6.我国油纸伞的制作工艺非常巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角BAC ∠，且AB AC =，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈D 已滑到D ¢的位置，且,,A B D '三点共线，40cm,AD B ='为AD '的中点，当伞从完全张开到完全收拢，半圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为25cm ，则当伞完全张开时，BAC ∠的余弦值是（
）
A.2332
-
B.1932
-
C.58
-
D.38
-
【答案】A 【解析】
【分析】先通过题意求出,,AD AB BD ，再通过余弦定理求出cos BAD ∠，进而通过倍角公式可得BAC ∠的值.
【详解】当伞完全张开时，402515cm AD =-=，因为B 为AD '的中点，所以1
20cm 2
AB AC AD ==
'=，当伞完全收拢时，40cm AB BD AD '+==，所以20cm BD =，
在ABD △中，2224002254003
cos 2220158
AB AD BD BAD AB AD ∠+-+-===⋅⨯⨯，
所以2
923
cos cos22cos 1216432
BAC BAD BAD ∠∠∠==-=⨯
=-.故选：A.
7.已知O 为坐标原点，双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线l
与E 的右支交于点P ，Q 设12PF F △与12QF F 的内切圆圆心分别是M ，N ，直线OM ，ON 的斜率分别是12,k k ，
则123k k =-，则双曲线E 的离心率为（） A. B.
1+ C.
D.
6
2
【答案】C
【解析】
【分析】先根据内切圆的性质确定圆心的坐标，进而得出12,k k ，结合等量关系可得答案.【详解】设12PF F △的内切圆和三边分别相切于点,,D E H ,则
1212122PF PF DF HF EF EF a -=-=-=，
又122EF EF c +=，所以12,EF a c EF c a =+=-，所以OE a =.设直线l 的倾斜角为θ，则由内切圆的性质可得2π2
MF E θ
-∠=
，()22πtan tan
2
ME EF MF E c a θ
-=∠=-，所以1πtan 2c a k a θ--⎛⎫=
⎪
⎝⎭
；同理可得()tan
2NE c a θ=-，所以2tan 2a c k a θ-⎛⎫
= ⎪⎝⎭；
因为12πtan tan 322c a a c k k a a θθ---⎛⎫
⎛⎫
=⋅=-
⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
，
所以()2
13e -=-，解得e =.
故选：C.
8.设函数()(1)e e (0)x x f x a x ax a a =+-+->，若关于x 的不等式()0f x <有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（
）
A.323
2e e ,4e 23e 1⎛⎫
⎪--⎝⎭ B.323
2e e ,4e 23e 1⎡⎫
⎪⎢--⎣⎭C.221e ,2e 3e 1⎛⎫
⎪-⎝⎭
D.221e ,2e 3e 1⎡⎫⎪
⎢-⎣⎭
【答案】B 【解析】
【分析】把不等式转化为111e x x x a ->+-，令1()1e x x h x x -=+-，求得e 2
()e
x x
x h x ='+-，令()e 2x x x ϕ=+-，()e 2x x x ϕ=+-在R 上单调递增，存在唯一的()00,1x ∈使得0()0x ϕ=，得出函数
()h x 的单调性，结合(0)h ，()h 1，1()h -，(2)h ，(3)h 的值和题设条件，得出23
112
34e e a -
<≤-，求解即可.
【详解】∵()(1)e e 0x x f x a x ax a =+-+-<，等价于
11
1e
x x x a ->+-.令1()1e x x h x x -=+-则e 2
()e
x x
x h x ='+-，令()e 2x x x ϕ=+-，()e 2x x x ϕ=+-在R 上单调递增，又由(0)0ϕ<，(1)0ϕ>，
∴存在唯一的()00,1x ∈使得0()0x ϕ=，
当0x x <时，()0x ϕ<，()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0x ϕ>，()0h x '>，()h x 单调递增，又(0)2h =，(1)2h =，(1)2e h -=，21(2)3e h =-，3
2
(3)4e
h =-.所以当()0f x <有且仅有三个整数解时，
有2311234e e a -<≤-，解得32
32
e e 4e 23e 1a ≤<--，即实数a 的取值范围是323
2e e ,4e 23e 1⎡⎫
⎪⎢--⎣
⎭.故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（
）
A.向量1,32AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭uu u r 在向量(2,1)AC = 上的投影向量的坐标为42,55⎛⎫
⎪
⎝⎭
B.“2m =”是“直线2(1)40x m y +++=与直线320mx y +-=平行”的充要条件
C.若正数a ，b 满足2a b +=，且a b >，则ln ln 0
a b +<
D.已知,αβ为两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥【答案】CD 【解析】
【分析】利用投影向量的求法可判定A 的正误，利用直线平行的条件可得B 的正误，利用对数运算及基本不等式可得C 的正误，根据空间位置关系可得D 的正误.
【详解】对于A ，向量1,32AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭
uu u r 在向量(2,1)AC = 上的投影向量的坐标为
()4842,1,5
55AB AC AC AC AC ⋅⎛⎫
⋅== ⎪⎝⎭ ，A 不正确.
对于B ，直线2(1)40x m y +++=与直线320mx y +-=平行，则有26m m +=且1m ≠-，解得2m =或3m =-，
所以“2m =”是“直线2(1)40x m y +++=与直线320mx y +-=平行”的充分不必要条件，B 不正确.
对于C ，因为2a b +=，所以2
12a b ab +⎛⎫
≤= ⎪⎝⎭
，所以ln ln ln ln10+=≤=a b ab ，
因为a b >，所以等号不成立，故ln ln 0a b +<，C 正确.
对于D ，因为,//m βαα⊥，所以m β⊥，因为//n β，所以m n ⊥，D 正确.故选：CD.
10.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11
,2
n n n a b a S ==+，若数列{}n b 既是等差数列，又是等比数列，则（）
A.
{}n b 常数数列
B.
{}n a 是等比数列
C.{}n S 为递减数列
D.ln n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列
【答案】ABD 【解析】
【分析】根据等差数列和等比数列的性质，结合等比数列的定义逐一判断即可.【详解】对于选项A ：设等差数列{}n b 的公差为d ，由题意可知：1111b a a =+=，
因为数列{}n b 也是等比数列，因此有
()()2
3212
11201n b b d d d b b b =⇒+=+⇒=⇒=，显然{}n b 既是等差数列，又是等比数列，符合题意，故A 正确；对于选项B ：可知1n n n b a S =+=，
当2n ≥时，111n n a S --+=，两式相减得12n n a a -=，且11
2
a =
，可得
112n n a a -=，可知数列{}n a 是以112
a =
为首项，公比为1
2的等比数列，则12n n a =，故B 正确；
对于选项C ：因为12n n a =，1n n n b a S =+=，可得112n
n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，
根据指数函数的单调性和单调性的性质可以判断数列{}n S 为递增数列，故C 错误；
对于选项D ：因为1ln ln 12ln 2
n
n
a n n ⎛⎫ ⎪
⎝⎭==，所以数列ln n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是不为零的常数列，所以它是等差数列，故D 正确；故选：ABD
11.在三棱锥A BCD -中，已知BC BD ⊥，棱AC ，BC ，AD 的中点分别是E ，F ，G ，
2AB AC AD CD ====，则（
）
A.过点E ，F ，G 的平面截三棱锥所得截面是菱形
B.平面ADC ⊥平面BCD
C.异面直线AC ，BD 互相垂直
D.三棱锥A BCD -外接球的表面积为16π
3
【答案】ABD 【解析】
【分析】A 项，利用中位线证明平行关系与长度关系得四边形为菱形；B 项，取CD 的中点P ，由勾股定理证明AP BP ⊥，由等腰三角形三线合一得AP CD ⊥，由线线垂直证线面垂直再证面面垂直即可；C 项，假设垂直推证BD AB ⊥，由斜边与直角边关系可推出矛盾；D 项，取ACD 的中心O ，由面面垂直性质
定理得线面垂直关系，由勾股定理得OB OA =，利用球心到各顶点距离相等可得正三角形ACD 的中心O 即为球心.
【详解】选项A ，如图，连接EF ，EG ，取BD 的中点H ，连接GH ，FH ，
由F 是BC 的中点，得FH CD ∥，1
2
FH CD =，同理得EG D C ∥，12
EG CD =
，所以EG FH ∥，1
12EG FH CD ===，
四边形EFHG 是平行四边形，
于是过点E ，F ，G 的平面截三棱锥所得截面即为四边形EFHG ，且由E ，F 分别是AC ，BC 的中点，得EF AB ∥，1
12
EF AB ==，因此EF EG =，所以四边形EFHG 为菱形，故A 正确；选项B ，取CD 的中点P ，连接,AP BP ，
由2AC AD CD ===，得AP =
，
由BC BD ⊥，得1BP =，又2AB =，所以222AB AP BP =+，所以AP BP ⊥，
又AP CD ⊥，BP CD P = ，又,BP CD ⊂平面BCD ，所以AP ⊥平面BCD ，又AP ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面BCD ，故B 正确；
选项C ，假设AC BD ⊥，已知BC BD ⊥，且,,AC BC C AC BC ⋂=⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，所以BD AB ⊥，所以AD AB >，这与已知“2AD AB ==”矛盾，故C 错误；
选项D ，取正三角形ADC △的中心O ，连接,,,OA OB OC OD ，
则OA OC OD ==，
由于BCD △是直角三角形，CD 为斜边，则PB PC PD ==，由平面ADC ⊥平面BCD ，平面ADC 平面BCD CD =，由OP CD ⊥，且OP ⊂平面ADC ，所以OP ⊥平面BDC ，所以OP PB ⊥，则2222OB OP PB OP PC OC =+=+，所以ADC △的外心O 就是三棱锥A BCD -的外接球球心，所以外接球半径R 就是ADC △的外接圆半径，可知323
2233
R =⨯⨯=
，所以三棱锥A BCD -外接球的表面积为2
16π
4π3
R =，故D 正确．故选：ABD.
12.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点(2,)E t 到点F 的距离为4，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为P ，则（）
A.PM PN ⊥
B.sin PMN ∠的取值范围为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C.若2AF
FB =
，则直线l 3
D.tan AOB ∠有最大值43
-
【答案】BD 【解析】
【分析】由题意计算可得4p =，即可得抛物线解析式，设()11,A x y 、()22,B x y ，:2AB l x my =+，联立曲线则可得与两交点有关韦达定理，借助中点公式与距离公式可得以线段AB 为直径的圆的方程，令0x =即可得M 、N 两点坐标，计算PM PN k k ⋅即可得A ，计算tan PMN ∠的范围即可得sin PMN ∠的范围即可得B ，由2AF
FB =
可计算出A ，B 两点具体坐标，即可得C ，由()tan tan AOB AOF BOF ∠=∠+∠，
借助两角和的正切公式及所得韦达定理计算即可得D.
【详解】由(2,)E t 在抛物线上，故有24t p =，焦点,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，又4EF =，
4===，化简得()()4120p p -+=，又0p >，故4p =，即28y x =，设()11,A x y 、()22,B x y ，:2AB l x my =+，联立2
2
8x my y x
=+⎧⎨
=⎩，可得28160y my --=，0∆>，则128y y m +=，1216y y =-，
则()2122121242284422222m y y x x my my m m +++++++====+，
128422
y y m m +==，故()
2
42,4P m m +，
AB =
=
2
88m =
=+，则
2442
AB m =+，
故以线段AB 为直径的圆的方程为()
()()
2
2
2
2242444x m y m m --+-=+，
令0x =，有()()(
)
2
2
2
22244442
1612y m m m m -=+--
-=+，
故4y m
=±，
由圆的对称性，不妨设(
0,4M
m +，(
0,4N m
-，
则()
2222244441612
04204242
PM PN
m m m m m k k m m m -+⋅=⨯=-----+，则PM PN k k ⋅不恒等于1-，故A 错误；过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，
则22tan PQ PMN MQ
∠=
=
=
2=
=，
令2433m t +=≥，则2
3
4
t m -=
，
则
tan PMN ∠=
，由对勾函数性质可知，1
y t t
=+在[
)3,+∞上单调递增，
故3
tan 3PMN ∠≥
=
，故3090PMN ︒≤∠<︒，则1sin ,12PMN ⎡⎫∠∈⎪⎢⎣⎭
，故B 正确；
若2AF FB = ，则有()(
)
121
2
222020x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩
，即2112
262x x y y
+=⎧⎨=-⎩
，由1216y y =-，故2
2216y =
，解得2y =±
，则1y = ，
则21x =，14x =
，故(
41
l
k -±=
=- ，故C 错误；
()tan tan tan tan 1tan tan AOF BOF
AOB AOF BOF AOF BOF
∠+∠∠=∠+∠=
-∠⋅∠，
由1111tan 00AO y x y F x -∠=
=-，2222
0tan 0y y
BOF x x -∠==--，故
12122112112
2212
1tan tan tan 1tan tan 1x x x y x y AOF BOF
AOB AOF BOF x y x y x y y y y x --∠+∠∠===-∠⋅∠++⋅()()()
1221
2
121212
12
224163
64
64
my y my y y y y y y y
+-+-=
=
-++，则当0m =时，tan AOB ∠有最大值，且其最大值为4
3
-，故D 正确.故选：BD
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知π2cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，则5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】5
9
-【解析】
【分析】首先将5πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝
⎭化简为ππsin 262α⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可得到答案.
【详解】由题意可得：5ππππsin 2sin 2cos 26626ααα⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫+
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
2
2π252cos 121639α⎛⎫⎛
⎫=+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故答案为：59
-
.14.写出一个同时满足下列性质①②③的椭圆的标准方程为___________．①中心在原点，焦点在y 轴上；②离心率为1
2；③焦距大于8．
【答案】22
175100
x y +=（答案不唯一，符合题意即可）
【解析】
【分析】根据离心率可得,,a b c 之间的关系，结合题意取c 的值，即可得方程.
【详解】由题意可知：2221228c e a a b c c ⎧==⎪⎪=+⎨⎪>⎪
⎩
，可得24
a c
b
c =⎧⎪=⎨⎪>⎩，令5c =
，可得10,a b ==又因为中心在原点，焦点在y 轴上，可得椭圆的标准方程为22
175100x y +=.
故答案为：22
175100
x y +=（答案不唯一，符合题意即可）.
15.已知O 的半径是1，点P
满足||OP =
，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C
两点，D 为BC 的中点，设π04APC αα⎛⎫
∠=<< ⎪
⎝
⎭
，则当α=___________时，PA PD ⋅ 取得最大值．【答案】π8
【解析】
【分析】由题意可知：1PA =，π
4
OPD α∠=
-，根据数量积的定义结合三角恒等变换整理
得π1sin 2242PA PD α⎛
⎫⋅=
++ ⎪⎝
⎭ ，再根据正弦函数的有界性分析求解.【详解】由题意可知：点P 在以O
的圆上，
因为直线PA 与O 相切于点A ，则PA OA ⊥，22
1PA OP OA =-=，
可知π
4OPA ∠=
，π4
OPD α∠=-，又因为D 为BC 的中点，则OD PC ⊥，可得ππcos 244PD OP αα⎛⎫⎛⎫
=⋅-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则πcos 2cos 4PA PD PA PD ααα
⎛⎫
⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ 21112
π1cos sin cos sin 22sin 2222242αααααα⎛
⎫=+=
++=++ ⎪⎝
⎭，
且π04α<<
，可得ππ3π
2444
α<+<，可知：当ππ242α+
=，即π
8α=时，PA PD ⋅ 取到最大值2122
+.故答案为：
π8
.16.已知正四面体ABCD 的棱长为2，P 为AC 的中点，E 为AB 中点，M 是棱DP 上的动点，N 是平面ECD 内的动点，则当||||AM MN +取得最小值时，线段DN 的长度等于___________．
【答案】31136
【解析】
【分析】取CE 中点O ，先由OP ⊥平面CDE ，得N 在线段DO 上，再把PDO △沿PD 翻折到平面APD 上，得到||||AM MN +取得最小值时AN OD ⊥，由此求出结果.【详解】取CE 中点O ，连接DO ，OP
由正四面体性质可得DE AB ⊥，CE AB ⊥，因为DE CE E ⋂=，所以AB ⊥平面CDE 因为//OP AB ，所以OP ⊥平面CDE ，
当||||AM MN +取得最小值时，MN ⊥平面CDE ，所以N 在线段DO 上，由OP ⊥平面CDE ，得
OP OD ⊥，
111242OP AE AB ===，22213DP =-=，所以111
342
OD =-=，将PDO △沿PD 翻折到平面APD 上，如图
由题意知30ADP ︒∠=，3sin 623OP ODP DP ∠=
=，11
33
cos 6
23OD ODP DP ∠==，则3113
cos cos(30)12
ODA ODP ︒∠=∠+=
，
所以当||||AM MN +取得最小值时，即AN OD ⊥，所以
31133113
cos 2126
DN AD ODA =⋅∠=⨯
=故答案为：
3113
6
四、解答题：本题共6小题，共70分，17题10分，其他小题各12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3tan tan cos c
b A b B A
+=
．
（1）求B ∠的大小；
（2）若4,3a c ==，直线PQ 分别交AB ，BC 于P ，Q 两点，且PQ 把ABC 的面积分成相等的两部分，求PQ 的最小值．【答案】（1）π
3
B ∠=
（2【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角互换、两角和的正弦公式以及诱导公式即可求解；（2）由三角形面积公式首先得6xy =，进一步结合基本不等式以及余弦定理即可求解.【小问1详解】
因为tan tan cos b A b B A
+=
，所以sin sin sin sin cos cos A B B B A B +=
即()sin sin cos cos sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos A B A B A B C B
B B A B A B A B ++===，
所以tan B =
，即π
3
B ∠=
.【小问2详解】
由题意不妨设,,z BP x Q Q B y P ===，由题意1113422222
BPQ S xy =⋅=⨯⨯⨯⨯
，所以6xy =，
由余弦定理、基本不等式得2
2
2
221
2262
z x y xy x y xy xy xy xy =+-⨯=+-≥-==，
等号成立当且仅当3x y ==
<，
综上所述，PQ .18.己知数列{}n a 的前n 项积为n b ，且21
1n n
b a +=．（1）证明：{}n b 是等差数列；
（2）从{}n b 中依次取出第1项，第2项，第4项……第12n -项，按原来顺序组成一个新数列{}n c ，求数
列(){}
1n n c -的前n 项和．【答案】（1）证明见解析（2）1(1)22n n +-⋅+【解析】
【分析】（1）由211n n b a +=，1
n n n b a b -=，代入可得1
21n n n b b b -+
=，化简即可证明结论；（2）由等差数列的通项公式可得n b ，从而得到数列{}n c 的通项公式，利用错位相减即可求得结果.【小问1详解】
因为数列{}n a 的前n 项积为n b ，所以1
n
n n b a b -=
()
*2,N n n ≥∈，又因为
211n n b a +=，所以121n n n
b
b b -+=，化简可得12n n b b --=(
)*
2,N
n n ≥∈，
当1n =时，11
21
1b b +=，解得：13b =，
所以{}n b 是等差数列，首项为3，公差为2.【小问2详解】
由（1）可得32(1)21n b n n =+-=+,所以11
222
121n n n n c b --==⋅+=+，故()12n n n c n -=⋅，令数列(){}1n n c -的前n 项和为n T ，
则23
1222322n
n T n =⨯+⨯+⨯++⋅ ①
23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ②
①-②可得：2
3
1
121212122n
n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅ 化简可得：12(1)2n n T n +=+-⋅，
所以数列(){}
1n n c -的前n 项和1
2(1)2n n T n +=+-⋅19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，1
12
PA AB BC ===，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．
（1）求证：AE PC ⊥；
（2）试求BF 的长，使平面AEF 与平面PCD 夹角的余弦值为10
5
．【答案】（1）证明见解析（2）
14
【解析】
【分析】（1）建立空间坐标系，写出向量坐标，利用向量数量积证明垂直；（2）求出平面法向量，根据线面角可求答案.【小问1详解】
以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z
轴，建系如图，
()()()()()1,0,0,0,0,1,1,2,0,0,2,0,0,0,0B P C D A ,因为E 为线段PB 的中点，所以11,0,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭;
11,0,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,()1,2,1PC =-
;
因为0AE PC ⋅=
,所以AE PC ⊥.
【小问2详解】
设[]0,2BF a =∈，则()1,,0F a ,则()11,0,,1,,022AE AF a ⎛⎫== ⎪⎝⎭
,
设平面AEF 的一个法向量为(),,n x y z =
，
n AE n AF ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩
()1
2
x z x ay ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1y =-，则(),1,n a a =-- .()()1,0,0,0,2,1DC DP ==-
,
设平面PDC 的一个法向量为()111,,m x y z =
，
00
m DC m DP ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩ 1110
20x y z =⎧⎨
-+=⎩，令11y =，则()0,1,2m = .设平面AEF 与平面PCD 的夹角为θ
，cos m n m n θ⋅==
5=
，解得14
a =，即1
4BF =.
20.某公司食堂每天中午给员工准备套餐，套餐只有A 、B 、C 三种，公司规定：每位员工第一天在3个套餐中任意选一种，从第二天起，每天都是从前一天没有吃过的2种套餐中任意选一种．（1）若员工甲连续吃了3天的套餐，求第三天吃的是“套餐A ”的概率；
（2）设员工甲连续吃了5天的套餐，其中选择“套餐B ”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）
1
3
（2）分布列见解析，53
【解析】
【分析】（1）分第一天吃的是“套餐A ”和第一天吃的是“套餐B ”（或“套餐C ”），结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（2）由题意可知：X 的可能取值为0,1,2,3，结合题意求分布列和期望.【小问1详解】
若第一天吃的是“套餐A ”，则第二天吃的是“套餐B ”或“套餐C ”，此时的概率为1111
1326P =
⨯⨯=；若第一天吃的是“套餐B ”（“套餐C ”），则第二天吃的是“套餐C ”（“套餐B ”），此时的概率为121113226
P =
⨯⨯=；所以第三天吃的是“套餐A ”的概率121
3
P P P =+=.【小问2详解】
由题意可知：X 的可能取值为0,1,2,3，则有：
()21111103222224P X ==
⨯⨯⨯⨯=；()13
11112111211111
11C 132223222322223
P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=；()11
22
11111112112111132C 11111C 13223222322322224P X ==⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=；()1111
31132212P X ==⨯⨯⨯⨯=；
可知X 的分布列为
X
0123
P
1
24131324112
所以X 的期望为()111315012324324123
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=.21.己知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上、下顶点分别是A ，B ，点E （异于A ，B 两点）在椭圆C 上，
直线EA 与EB 的斜率之积为1
2
-，椭圆C 的短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P ，N ，若
11
||||
PQ QN +为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．
【答案】21.2
21
2
x y +=22.存在稳定点()1,0Q ±，理由见详解【解析】
【分析】（1）根据题意可得,A B 两点坐标，设出点(),E x y ，由1
2
⋅=-
EA EB k k 化简可得椭圆C 的标准方程；
（2）设直线0:PN x my x =+，与椭圆方程联立，由韦达定理可得12y y +，12y y ，又1PQ =，
2QN y =，从而可求
11PQ QN
+的表达式，即可求解.【小问1详解】
由题，22b =，即1b =，所以()0,1A ，()0,1B -，设(),E x y ，由1
2
⋅=-
EA EB k k 可得，1112y y x x -+⋅=-，化简得2
212x y +=，又点,A B 满足上式，所以椭圆C 的标准方程为2212
x y +=.
【小问2详解】
存在这样的点()0,0Q x ，设直线0:PN x my x =+，()11,P x y ，()22,N x y ，120y y <，
联立022
12
x my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()
222
002220m y mx y x +++-=，012222mx y y m -∴+=+，2
012222
x y y m -=+，22
088160m x ∆=-+>，
又
1PQ y =
==
，2QN =
，
1212121111y y PQ QN y y y y ⎛⎫+∴
+=+=⎪⎪
⎭
1212
12
y y y y -==-
2
00
21
22
x m =
⨯-+，
要使上式为定值，则20
21x -=，故当01x =±
时，11PQ QN
+为定值，综上，存在这样的稳定点()1,0Q ±.
【点睛】思路点睛：第二问，设出直线0:PN x my x =+与椭圆方程联立，得到根与系数关系，又利用两点间距离公式可得又()
2
2
2
101
11PQ x x y m y =-+=+，2
21QN m =+，代入11
PQ QN +运算化
简得解.
22.已知函数()ln ()f x x ax x a =-+∈R 有两个不同的零点，分别记为m ，n ，且m n <．（1）求实数a 的取值范围；
（2）若不等式1e k k mn +>恒成立（e 为自然对数的底数），求正数k 的取值范围．【答案】（1）111a e
<<+；（2）1k ≥.【解析】
【分析】（1）利用导数求出函数()f x 的单调性和最大值，由最大值大于0即可解得结果；（2）根据不等式1e k k mn +>，两边取自然对数后，得到1ln ln k m k n +<+，结合题设得
1()k am m k an n +<-+-，消去a 后得)
l 1n (ln m n
m n
k m kn -+<+-，再通过双变量化单变量，构造函数
讨论单调性得出.【小问1详解】
函数()f x 的定义域为()0,∞+，1
()1f x a x
'=
+-，当1a ≤时，因()0f x '>，故函数()f x 在()0,∞+上单调递增，不存在两个零点，不合题意；
当1a >时，设1()()1g x f x a x '==
+-，21
()0g x x
'=-<，故()g x 在()0,∞+上单调递减，即1
()1f x a x
'=+-在()0,∞+上单调递减，
由()0f x '=，得1
1
x a =-，
当101x a <<
-时，()0f x '>；当101x a <<-时，()0f x '<；所以当1
1x a =-时候，()f x 取得最大值.
即111ln ln(1)11111a f a a a a a ⎛⎫=-+=---
⎪----⎝⎭
,当x 趋近于0时，(1)a x -趋近于0，ln x 趋近于负无穷，()f x 趋近于负无穷；当x 趋近于正无穷时，()f x 趋近于负无穷.
所以若函数()f x 有两个不同的零点，则ln(1)10a --->，
即1ln(1)1ln a e -<-=，解得1
1a e
<+，又1a >，所以实数a 的取值范围1
11a e
<<+.
【小问2详解】
因为()ln ()f x x ax x a =-+∈R 有两个不同的零点m ，n ，
由题知0m n <<，且ln 0ln 0m am m n an n -+=⎧⎨-+=⎩，即ln ln am m m
an n n -=⎧⎨-=⎩
，
相减得到：ln ln 1m n a m n
--=
-由不等式1e k k mn +>恒成立，则1ln(ln )e k k mn +>恒成立，
即1ln ln k m k n +<+恒成立，所以1()k am m k an n +<-+-恒成立，故1(1)(1)k m a kn a +<-+-恒成立，即1()(1)k m kn a +<+-恒成立，所以)
l 1n (ln m n m n k m kn -+<+-恒成立，即)l 1n (ln m n
m n
k m kn -+<+-恒成立，
即l 11n m m
n m
k
n k n
-++<
恒成立.设m
t n =
，则(0,1)t ∈时，不等式1
()ln 1t k t k t ++<-恒成立，因为0t k +>，10t -<进而得0(l 1)
(n 1)
t t t k k
--<++在(0,1)t ∈时恒成立，
设1()l 1)
n ()
(h t t t k
t k -=-++，(0,1)t ∈，注意到(1)0h =.则2
1(1()()
()()1)
t k t h t t k k t +--'=-++，
即2
2
2
222221(1)()
((())()(1))t t k h t t t k t t k t t t k --'=-
=+--+++=+，
又因为(0,1)t ∈且0k >，则
2
(1)
0()t t t k -<+，
所以当1k ≥时，20t k -<，即()0h t '>，故()h t 在(0,1)t ∈单调递增，而1t =时0(l 1)
(n 1)
t t t k k
--=++，所以()0h t <恒成立，故1k ≥满足题意.当01k <<时，若2(,1)t k ∈，由()0h t '<，则()h t 在2(,1)t k ∈单调递减，所以当2(,1)t k ∈时()0h t >，与题设不符.
综上所述，正数k 的取值范围1k ≥.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点及不等式恒成立的证明等知识，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力、推理论证能力，本题综合性强，能力要求高.。