2020-2021河南省实验中学八年级数学下期末试卷及答案

2020-2021河南省实验中学八年级数学下期末试卷及答案
一、选择题
1．顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所围成的四边形是（ ） A ．矩形 B ．菱形
C ．正方形
D ．平行四边形
2．下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 ③对角线相等的四边形一定是矩形
④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的有( )个． A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，要使得四边形ABCD 是平行四边形，可添加的
条件不正确的是 ( )
A ．AB=CD
B ．B
C ∥A
D C ．BC=AD D ．∠A=∠C 4．若点P 在一次函数的图像上，则点P 一定不在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 5．若函数y=(m-1)x ∣m ∣
-5是一次函数，则m 的值为( )
A ．±
1 B ．-1
C ．1
D ．2
6．下列计算中正确的是（ ） A ．325+=
B ．321-=
C ．3333+=
D ．
33
42
=
7．已知,,a b c 是ABC ∆的三边，且满足2
2
2
()()0a b a b c ---=，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
8．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数是（ ）
A ．2
B ．﹣2
C ．﹣2
D ．2
9．无论m 为任何实数，关于x 的一次函数y ＝x ＋2m 与y ＝－x ＋4的图象的交点一定不在
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 的中点C '上.若6AB =，
9BC =，则BF 的长为( )
A ．4
B ．32
C ．4.5
D ．5
11．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于点G ，下列结论：①15BAE DAF ∠=∠=；②AG=3GC ；③BE +DF =EF ；④2CEF ABE S S ∆∆=.其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③④
12．如图，四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°，BD ＝4，则BC 的长是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．43
二、填空题
13．如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，若∠EAO=15°，则∠BOE 的度数为 度．
14．如图所示，BE AC ⊥于点D ，且AB BC =，BD ED =，若54ABC ∠=，则
E ∠=___．
15．若2(3)x =3-x ，则x 的取值范围是__________． 16．菱形
的边长为5，一条对角线长为6，则该菱形的面积为__________．
17．在矩形ABCD 中，AD=5，AB=4，点E ，F 在直线AD 上，且四边形BCFE 为菱形，若线段EF 的中点为点M ，则线段AM 的长为 ．
18．如图，如果正方形ABCD 的面积为5，正方形BEFG 的面积为7，则ACE △的面积_________.
19．（多选）在同一条道路上，甲车从A 地到B 地，乙车从B 地到A 地，两车同时出发，乙车先到达目的地，图中的折线段表示甲，乙两车之间的距离y （千米）与行驶时间x （小时）的函数关系，下列说法正确的是（ ）
A ．甲乙两车出发2小时后相遇
B ．甲车速度是40千米/小时
C ．相遇时乙车距离B 地100千米
D ．乙车到A 地比甲车到B 地早
5
3
小时 20．一组数据1，2，3，x ，5的平均数是3，则该组数据的方差是_____．
三、解答题
21．2019年4月23日世界读书日这天，滨江初二年级的学生会，就2018年寒假读课外书数量（单位：本）做了调查，他们随机调查了甲、乙两个班的10名同学，调查过程如下 收集数据
甲、乙两班被调查者读课外书数量（单位：本）统计如下： 甲：1，9，7，4，2，3，3，2，7，2 乙：2，6，6，3，1，6，5，2，5，4
整理、描述数据绘制统计表如下，请补全下表：
班级平均数众数中位数方差
甲43
乙6 3.2
分析数据、推断结论
（1）该校初二乙班共有40名同学，你估计读6本书的同学大概有_____人；
（2）你认为哪个班同学寒假读书情况更好，写出理由．
22．已知正方形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O．
（1）如图 1，E，G 分别是OB，OC 上的点，CE 与DG 的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE＝OG；
（2）如图 2，H 是BC 上的点，过点H 作EH⊥BC，交线段OB 于点E，连结DH 交CE 于点F，交OC 于点G．若OE＝OG，
①求证：∠ODG＝∠OCE；
②当AB＝1 时，求HC 的长．
23．先化简代数式1﹣
1
x
x
-
÷
2
2
1
2
x
x x
-
+
，并从﹣1，0，1，3中选取一个合适的代入求值．
24．在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，下图是其中的甲、乙两段台阶的示意图，图中的数字表示每一级台阶的高度（单位：cm）.请你用所学过的有关统计
知识，回答下列问题（数据：15，16，16，14，14，15的方差22 3
S=
甲
，数据：11，15，
18，17，10，19的方差235 3
S=
乙
：
（1）分别求甲、乙两段台阶的高度平均数；
（2）哪段台阶走起来更舒服？与哪个数据（平均数、中位数、方差和极差）有关？（3）为方便游客行走，需要陈欣整修上山的小路，对于这两段台阶路.在总高度及台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议.
∆中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行25．如图所示，ABC
=，连接BF．
线交CE的延长线于F，且AF BD
（1）求证：D是BC的中点；
=，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
（2）若AB AC
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其为平行四边形，再根据邻边互相垂直且相等，可得四边形是正方形．
【详解】
解：、、、分别是、、、的中点，
，，EH=FG=BD，EF=HG=AC，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是正方形，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理以及正方形的判定，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确；
∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；
∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；
∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；
其中正确的有2个，故选C．
考点：中点四边形；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．
【详解】
∵AB∥CD，
∴当AB=CD时，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知该条件正确；
当BC∥AD时，由两组对边分别平行的四边形为平行四边形可知该条件正确；
当∠A=∠C时，可求得∠B=∠D，由两组对角分别相等的四边形为平行四边形可知该条件正确；
当BC=AD时，该四边形可能为等腰梯形，故该条件不正确；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质进行判定即可.
【详解】
一次函数y=-x+4中k=-1<0，b>0，
所以一次函数y=-x+4的图象经过二、一、四象限，
又点P在一次函数y=-x+4的图象上，
所以点P一定不在第三象限，
故选C.
【点睛】
本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握是解题的关键.
y=kx+b：当 k>0，b>0时，函数的图象经过一，二，三象限；当 k>0，b<0时，函数的图象经过一，三，四象限；当 k<0，b>0时，函数的图象经过一，二，四象限；当 k<0，b<0时，函数的图象经过二，三，四象限.
5．B
解析：B
【解析】
根据一次函数的概念，形如y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的函数为一次函数，故可知m-1≠0，|m|=1，解得m≠1，m=±1，故m=-1.
故选B
点睛：此题主要考查了一次函数的概念，利用一次函数的一般式y=kx+b（k≠0，k、b为常数），可得相应的关系式，然后求解即可，这是一个中考常考题题，比较简单.
6．D
解析：D
【解析】
分析：根据二次根式的加减法则对各选项进行逐一计算即可．
详解：A
B不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D
故选：D．
点睛：本题考查的是二次根式的加减法，在进行二次根式的加减运算时要把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
由（a-b）（a2-b2-c2）=0，可得：a-b=0，或a2-b2-c2=0，进而可得a=b或a2=b2+c2，进而判断△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
【详解】
解：∵（a-b）（a2-b2-c2）=0，
∴a-b=0，或a2-b2-c2=0，
即a=b或a2=b2+c2，
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理以及等腰三角形的判定，解题时注意：有两边相等的三角形是等腰三角形，满足a 2+b 2=c 2的三角形是直角三角形．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
∵边长为1=
∴
∵A 在数轴上原点的左侧，
∴点A 表示的数为负数，即1 故选D
9．C
解析：C
【解析】由于直线y=-x+4的图象不经过第三象限．因此无论m 取何值，直线y=x+2m 与y=-x+4的交点不可能在第三象限． 故选C ．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
∵点C′是AB 边的中点，AB=6， ∴BC′=3，
由图形折叠特性知，C′F=CF=BC -BF=9-BF ， 在Rt △C′BF 中，BF 2+BC′2=C′F 2， ∴BF 2+9=（9-BF ）2， 解得，BF=4， 故选A ．
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
易证Rt ABE Rt ADF ≌，从而得到BE DF =，求得15BAE DAF ∠=∠=︒；进而得到
CE CF =，判断出AC 是线段EF 的垂直平分线，在Rt AGF 中，利用正切函数证得②
正确；观察得到BE GE ≠，判断出③错误；设BE x =，CE y =，在Rt ABE 中，运用
勾股定理就可得到2222x xy y +=，从而可以求出CEF 与ABE 的面积比． 【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，AEF 是等边三角形，
∴90B BCD D AB BC DC AD AE AF EF ∠=∠=∠=︒=====，，． 在Rt ABE 和Rt ADF 中，
AB AD
AE AF ⎧⎨
⎩
＝＝∴()Rt ABE Rt ADF HL ≌． ∴BE DF =，∠BAE =∠DAF
∴()()11
90601522
BAE DAF BAD EAF ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒ 故①正确；
∵BE DF BC DC ==，，
∴CE BC BE DC DF CF =-=-=， ∵AE AF =，CE CF =， ∴AC 是线段EF 的垂直平分线， ∵90ECF ∠=︒， ∴GC GE GF ==， 在Rt
AGF 中，
∵tan tan 60AG AG
AFG GF GC
∠=︒=
==
∴AG =，故②正确； ∵BE DF GE GF ==，，
15BAE ∠=︒，30GAE ∠=︒，90B AGE ∠=∠=︒ ∴BE GE ≠
∴BE DF EF +≠，故③错误； 设BE x =，CE y =，
则CF CE y ==
，AB BC x y AE EF ==+====，．
在Rt ABE 中，
∵90B ∠=︒
，AB x y BE x AE =+==，，，
∴222())x y x ++=． 整理得：2
2
22x xy y +=． ∴CEF
S
：ABE
S
11CE ?CF :AB?BE 22⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()•:?CE CF AB BE ==2y ：()x y x ⎡⎤+⎣⎦
()()
2222:2:1x xy x xy =++=．
∴CEF
ABE 2S
S
=，故④正确；
综上：①②④正确 故选：C. 【点睛】
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，而采用整体思想（把2x xy +看成一个整体）是解决本题的关键．
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据菱形的性质可知对角线平分对角，从而可知∠ABD=∠CBD=60°，从而可知△BCD 是等边三角形，进而可知答案. 【详解】
∵∠ABC=120°，四边形ABCD 是菱形 ∴∠CBD=60°，BC=CD ∴△BCD 是等边三角形 ∵BD=4 ∴BC=4 故答案选A. 【点睛】
本题考查的是菱形的性质，能够掌握菱形的性质是解题的关键.
二、填空题
13．75°【解析】试题分析：根据矩形的性质可得△BOA 为等边三角形得出BA=BO 又因为△BAE 为等腰直角三角形BA=BE 由此关系可求出∠BOE 的度数解：在矩形ABCD 中∵AE 平分∠BAD ∴∠BAE=∠E
解析：75°． 【解析】
试题分析：根据矩形的性质可得△BOA 为等边三角形，得出BA=BO ，又因为△BAE 为等腰直角三角形，BA=BE ，由此关系可求出∠BOE 的度数． 解：在矩形ABCD 中，∵AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE=∠EAD=45°， 又知∠EAO=15°， ∴∠OAB=60°， ∵OA=OB ，
∴△BOA 为等边三角形，
∵∠BAE=45°，∠ABC=90°，
∴△BAE 为等腰直角三角形，
∴BA=BE ．
∴BE=BO ，∠EBO=30°，
∠BOE=∠BEO ，
此时∠BOE=75°．
故答案为75°．
考点：矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
14．27°【解析】【分析】连接AE 先证Rt △ABD ≌Rt △CBD 得出四边形ABCE 是菱形根据菱形的性质可推导得到∠E 的大小【详解】如下图连接
AE ∵BE ⊥AC ∴∠ADB=∠BDC=90°∴△ABD 和△CB
解析：27°
【解析】
【分析】
连接AE ，先证Rt △ABD ≌Rt △CBD ，得出四边形ABCE 是菱形，根据菱形的性质可推导得到∠E 的大小.
【详解】
如下图，连接AE
∵BE ⊥AC ，∴∠ADB=∠BDC=90°
∴△ABD 和△CBD 是直角三角形
在Rt △ABD 和Rt △CBD 中
AB BC BD BD =⎧⎨=⎩
∴Rt △ABD ≌Rt △CBD
∴AD=DC
∵BD=DE
∴在四边形ABCE 中，对角线垂直且平分
∴四边形ABCE 是菱形
∴∠ABD=∠CED=27°
故答案为：27°
【点睛】
本题考查菱形的证明和性质的运用，解题关键是先连接AE，然后利用证
Rt△ABD≌Rt△CBD推导菱形.
15．【解析】试题解析：∵=3﹣x∴x-3≤0解得：x≤3
x≤
解析：3
【解析】
x-=3﹣x，
试题解析：∵()23
∴x-3≤0，
解得：x≤3，
16．24【解析】【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积【详解】解：如图当BD=6时∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BDAO=COBO=DO=
解析：24
【解析】
【分析】
根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．
【详解】
解：如图，当BD=6时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=3，
∵AB=5，
∴AO==4，
∴AC=4×2=8，
∴菱形的面积是：6×8÷2=24，
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了菱形的面积公式，以及菱形的性质和勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
17．5或05【解析】【分析】两种情况：①由矩形的性质得出
CD=AB=4BC=AD=5∠ADB=∠CDF=90°由菱形的性质得出CF=EF=BE=BC=5由勾股定理求出DF得出MF即可求出AM；②同①得出
解析：5或0.5．
【解析】
【分析】
两种情况：①由矩形的性质得出CD=AB=4，BC=AD=5，∠ADB=∠CDF=90°，由菱形的性质得出CF=EF=BE=BC=5，由勾股定理求出DF，得出MF，即可求出AM；②同①得出AE=3，求出ME，即可得出AM的长．
【详解】
解：分两种情况：①如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=5，∠ADB=∠CDF=90°，
∵四边形BCFE为菱形，
∴CF=EF=BE=BC=5，
∴DF=2222
=54
CF CD
--=3，
∴AF=AD+DF=8，
∵M是EF的中点，
∴MF=1
2
EF=2.5，
∴AM=AF﹣DF=8﹣2.5=5.5；
②如图2所示：同①得：AE=3，
∵M是EF的中点，
∴ME=2.5，
∴AM=AE﹣ME=0.5；
综上所述：线段AM的长为：5.5，或0.5；
故答案为5.5或0.5．
【点睛】
本题考查矩形的性质；菱形的性质．
18．【解析】【分析】根据正方形的面积分别求出BCBE的长继而可得CE的长再利用三角形面积公式进行求解即可【详解】∵正方形的面积为正方形的面积为∴BC=AB=BE=∴CE=BE-BC=-∴S△ACE==故
解析：
52
【解析】
【分析】 根据正方形的面积分别求出BC 、BE 的长，继而可得CE 的长，再利用三角形面积公式进行求解即可.
【详解】
∵正方形ABCD 的面积为5，正方形BEFG 的面积为7，
∴，
∴
∴S △ACE =1122
CE AB =⨯，
故答案为：
52. 【点睛】
本题考查了算术平方根的应用，三角形面积，二次根式的混合运算等，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键.
19．ABD 【解析】【分析】根据图象的信息依次进行解答即可【详解】A 出发2h 后其距离为零即两车相遇故正确；B 甲的速度是千米/小时故正确；C 相遇时甲行驶的路程为2×40=80km 故乙车行驶路程为120千米故
解析：ABD
【解析】
【分析】
根据图象的信息依次进行解答即可．
【详解】
A 、出发2h 后，其距离为零，即两车相遇，故正确；
B 、甲的速度是200405
=千米/小时，故正确； C 、相遇时，甲行驶的路程为2×40=80km,故乙车行驶路程为120千米，故离B 地80千米，故错误；
D 、乙车2小时行驶路程120千米，故乙的速度是
120602=千米/小时， 故乙车到达A 地时间为20060=103小时， 故乙车到A 地比甲车到B 地早5-103=53
小时，D 正确； 故选：ABD.
【点睛】
本题考查了行程问题的数量关系速度＝路程÷时间的运用，速度和的运用，解答时正确理解函数图象的数据的意义是关键．
20．2【解析】【分析】先用平均数是3可得x 的值再结合方差公式计算即可
【详解】平均数是3（1+2+3+x+5）解得：x=4∴方差是S2（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）21
解析：2
【解析】
【分析】
先用平均数是3可得x 的值，再结合方差公式计算即可．
【详解】
平均数是315=
（1+2+3+x +5），解得：x =4， ∴方差是S 215=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]15
=⨯10=2． 故答案为2．
【点睛】
本题考查了平均数和方差的概念，解题的关键是牢记方差的计算公式，难度不大．
三、解答题
21．统计图补全见解析 （1）12 （2）乙班，理由见解析
【解析】
【分析】
根据平均数、众数、中位数、方差的概念填表
（1）根据样本求出读6本书的学生的占比，再用初二乙班总人数乘以占比即可求解； （2）根据方差的性质进行判断即可．
【详解】
甲组的众数是2，乙组中位数是45 4.52
+= 乙组的平均数：()2663165254104+++++++++÷=
甲组的方差：
()()()()()()()()()()
222222222214947444243434247424 6.6
10
-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=
补全统计表如下：
403012
⨯=
％（人）
故估计读6本书的同学大概有12人；
（2）乙班，乙班的方差较小，说明乙班学生普遍有阅读意识，而甲班方差较大，说明甲班虽然存在一部分读书意识较强的同学，但也存在一部分读书意识淡薄的同学．
【点睛】
本题考查了统计图的问题，掌握平均数、众数、中位数、方差的概念以及性质是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②
2
．
【解析】
【分析】
（1）欲证明OE=OG，只要证明△DOG≌△COE（ASA）即可；
（2）①欲证明∠ODG=∠OCE，只要证明△ODG≌△OCE即可；
②设CH=x，由△CHE∽△DCH，可得EH HC
HC CD
=，即HC2=EH•CD，由此构建方程即可解
决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD=OC，∴∠DOG=∠COE=90°，
∴∠OEC+∠OCE=90°，
∵DF⊥CE，∴∠OEC+∠ODG=90°，
∴∠ODG=∠OCE，
∴△DOG≌△COE（ASA），∴OE=OG．
（2）①证明：如图2中，∵OG=OE，∠DOG=∠COE=90°OD=OC，
∴△ODG≌△OCE，∴∠ODG=∠OCE．
②解：设CH=x，∵四边形ABCD是正方形，AB=1，
∴BH=1﹣x，∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°，
∵EH⊥BC，∴∠BEH=∠EBH=45°，∴EH=BH=1﹣x，
∵∠ODG=∠OCE，∴∠BDC﹣∠ODG=∠ACB﹣∠OCE，
∴∠HDC=∠ECH，
∵EH⊥BC，∴∠EHC=∠HCD=90°，
∴△CHE∽△DCH，
∴EH HC
HC CD
=，∴HC2=EH•CD，
∴x2=（1﹣x）•1，
解得x=51
2
-
或
51
2
--
（舍弃），
∴HC=51
2
-
．
23．-
1
1
x+
，-
1
4
．
【解析】
试题分析：根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后在﹣1，0，1，3中选取一个使得原分式有意义的x的值代入即可解答本题．
试题解析：原式=1﹣
()
()()
2
1
·
11
x x
x
x x x
+
-
+-
=1﹣
2
1
x
x
+
+
=
12
1
x x
x
+--
+
=-
1
1
x+
，
当x=3时，原式=﹣
1
31
+
=-
1
4
．
24．（1）甲台阶高度的平均数15，乙台阶高度的平均数15；（2）甲段路走起来更舒服一些；（3）每个台阶高度均为15cm，游客行走更舒服．
【解析】
分析：（1）根据图中所给的数据，利用平均数公式求解即可；
（2）根据平均数、中位数、方差和极差的特征回答即可；
（3）结合方差，要使台阶路走起来更舒服，就得让方差变得更小，据此提出合理性的整修建议.
详解：（1）甲台阶高度的平均数：（15+16+16+14+14+15）÷6=15，
乙台阶高度的平均数：（11+15+18+17+10+19）÷6=15.
（2）甲段路走起来更舒服一些，因为它的台阶高度的方差小．
（3）每个台阶高度均为15cm（原平均数）使得方差为0，游客行走更舒服．
点睛：本题主要考查中位数的概念、平均数计算公式以及方差的计算.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定.反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.在本题中，根据题意求出方差，进而利用方差的意义进行分析即可.
25．（1）见解析；（2）矩形，理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和
△DEC 全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解；
（2）由（1）知AF 平行等于BD ，易证四边形AFBD 是平行四边形，而AB=AC ，AD 是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD ⊥BC ，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD 是矩形．
【详解】
（1）
证明：∵AF ∥BC ，
∴∠AFE=∠DCE ，
∵点E 为AD 的中点，
∴AE=DE ，
在△AEF 和△DEC 中，
AFE DCE AEF DEC AE DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△AEF ≌△DEC （AAS ），
∴AF=CD ，
∵AF=BD ，
∴CD=BD ，
∴D 是BC 的中点；
（2）解：若AB=AC ，则四边形AFBD 是矩形．理由如下：
∵△AEF ≌△DEC ，
∴AF=CD ，
∵AF=BD ，
∴CD=BD ；
∵AF ∥BD ，AF=BD ，
∴四边形AFBD 是平行四边形，
∵AB=AC ，BD=CD ，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AFBD 是矩形．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．。