精选2019年《指数函数和对数函数》单元测试完整题(含标准答案)

2019年高中数学单元测试试题 指数函数和对数函数
（含答案）
学校：
__________
第I 卷（选择题）
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一、选择题
1．函数1(0,1)x y a a a a
=->≠的图象可能是 （2012四川理）
[答案]C
[解析]采用排除法. 函数(0,1)x y a a a a =->≠恒过(1,0),选项只有C 符合,故选C.
2．函数()y f x =的图像与函数2()log (0)g x x x =>的图像关于原点对称，则()f x 的表达式为(D)
（A ）21()(0)log f x x x
=> （B ）21()(0)log ()f x x x =<-
（C ）2()log (0)f x x x =-> （D ）2()log ()(0)f x x x =--<(2006全国2理)
解析(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以
2()log (0)g x x x =>⇒2()log ()(0)f x x x =--< 故选D
3．设3.02131)
21(,3log ,2log ===c b a ，则 ( )
A a<b<c
B a<c<b
C b<c<a
D b<a<c （2009天津文）
4．
若()f x =，则()f x 的定义域为 A. (,)1-02 B. (,]1-
02 C. (,)1-+∞2 D.(,)0+∞(2011年高考江西卷理科3) 5．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为
A ．0
B ．1
C ．3
D ．5（07安徽）
D ． 第II 卷（非选择题）
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二、填空题
6．用二分法求函数()34x f x x =--的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得()34x f x x =--一个零点的近似值(精确到0．01)为 ▲ .
7．若关于x 的方程：0212=--+x x kx 有两个不相等的
实数解，则实数k 的取值范围 . ⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-0,21 8．已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)
0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0)()(,212121<-
-≠x x x f x f x x 都有成立，则a 的取值范围是 .
9． 已知()2x
f x =可以表示成一个奇函数()
g x 与一个偶函数()
h x 之和，若关于x 的不等式()(2)0ag x h x +≥对于[1,2]x ∈恒成立，则实数a 的最小值是 ．
10．若关于x 的方程21x -=k(x-2)有两个不等实根，则实数k 的取值范围是
11．已知函数f （x ）、g （x ）满足x ∈R 时，f ′（x ）>g ′（x ），
则x 1<x 2时，则f （x 1）－f （x 2）___ g （x 1）－g （x 2）．（填>、<、＝）
12．若方程m x x +=-21没有实解，则实数m 的取值范围是______________ 13．已知函数2122(),[1,)x x f x x x
++
=∈+∞， ⑴试判断()f x 的单调性，并加以证明；⑵试求()f x 的最小值. 【例1】⑴增函数；⑵72
. 14．32
43
)1()25(-+--x x 有意义,则x 的取值范围是
15．函数2()23f x x x =-+,则(2)x f 与(3)x f 的大小关系是 .
16．方程lg lg(3)1x x ++=的解x = .
17．若0log log 22<<n m ，则实数m 、n 的大小关系是 .
18．函数)()(32Z m x x f m m ∈=-是幂函数，当0>x 时)(x f 是减函数，则m 的值是 ______.
19．函数()23
123
x x f x x =+++的零点的个数是 .
20．三个数0.70.7333,log ,0.7a b c ===按从大到小的顺序排列为 ▲
21．函数2()lg(21)f x x x =-+的值域为 ▲ .
22． 通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是0lg lg A A M -=，其中，A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅，M 为震级．则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 ▲ 倍．
23．已知函数()35x f x x =+-的零点[]0,x a b ∈，且1b a -=，a ，b N *∈，则
a b += .
24．已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()l g f x x =．若635(
),(),()522
a f
b f
c f ===，则将,,a b c 从小到大．．．．排列为 ▲ ． 25．有一气球以v (m/s)的速度由地面上升(假设气球在上升过程中的速度大小恒定)，10分钟后由观察点P 测得气球在P 的正东方向S 处，仰角为45︒；再过10分钟后，测得气球在P 的东偏北30︒方向T 处，其仰角为60︒(如图，其中Q 、R 分别为气球在S 、T 处时的正投影)．求风向和风速(风速用v 表示)．
26．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a =， )2(f b =，)2(f c =，则c b a ,,大小关系是
27．若函数||
3([,])x y x a b =∈的值域[1,9]，则222a b a +-的取值范围是_________
28．已知集合{}21,M y y x x R ==-∈，{}N x y x R ==∈，则M N ⋂= .
29．函数1()3x f x a -=+的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是 （1，4） ．
30．已知函数212log (35)y x ax =-+在[1,)-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是
___▲___.
31．幂函数 f （x ）=x α（α∈R ） 过点
，则 f （4）= 2 ．（5分）
32．已知方程3log 5x x =-的解所在区间为(,1)()k k k N *
+ ∈，则k = ▲ ． 33．定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩
，若关于x 的函数
()()()212h x f x b f x =++
有5个不同的零点12345,,,,x x x x x ，则2222212345x x x x x ++++等于 15.
34．已知11.0,,23α⎧
⎫∈-⎨⎬⎩⎭，幂函数y mx α
=定义域为R ,且在(,0)-∞上为增函数，则m α+= ▲ .
三、解答题
35．某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P （亿元）和Q （亿元），它们
与投资额t （亿元）的关系有经验公式P ＝16 3t ，Q ＝18 t ．今该公司将5亿元投资这两个
项目，其中对甲项目投资x （亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y （亿元）． 求：（1）y 关于x 的函数表达式；（2）总利润的最大值．
36．已知函数()2.2x x a f x =-
将()y f x =的图象向右平移两个单位，得到()y g x =的图象．
(Ⅰ) 求函数()y g x =的解析式；
(Ⅱ) 若函数()y h x =与函数()y g x =的图象关于直线1y =对称，求函数()y h x =的解析式；
(Ⅲ) 设1()()(),F x f x h x a
=+已知()f x
的最小值是m ，且2m >+求实数 a 的取值范围．
37．已知函数 ()()R a Inx x a x f ∈+-=,,12
(1)当 1=a 时，判断函数，()x f 的单调性并写出其单调区间；
(2)若函数，()x f 的图象与直线y=x 至少有一个交点，求实数a 的取值范围
(3)证明：对任意的n ∈N ※都有()∑--+n
i i i n In 1211 成立．
38．已知：1
313)(+-=x x x f （1）求其定义域、值域；（2）试判断它的单调性，并给出证明；
39．已知12(,2,3),(5,4,7)6P x P x =空间中两点的距离为，则 .
40．
)n 是正整数
41．设k ∈R
，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪⎩
，≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数
()F x 的单调性．（广东卷19）
42．已知函数x
x x f 21)(2-= （1）试判断)(x f 的奇偶性；
（2）试判断)(x f 的单调性；
（3）若当0>m , 20π
θ≤≤时，恒有0)22()sin 4(cos 2<--++m f m f θθ，求
m 的取值范围.
43．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处进行该仪器的垂直弹射，观察点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射
声音的时间比B 地晚217
秒．A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°，A 地测得最高点H 的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度
CH . (声音的传播速度为340米/秒, 保留根式)
(本小题满分16分)
44．在海岸A 处，发现北偏东045方向、距离A 处13-海里的B 处有一艘走私船；在A 处北偏西075方向、距离A 处2海里的C 处的辑私船奉命以310海里/小时的速度追截走私船.同时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东0
30方向逃窜，问辑私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？
B A
C D
45．某学校需要一批一个锐角为θ的直角三角形硬纸板作为教学用具(5π24 ≤θ≤π3
)，现准备定制长与宽分别为a 、b (a >b )的硬纸板截成三个符合要求的△AED 、△BAE 、△EBC ．(如图所示)
(1)当θ=6
π时，求定制的硬纸板的长与宽的比值； (2)现有三种规格的硬纸板可供选择，A 规格长80cm ，宽
30cm ，B 规格长60cm ，宽40cm ，C 规格长72cm ，宽
32cm ，可以选择哪种规格的硬纸板使用．
46．如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮1O 的半径为r 2（r 为常数），小飞轮2O 的半径为r ，r O O 421=.在大飞轮的边缘上有两个点A ，B ，满足31π
=∠A BO ，在小飞
轮的边缘上有点C .设大飞轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点B ，C 在水平直线21O O 上.
（1）求点A 到达最高点时A ，C 间的距离；
（2）求点B ，C 在传动过程中高度差的最大值
.
A
B C D θ E
47．现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）。

在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）。

在直角坐标平面内，我们定义1122(,),(,)A x y B x y 两点间的“直角距离”为：
()1212||||.AB D x x y y =-+-
（1）已知(3,3),(3,2)A B --，求A 、B 两点的距离()AB D 。

（2）求到定点M （1，2）的“直角距离”为2的点的轨迹方程。

并写出所有满足条件的“格点”的坐标（格点是指横、纵坐标均
为整数的点）。

（3）求到两定点F 1、F 2的“直角距离”和为定值2(0)a a >的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹。

（在以下三个条件中任选一个做答，多做不计分，基保选择条件①，满分4分；条件②满分6分；条件③，满分8分）
①12(1,0),(1,0),2F F a -=；
②12(1,1),(1,1),2;F F a --= ③12(1,1),(1,1), 4.F F a --=（本题满分18分）本大题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分。

48．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4吨时，按每吨1.8元收费；当每户每月用水量超过4吨时，其中4吨按每吨为1.8元收费，超过4吨的部分按每吨
3.00元收费。

设每户每月用水量为x吨，应交水费y元。

（Ⅰ）求y 关于x 的函数关系；
（Ⅱ）某用户1月份用水量为5吨，则1月份应交水费多少元？
（Ⅲ）若甲、乙两用户1月用水量之比为5:3，共交水费26.4元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费。

49． (本小题满分16分)
如图,有一块四边形ABCD 绿化区域,其中90A C ∠=∠=,BA BC ==1AD CD ==,现准备经过BC 上一点P 和AD 上一点Q 铺设水管PQ ,且PQ 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分,设CP x =,DQ y =.
⑴求x 、y 的关系式;
⑵求水管PQ 的长的最小值.
50．为刺激消费，某商场开展让利促销活动，规定：顾客购物总金额不超过1000元，不享受任何折扣；若购物总金额超过1000元，则享受一定的折扣优惠，折扣按下表累计计算．
例如，某人购物1300元，则其享受折扣优惠的金额为（1300－1000）元，优惠额300×10%=30，实际付款1270元．
（Ⅰ）某顾客购买1800元的商品，他实际应付款多少元？
（Ⅱ）设某人购物总金额为x元，实际应付款y元，求y关于x的函数解析式．（本题满分16分）。