安徽省合肥市2016届普通高等学校招生统一考试数学(理)

理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,.在每小题给出的四个选项中，只有
一项
是符合题目要求的.
1.已知集合{}
02M x R x =∈<<，{}
ln 0N x R x =∈>，则M N =（ ）
A ．[1,2)
B ．(1,2)
C ．(0,)+∞
D ．(0,1)
2.复数3
31i i
++在复平面内所对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3.对于任意一个定义域是R 的函数()f x ，设1()()
()2
f x f x f x +-=
，
2()()
()2
f x f x f x --=
，则一定有（ ）
A ．1()f x ，2()f x 都是奇函数
B ．1()f x ，2()f x 都是偶函数
C ．1()f x 是奇函数，2()f x 是偶函数
D ．1()f x 是偶函数，2()f x 是奇函数 4.边长为1的正三角形ABC 中，,D
E 分别是,BC AC 的中点，则AD BE ∙=（ ）
A ．38-
B ．38
C ．8-
D ．8
5.双曲线2222:1x y C a b
-=(0,0)a b >>的两条渐近线之间的夹角为0
60，且C 过点(1,1)，则
a =（ ）
A ．
32 B ．23 D 6.某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（ ）
A ．
12 B ．13 C ．16 D ．14
7.若函数()sin()f x x ωϕ=+（0,2
π
ωϕ><
）的图象过点(1,0)，且图象的一条对称轴为
2x =，则ω的最小值是（ ）
A ．
2
π
B ．π
C ．2
D ．4 8.某几何体的三视图如图所示，正（主）视图是一个正方形，俯视图是一个正三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）
A 3
π
B 23π
C ．3π
D ．23
π
9.二项式26()x x y ++的展开式中72
x y 的项的系数为（ ） A ．120 B ．80 C ．60 D ．50
10.祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，已知，两个平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都为h ），其中：三棱锥的底面是正三角形（边长为a ），四棱锥的底面是有一个角为0
60的菱形（边长为b ），圆锥的体积为V ，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的三个截面的面积总相等，那么，下列关系式正确的是（ ）
A ．a =
，b =．a h =，b h
=
C
．a =
b = D
．a =
b =
11.已知椭圆：22
143
x y +
=，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，则22AF BF ∙的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．
25
4
D ．5 12.已知函数()(1)ln(1)f x x x =++，若函数()2(1)h x f x =-与3y x mx =-的图象在区间
1
[,]e e
上有2个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ．[1,2] B ．21(1,2]e + C ．1
[1,3)e
+ D ．(2,4]e +
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.设,x y 满足约束条件4y x y x x y a ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
，若3z x y =-的最大值为2，则a =_______________.
14.执行如图所示的程序框图，则输出的S =
_______________.
15.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin sin 2sin a A b B C +=
，2c =，则2a b +的最大值是_______________.
16.若两个矩形ABCD 与ABEF 所在的平面互相垂直，且它们的顶点都在球O 的表面上，
12AB AD AF ++=，则球O 的表面积的最小值为_______________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若n n a b n =，求数列{}n b 的前n 项和. 18.（本小题满分12分）
2015年12月第二届世界互联网大会在我国举行，为调查关注此次大会的人是否与性别有关，随机调查了1000人，其中女性600人，男性400人，女性中有360人表明关注，而男性中有260人表明关注.
（1）根据以上数据补全下面的22⨯列联表：
（2）能否有90%的把握认为是否关注此次大会与性别有关？
（3）若要从表明关注的人中间按照性别分层抽取31人去大会举办地参观考察，求男女各抽取多少人，若从抽取的人中再随机抽取3人，求抽到的男性人数多于女性人数的概率.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19.（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，
12BC CC ==,,M N 分别是1CC ，1BB 的中点.
（1）求证：平面1AB C ⊥平面1A MB ；
（2）求二面角1B AM N --的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知抛物线C 的方程24x y =，(2,1)M 为抛物线C 上一点，F 为抛物线的焦点. （1）求MF .
（2）设直线1:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点P ，且与直线2:1l y =-相交于点Q ，试问：在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）
已知函数2()x x f x x ae e =--（a R ∈，e 为自然对数的底数）. （1）若()0f x ≤对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）若方程0x
x ae -=有两个不同的实数解12,x x ，求证：22
122x x +>.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，AB 是圆O 的直径，PC 是圆O 的一条割线，且交圆O 于C ，D 两点，AB PC ⊥，
PE 是圆O 的一条切线，切点为E ，AB 与BE 分别交PC 于M ,F 两点.
（1）证明：PEF ∆为等腰三角形； （2）若 5.3PF PD ==，求DC 的长度.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知直线:sin()24
l π
ρθ+
=与圆:4O ρ=.
（1）分别求出直线l 与圆O 对应的直角坐标系中的方程； （2）求直线l 被圆O 所截得的弦长.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知1,0,0a b a b +=>>.
（1）求14
a b +的最小值； （2）若14
211x x a b
+≥--+恒成立，求x 的取值范围.
参考答案：
一、选择题：
1-5.BDDAD 6-10.CACCC 11-12.CB
二、填空题：
13. 2 14. 2500 15.
16. 48π
三、解答题：
17.解：
（1）当1n =时，1111,22S a S a =+=，可得12a =.
当2n ≥时，11(22)(22)n n n n n a S S a a --=-=---，即12n n a a -=， 故数列{}n a 是以2为公比和首项的等比数列， 则{}n a 的通项公式是2n n a =. （2）由n n a b n =及2n n a =，可得2n n
n b =. 令231
123
1222
22n n n n n
T --=
++++
+，① 两边都乘以2可得221231212222
n n n n n
T ---=+++++，②
②-①可得211112
(1)222222
n n n n n n T -+=++++-=-.
18.解：
（2）根据列联表中的数据，得到
2
2
1000(360140240260) 2.547 2.706600400620380
K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯
因此没有90%的把握认为是否关注此次大会与性别有关 （3）女性抽取360
3118360260
⨯
=+人，男性抽取311813-=人
从抽取的人中再随机抽取3人，抽到的男性人数多于女性人数的概率是3221818133
31338
899
C C C C +=. 19.解：
（1）过点A 作AK BC ⊥，垂足为K ，连接1B K ，则K 为BC 的中点. 因为1BC CC =，底面ABC ∆是正三角形， 所以四边形11ABB A 是正方形，所以11AB A B ⊥. 易证MCB ∆1KBB ≅∆,所以1MBC KB B ∠=∠. 所以11190MBC BKB KB B BKB ∠+∠=∠+∠=
,
又1KB AK K =，所以BM ⊥平面1AKB ,所以1BM AB ⊥, 又1A B
BM B =，所以1AB ⊥平面1A MB ，
又1AB ⊂平面1ABC ，所以平面1AB C ⊥平面1A MB
.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则,0)A ，(0,0,1)M ，(0,2,1)N ，1(0,2,2)B ，
则(1,1)AM =-
，1(,2)AB =
，(,1)AN =， 设平面1AMB 的法向量为(,,)n x y z =，则
由100
n AM n AB ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩
，得(,,)(1,1)0(,,)(2)0x y z x y z ⎧∙-=⎪⎨∙=⎪⎩，
解得2x z y
⎧=⎪
⎨
=-⎪⎩，
令1y =-，得(3,1,2)n =-为平面1AMB 的一个法向量. 设平面AMN 的法向量为'''(,,)m x y z =，则
由00m AM m AN ⎧∙=⎪⎨∙=⎪
⎩
得''''''
(,,)(1,1)0(,,)(0
x y z x y z ⎧∙-=⎪⎨∙
=⎪⎩解得'''0y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩
令'
1
x =，得(1m =为平面AMN 的一个法向量. 设二面角1B AM N --的大小为θ.
则(1,0,cos m n
m n
θ∙
=
=
=即二面角1B AM N --.
20.解：
（1）由题可知24p =，即2p =， 由抛物线的定义可知122
P
MF =+
=.
（2）由C 的图象关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上（直线1l 表示过点(0,)m 的直线系，若点N 不在y 轴上，假设(,)N a b （0a ≠），则由对称性可知以PQ 为直径的圆恒过点'(,)N a b -，则可得以PQ 为直径的圆的圆心恒在y
轴上，与已知矛盾），设(0,)N n ，又设点2
0(,)4
x P x ，由直线1:l y kx m =+与曲线C 有唯一
公共点P 知，直线1l 与C 相切，由214y x =得'12
y x =. ∴0
'01
2
x x k y
x ===
∴直线1l 的方程为2000()42x x
y x x -=-. 令1y =-，得20
2
2x x x -=.
∴Q 点的坐标为002,12x x ⎛⎫
--
⎪⎝⎭
， ∴200(,)4x NP x n =-，00
2
(,1)2x NQ n x =---. ∵点N 在以PQ 为直径的圆上，
∴2222000
2(1)()(1)20244
x x x NP NQ n n n n n ∙=--+-=-++-=（*） 要使方程（*）对0x 恒成立， 必须有2
1020
n n n -=⎧⎨
+-=⎩，解得1n =，
∴在坐标平面内存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1). 21.解：
（1）()0f x ≤，即20x
x
x ae e
--≤，等价于x x x
a e e
≥
-. 设()x x x g x e e =-，则2'
1()x x
e x g x e --=，
当0x <时，210x e
x -->，'()0g x >，则函数()g x 在(,0)-∞上单调递增； 当0x >时，210x
e x --<，'()0g x <，则函数()g x 在(0,)+∞上单调递减. 所以max ()(0)1g x g ==-，
所以1a ≥-.
（2）因为方程0x x ae -=有两个不同的实数解12,x x ，
所以11x x ae =，22x x ae =，
因此1212()x x x x a e e -=-，即12
12x x x x a e e -=
-. 先证明122x x +>，
要证明122x x +>，只要证明12()2x x a e e +>， 即证121212()2x x x x e e x x e e
+->-， 即证1212121()21
x x x x e x x e --+->- 不妨设12x x >，记12t x x =-，则0,1x
t e >>. 因此只要证明121
t t e t e +∙>-， 即证(2)20t t e t -++>，
记()(2)2(0)t h t t e t t =-++>，则'()(1)1t h t t e =-+，
记()(1)t m t t e =-，则'()t m t te =，
当0t >时，'()0m t >，所以()(0)1m t m >=-，
即0t >时，(1)1t t e ->-，则'()0h t >，所以()(0)0h t h >=
即(2)20t t e t -++>成立，
所以122x x +>得证.
所以22
2
21212
()2222x x x x ++>>=，即22122x x +>成立. 22.解：
（1）连接OE ，∵PE 切圆O 于点E ，
∴OE PE ⊥,∴090PEF FEO ∠+∠=,
又∵AB CD ⊥,∴0
90B BFM ∠+∠=,
又∵B FEO ∠=∠,∴BFM PEF ∠=∠,
又∵BFM PEF ∠=∠,
∴PEF PFE ∠=∠，即PEF ∆为等腰三角形
.
（2）由切割线定理知2PE PD PC =∙,，即2PF PD PC =∙, 解得253
PC =, ∴2516333DC PC PD =-=
-=. 23.解：
（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==， 所以直线sin()24π
ρθ+=
的直角坐标方程为2022
x y +-=
，即0x y +-=， 圆4ρ=的直角坐标方程为2216x y +=.
（2）由（1）知圆心的坐标是(0,0)，半径是4
，圆心到直线的距离是2d ==. 所以直线sin()24πρθ+
=被圆4ρ=
截得的弦长是=
24.解：
（1）∵0,0a b >>且1a b +=，
∴
14144()()59b a a b a b a b a b
+=++=++≥， 当且仅当4b a a b =，即12,33
a b ==时，14a b +取最小值9. （2）∵对,(0,)a b ∈+∞，使14211x x a b +≥--+恒成立. ∴2119x x --+≤，
当1x ≤-时，不等式化为29x -≤，解得71x -≤≤-； 当112x -<<
时，不等式化为39x -≤，解得112
x -<<； 当12x ≥时，不等式化为29x -≤，解得1112x ≤≤， ∴x 的取值范围是711x -≤≤.。