高考地理-----角平分线模型规律方法与典型例题讲解

高考地理-----角平分线模型规律方法与典型例题讲解
【规律方法】
斯库顿定理：如图，AD 是ABC △的角平分线，则2
【典型例题】
例15．
（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）ABC 中，2AB =，1AC =，BD BC λ=，()0,1λ∈.
(1)若120BAC ∠=︒，12
λ=，求AD 的长度； (2)若AD 为角平分线，且1AD =，求ABC 的面积.
【解析】（1）∵BD BC λ=，12λ=，∴()
12AD AB AC =+， 又∵在ABC 中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，
∴()()()()()222211
32cos 444
AD AB AC AB AC AB AC A =+=++⋅⋅=，
∴234AD =，即：AD =
（2）在ABC 中，1sin sin 2
ABC S bc A A =⋅=△， 又∵113sin sin sin 222222
ABC ABD ACD A A A S S S c AD b AD =+=⋅⋅+⋅⋅=△△△，
∴3sin sin 22A A =，∴3cos 24A =，∴sin 2A =
∴33sin sin 222A A ===
∴11sin 1222ABC S bc A =⋅=⨯⨯=△例16．
（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）在锐角ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足cos cos cos c a b C A B
+=+ (1)求角C 的大小；
(2)若c =A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围.
【解析】（1）∵cos cos cos c a b C A B
+=+， 由正弦定理可得,sin sin sin cos cos cos C A B C A B
+=+， 整理可得：sin cos sin cos sin cos sin cos C A C B A C B C +=+,
即sin cos sin cos sin cos sin cos C A A C B C C B −=−，
即：()()sin sin C A B C −=−,
又因为锐角ABC ， 所以ππ,22C A ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，ππ,22B C ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭， 所以C A B C −=−，
即2A B C +=，又πA B C ++=， 所以3C π
=；
（2）由题意可知2π3
ADB ∠=，
设DAB α∠=，所以π3ABD α∠=
−， 又π022α<<，πππ20,32B α⎛⎫=−−∈ ⎪⎝⎭
， 所以ππ,124α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 在ABD △中，由正弦定理可得sin sin AB AD ADB ABD
=∠∠，
πsin sin 33AD α=⎛⎫− ⎪⎝⎭
， 所以π2sin 3AD α⎛⎫=− ⎪⎝⎭
，
所以11πsin 2sin sin 223ABD S AB AD ααα⎛⎫=⋅=− ⎪⎝
⎭
23πsin cos 226αααα⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭
， 又ππ,124α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 所以ππ2π2,633α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
，
所以πsin 26α⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦
，
π26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎝⎦
即ABD △
面积的取值范围为⎝⎦
. 例17．
（2022·江苏泰州·高三期中）在①sin (cos cos )sin sin sin C a B b A a B a A b B +−=+
；②22sin sin cos cos B A B B A A −两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a b ¹， ．
(1)求角C 的大小；
(2)若∠ACB 的角平分线CD 交线段AB 于点D ，且4,4CD BD AD ==，求△ABC 的面积．
【解析】（1）选①：由正弦边角关系得22(cos cos )c a B b A ab a b +−=+， 再由余弦边角关系得222222
22()22a c b b c a c ab a b c c
+−+−+−=+， 所以222
c ab a b −=+，而2221cos 22a b c C ab +−==−且0πC <<， 所以2π3C =
.
选②：1cos 21cos 2cos 2cos 22sin 2)222B A A B B A −−−−==−， 所以cos 22cos 22A A B B =，即ππ
sin(2)sin(2)66
A B +=+， 又a b ¹，则A B ≠且0πA B <+<，所以ππ22π66
A B +
++=，可得π3A B +=， 所以2π3C =. （2）过B 作//BE AC 交CD 延长线于E ，
因为CD 为角平分线，且4BD AD =，则4BC AC =，
由ADC BDE △△，则14
AD CD AC BD ED BE ===，又4CD =， 所以16ED =，4BE AC =，故BE BC =，又60BCE ∠=︒，
故△BCE 为等边三角形，则20BE BC CE CD ED ===+=，5AC =，
结合（1）结论，△ABC 的面积为1sin1202
AC BC ⋅⋅︒=例18．
（2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习）已知向量()
3sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =−，函数()32f x a b =⋅+． (1)求函数()y f x =的最小正周期；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ACB 的角平分线交AB 于点D ，若()f C 恰好为函数()f x 的最大值，且此时()CD f C =，求3a ＋4b 的最小值．
【解析】（1）()32f x a b =⋅+23cos cos 2
x x x =−+1cos 23222x x +−+
12cos 212x x ⎫=−+⎪⎪⎝⎭sin 216x π⎛⎫=−+ ⎪⎝
⎭， 则函数()y f x =的最小正周期22
T ππ==. （2）由（1）可知
()sin 216f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，当226x ππ−=，即3x π=时，()f x 取得最大值为2，则3ACB π
∠=，2CD =，
因为CD 平分ACB ∠，所以6ACD BCD π
∠=∠=，则点D 分别到,AC BC 的距离sin 16h CD π
=⋅=，
由ABC ACD BCD S S S =+△△△，则111sin 222AC BC ACB AC h BC h ⋅⋅⋅∠=⋅⋅+⋅⋅a b =+，整理
可得11a b +=，
()11
3434a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭347a b b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭7≥+，当且仅当34a b
b a
=2b =时，等号成立，
故34a b +例19．
（2022·河北·高三阶段练习）已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其
中=4a ，=3b .
(1)若点D 为AB 的中点且=2CD ，求ACB ∠的余弦值；
(2)若ACB ∠的角平分线与AB 相交于点E ，当c CE ⨯取得最大值时，求CE 的长.
【解析】（1）根据题意，延长CD 到F ，使得CD DF =，连接AF BF ， 可得四边形AFBC 为平行四边形， 所以16+9163cos =cos ==2?4?38
ACB CBF −∠−∠−−；
（2）设ACE BCE θ∠=∠=，CE x =，
可得2916234cos 22524cos 2AB θθ=+−⨯⨯⨯=−， 因此c CE x ⨯=
又134sin 22ABC ACE BCE S S S θ=+⇒⨯⨯⨯△△△1124=?3?×sin +?4?sin =cos 227
x x x θθ⇒θ
24cos 7
c CE x θ⨯=
492
θ=
当且仅当
cos θθ==
时等号成立， 所以CE x =.
例20．
（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．在
①cos cos
2b C B π⎛⎫−= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅△；③tan tan tan A C A C +=这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．
(1)求角B 的大小；
(2)若角B 的内角平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值．
【解析】（1）若选条件①，由正弦定理得：sin sin cos B C C B =，
()0,C π∈，sin 0C ∴≠，sin ∴=B B ，则tan B =
又()0,B π∈，23
B π∴=.
若选条件②，由2
ABC S BC =⋅△得：sin cos ac B B =，
sin ∴=B B ，则tan B =()0,B π∈，23B π∴=.
若选条件③，由tan tan tan A C A C +=得：)tan tan 1tan tan A C A C +−，
tan tan
1tan tan A C A C
+∴=−()tan A C +=
又()()tan tan tan B A C A C π⎡⎤=−+=−+=⎣⎦()0,B π∈，23
B π∴=
. （2）
ABC ABD BCD S S S =+，12π1π1πsin sin sin 232323ac c BD a BD ∴=⋅+⋅，
=，a c ac ∴+=，111a c ac a c +∴=+=，
()11444559a c a c a c a c c a ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当4a c c a =，即23a c ==时取等号），
4a c ∴+的最小值为9.
例21．
（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，
内角A 的角平分线交边BC 于D 点， 且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=， 则ABC 面积的最小值是（ ）
A ．16
B ．
C ．64
D ．
【答案】B
【解析】∵(2)cos cos 0b c A a C ++=，
∴2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=，
即()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A C A B A B ++=+=， 又()0,B π∈，sin 0B >，
∴2cos 10A +=，即1cos 2A =−，又()0,A π∈， ∴23
A π=， 由题可知ABC ABD ACD S S S =+，4=AD ， 所以1211sin 4sin 4sin 232323
bc c b πππ=⨯+⨯，即()4bc b c =+，
又()4bc b c =+≥64bc ≥，
当且仅当b c =取等号，
所以121
sin 64232ABC S bc π=≥⨯=故选：B.。